зад 1 Средняя скорость велосипедиста
Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью \(v_1\), а оставшуюся часть с какой-то другой скоростью. Найдите эту скорость, если известно, что средняя скорость его движения на всем пути равна \(v_{ср}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Время на каждом участке равно его длине, делённой на скорость на этом участке.
▶ОтветСкрыть
\(v_2 = \dfrac{2v_{ср}v_1}{3v_1 - v_{ср}}\).
▶РешениеСкрыть
Средняя скорость на всём пути по определению равна \(v_{ср} = \dfrac{S}{T}\), где \(S\) — весь путь, \(T\) — общее время движения. Время складывается из времён на двух участках: \[T = \frac{S/3}{v_1} + \frac{2S/3}{v_2}.\] Подставив это выражение в определение средней скорости, выразим скорость на втором участке пути: \[v_2 = \frac{2v_{ср}v_1}{3v_1 - v_{ср}}.\]
зад 2 Рычаг с блоками
Невесомый рычаг, длина которого составляет \(l\) (смотри рисунок), находится в равновесии. На каком расстоянии от оси вращения (т. О) подвешен второй груз? Массы грузов \(m_1\) и \(m_2\) соответственно?
▶ПодсказкаСкрыть
Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. Запишите правило моментов относительно точки О.
▶ОтветСкрыть
\(l_2 = \dfrac{m_1}{2m_2}\,l\).
▶РешениеСкрыть
Груз \(m_1\) висит на подвижном блоке, поэтому сила натяжения нити \(T = \dfrac{m_1 g}{2}\). По правилу моментов относительно оси вращения момент силы натяжения нити уравновешивает момент силы тяжести второго груза: \[\frac{m_1 g}{2}\, l = m_2 g\, l_2.\] Отсюда \(l_2 = \dfrac{m_1}{2m_2}\, l\).
зад 3 Барометр с маслом
Жидкостной барометр наполнен машинным маслом (\(\rho = 850~\text{кг/м}^3\)). Какой высоты был столб масла в этом барометре при нормальном атмосферном давлении?
▶ПодсказкаСкрыть
Столб жидкости уравновешивает атмосферное давление: давление столба масла высотой \(h\) равно \(P_{атм}\).
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{P_{атм}}{gh}\).
▶РешениеСкрыть
Давление столба машинного масла высотой \(h\) в барометре должно быть равно нормальному атмосферному давлению: \[P_{атм} = \rho g h.\] Отсюда, как записано в официальном решении, \(\rho = \dfrac{P_{атм}}{gh}\).
зад 4 Два шара в жидкости
Два шара массами \(M\) и \(m\) (\(M>m\)), имеющих одинаковые объемы, связали невесомой и нерастяжимой нитью и опустили в сосуд с жидкостью. «Легкий» шар всплыл так, что в жидкости осталась лишь его \(\eta\)-я часть. «Тяжелый» шар, не касаясь дна, «повис» на вертикально ориентированной нити. Найти силу натяжения нити \(F\), считая, что плотность жидкости неизменна от поверхности жидкости до дна сосуда.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждого шара сумма сил равна нулю: сила тяжести, сила натяжения нити и сила Архимеда. Если разделить уравнения одно на другое, плотность жидкости сократится.
▶ОтветСкрыть
\(F = \dfrac{g}{1+\eta}\,(M\eta - m)\).
▶РешениеСкрыть
Для лёгкого шара нить тянет вниз, и условие равновесия имеет вид \(mg + F = \rho_0 V g\,\eta\). Для тяжёлого шара нить тянет вверх, поэтому \(Mg = F + \rho_0 V g\), или \(Mg - F = \rho_0 V g\). Здесь \(\rho_0\) — плотность жидкости, \(V\) — объём каждого шара. Поделив первое уравнение на второе, исключим \(\rho_0\): \[\frac{mg + F}{Mg - F} = \eta.\] Отсюда \(F(1+\eta) = g(M\eta - m)\), то есть \[F = \frac{g}{1+\eta}\,(M\eta - m).\]
зад 5 Лёд в пар
Какое количество теплоты \(Q\) нужно сообщить \(m = 2{,}0\) кг льда, взятого при температуре \(t_н = -10\,^\circ\text{C}\), чтобы лед расплавить (\(t_{пл} = 0\,^\circ\text{C}\)), а полученную воду нагреть до кипения (\(t_{пр} = 100\,^\circ\text{C}\)) и выпарить? Удельная теплоемкость льда \(c_л = 2{,}10\cdot10^3~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}\). Удельная теплоемкость воды \(c_в = 4{,}19\cdot10^3~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}\). Удельная теплота плавления льда \(\lambda_л = 3{,}35\cdot10^5~\text{Дж/кг}\). Удельная теплота парообразования воды \(r_в = 22{,}60\cdot10^5~\text{Дж/кг}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте процесс на четыре этапа: нагревание льда до нуля, плавление, нагревание воды до кипения, парообразование. Сложите количества теплоты на каждом этапе.
▶ОтветСкрыть
\(Q = c_л m(t_{пл} - t_н) + \lambda_л m + c_в m(t_{пр} - t_{пл}) + r_в m = 6\) МДж.
▶РешениеСкрыть
Закон сохранения энергии для этого процесса: \[Q = c_л m(t_{пл} - t_н) + \lambda_л m + c_в m(t_{пр} - t_{пл}) + r_в m.\] Первое слагаемое — тепло, необходимое для нагревания льда от начальной температуры до температуры плавления. Второе — тепло для плавления льда и превращения его в воду. Третье — тепло для нагревания воды до температуры кипения. Четвёртое — тепло для выпаривания воды и превращения её в пар. Подставляя численные данные, получаем \(Q = 6\) МДж.
Источник: Олимпиада на базе ведомственных вузов (физика), 2019/20, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.