Ведомственная, 2018/19, заключительный этап, 9 класс

Сила натяжения действует по периметру стенки трубки с обеих её сторон. Какой длине периметра она пропорциональна?

\(r = \dfrac{mg}{4\pi\alpha} \approx 1{,}4\) мм.

Силы поверхностного натяжения действуют на внутреннюю и внешнюю поверхности трубки. Радиусы кривизны этих поверхностей можно считать одинаковыми из-за тонкости стенки трубки, значит, одинаковы и силы, действующие на них. Условие второго уравновешивания весов: \[mg = 2\cdot 2\pi r\alpha.\] Отсюда \[r = \frac{mg}{4\pi\alpha} \approx 1{,}4~\text{мм}.\]

После соприкосновения одинаковые шарики получают одинаковые заряды. Какой заряд получит каждый из них, если сохраняется алгебраическая сумма зарядов?

\(n = \dfrac{4k}{(k-1)^2}\).

Модули сил взаимодействия шаров до и после соприкосновения равны соответственно \[F_{\text{до}} = \frac{|Q_1 Q_2|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad F_{\text{после}} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\] так что \[n = \frac{F_{\text{до}}}{F_{\text{после}}} = \frac{|Q_1 Q_2|}{q_1 q_2}.\] По закону сохранения электрического заряда алгебраическая сумма зарядов остаётся прежней, \(Q_1 + Q_2\). Одинаковые шарики после соприкосновения получают одинаковые по величине и знаку заряды \[q = q_1 = q_2 = \frac{Q_1 + Q_2}{2}.\] Знак заряда, а значит, и характер взаимодействия меняется: притяжение сменяется отталкиванием. Тогда \[n = \frac{4|Q_1 Q_2|}{(Q_1 + Q_2)^2}.\] Пусть \(Q_1 = -kQ_2\) (знак «минус» отражает разноимённость начальных зарядов). Тогда \[n = \frac{4k}{(k-1)^2}.\] Выбор \(Q_2 = -kQ_1\) приводит к тому же ответу. Ответ теряет смысл при \(k = 1\): тогда после соприкосновения шарики полностью разряжаются, и сила их взаимодействия равна нулю.

Удлинение стержня связано с нагрузкой законом Гука через модуль Юнга и площадь сечения.

\(S \approx 128\) мм\(^2\).

По закону Гука \[\frac{\Delta L}{L} = \frac{P}{ES}.\] Отсюда сечение стержня \[S = \frac{PL}{E\,\Delta L} \approx 128~\text{мм}^2.\]

При ударе сохраняется горизонтальная составляющая скорости центра обруча, а вертикальная меняет направление. Какую вертикальную скорость получит обруч к моменту удара, если его полная кинетическая энергия складывается из поступательной и вращательной?

\(h = \dfrac{H}{2}\sin^2\alpha\).

Скорость любой точки геометрической оси обруча равна \(v\). Кинетическая энергия обруча складывается из энергии вращения вокруг его оси и энергии поступательного движения центра масс: \[E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.\] Закон сохранения энергии при скатывании без скольжения с высоты \(H\): \[mgH = mv^2, \qquad v = \sqrt{gH}.\] Вектор скорости направлен вдоль наклонной плоскости. Её вертикальная составляющая \[v_{\text{вер}} = \sqrt{gH}\,\sin\alpha.\] При ударе о горизонтальную плоскость горизонтальная составляющая скорости центра масс и скорость вращения обруча не меняются, а вертикальная составляющая меняет направление на противоположное. Для полёта от момента удара до максимальной высоты \(h\) \[\frac{m v_{\text{вер}}^2}{2} = mgh.\] Подставляя найденную \(v_{\text{вер}}\), получаем \[h = \frac{H}{2}\sin^2\alpha.\]

Работа на линейном участке равна площади трапеции под графиком; на изохоре она равна нулю. Для точек 1 и 3 на одной изотерме и точек 1, 2 на одной прямой через начало координат удобно выразить давления через \(T_1\) и \(T_2\).

\(A = \dfrac{RT_1}{2}\left(\dfrac{T_2}{T_1} - 1\right)\left(1 - \sqrt{\dfrac{T_1}{T_2}}\right)\).

Работа, совершаемая газом на участке, численно равна площади трапеции между графиком процесса, осью \(V\) и двумя перпендикулярами из начальной и конечной точек процесса на ось \(V\). Работа положительна, если газ расширяется, и отрицательна, если сжимается. Работа за весь цикл численно равна площади треугольника 1,2,3.

Работа на участке \(1\mapsto2\): \[A_{1\mapsto2} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2]\,[V_{3(2)} - V_1].\] Работа на участке \(3\mapsto1\): \[A_{3\mapsto1} = -\frac{1}{2}\,[P_1 + P_3]\,[V_{3(2)} - V_1].\] На изохоре \(2\mapsto3\) работа равна нулю. Здесь \(V_{3(2)} = V_2\) — объём изохоры. Тогда работа за цикл \[A = A_{1\mapsto2} + A_{3\mapsto1} = \frac{1}{2}\,[P_1 + P_2][V_{3(2)} - V_1] - \frac{1}{2}\,[P_1 + P_3][V_{3(2)} - V_1].\] Раскрывая скобки и используя уравнение Клапейрона–Менделеева \(PV = RT\) (для одного моля), получаем \[A = \frac{1}{2}[RT_2 - RT_1] + \frac{1}{2}\left[\frac{P_3}{P_1} - \frac{P_2}{P_1}\right] RT_1.\] Из подобия прямоугольных треугольников на рисунке \(\dfrac{P_2}{V_{3(2)}} = \dfrac{P_1}{V_1}\), а из того, что точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, \(P_1V_1 = P_3V_{3(2)}\). Отсюда \(P_1 = \sqrt{P_2P_3}\), то есть \(\dfrac{P_3}{P_1} = \dfrac{P_1}{P_2}\). Изохора \(2\mapsto3\) даёт \(\dfrac{P_2}{P_3} = \dfrac{T_2}{T_3} = \dfrac{T_2}{T_1}\). Следовательно, \[\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}, \qquad \frac{P_3}{P_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.\] После подстановки получаем \[A = \frac{RT_1}{2}\left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right)\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right).\]