Ведомственная, 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Для каждого шара сумма сил равна нулю: сила тяжести, сила натяжения нити и сила Архимеда. Если разделить уравнения одно на другое, плотность жидкости сократится.

Ответ

\(F = \dfrac{g}{1+\eta}\,(M\eta - m)\).

Решение

Для лёгкого шара нить тянет вниз, и условие равновесия имеет вид \(mg + F = \rho_0 V g\,\eta\). Для тяжёлого шара нить тянет вверх, поэтому \(Mg = F + \rho_0 V g\), или \(Mg - F = \rho_0 V g\). Здесь \(\rho_0\) — плотность жидкости, \(V\) — объём каждого шара. Поделив первое уравнение на второе, исключим \(\rho_0\): \[\frac{mg + F}{Mg - F} = \eta.\] Отсюда \(F(1+\eta) = g(M\eta - m)\), то есть \[F = \frac{g}{1+\eta}\,(M\eta - m).\]

Подсказка

Давления и температуры газов по обе стороны поршня одинаковы. Запишите уравнение состояния для каждого газа и поделите одно на другое.

Ответ

\(\eta = 3\).

Решение

Уравнения состояния газов в своих частях цилиндра: \[PV_в = \frac{m_в}{\mu_в}\,RT, \qquad PV_к = \frac{m_к}{\mu_к}\,RT.\] Поделив первое уравнение на второе, получим, что отношение объёмов равно отношению числа молей газов: \[\eta = \frac{V_в}{V_к} = \frac{\nu_в}{\nu_к} = \frac{m_в\,\mu_к}{\mu_в\,m_к} = \frac{3 \cdot 32}{2 \cdot 16} = 3.\]

Подсказка

Разбейте процесс на четыре этапа: нагревание льда до нуля, плавление, нагревание воды до кипения, парообразование. Сложите количества теплоты на каждом этапе.

Ответ

\(Q = c_л m(t_{пл} - t_н) + \lambda_л m + c_в m(t_{пр} - t_{пл}) + r_в m = 6\) МДж.

Решение

Закон сохранения энергии для этого процесса: \[Q = c_л m(t_{пл} - t_н) + \lambda_л m + c_в m(t_{пр} - t_{пл}) + r_в m.\] Первое слагаемое — тепло, необходимое для нагревания льда от начальной температуры до температуры плавления. Второе — тепло для плавления льда и превращения его в воду. Третье — тепло для нагревания воды до температуры кипения. Четвёртое — тепло для выпаривания воды и превращения её в пар. Подставляя численные данные, получаем \(Q = 6\) МДж.

Подсказка

Сначала проверьте, могут ли доски двигаться как единое целое: найдите силу трения покоя, которая для этого нужна, и сравните её с максимальной силой трения скольжения между досками.

Ответ

1) при \(F = 0\): \(a_н = a_в = 0\), \(F_{тр} = 0\);  2) при \(0 \le F \le \mu m g\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)\): \(a_н = a_в = \dfrac{F}{M+m}\), \(F_{тр} = \dfrac{MF}{M+m}\) (доски покоятся друг относительно друга и движутся как одно целое);  3) при \(F > \mu m g\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)\): \(a_н = \dfrac{\mu m g}{M}\), \(a_в = \dfrac{F - \mu m g}{m}\), \(F_{тр} = \mu m g\).

Решение

Разберём возможные случаи.

1. Если \(F = 0\), то все силы, кроме силы тяжести и реакции опоры, равны нулю; доски покоятся: \(a_н = a_в = 0\), \(F_{тр} = 0\).

2. Пусть доски движутся как единое целое. Тогда \(a_н = a_в = a = \dfrac{F}{M+m}\). Нижняя доска разгоняется только силой трения покоя со стороны верхней: \[F_{тр} = Ma = \frac{MF}{M+m}.\] Сила трения покоя не может превышать силу трения скольжения \(\mu m g\): \[\frac{MF}{M+m} \le \mu m g \quad\Longrightarrow\quad F \le \mu m g\left(1 + \frac{m}{M}\right).\]

3. Если \(F > \mu m g\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)\), доски скользят друг по другу, и сила трения между ними равна \(F_{тр} = \mu m g\). Уравнения движения: \[m a_в = F - \mu m g, \qquad M a_н = \mu m g.\] Отсюда \(a_н = \dfrac{\mu m g}{M}\), \(a_в = \dfrac{F - \mu m g}{m}\); при указанном условии \(a_в > 0\).

Подсказка

Изотерма 1–3 есть в обоих циклах, и количество теплоты на ней одно и то же. Выразите через неё КПД каждого цикла и КПД искомого цикла.

Ответ

\(\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\).

Решение

Обозначим \(Q_{12}\) — теплоту, полученную газом на участке 1–2, и \(Q_T\) — модуль теплоты на изотерме 1–3 (она одна и та же в обоих циклах, при этом на изотерме 1–3 газ получает \(Q_T\), а на изотерме 3–1 отдаёт \(Q_T\)). Теплота, отданная на изобаре 3–4, равна \(Q_{34}\).

КПД цикла \((1\to2\to3\to1)\): \(\eta_1 = \dfrac{Q_{12} - Q_T}{Q_{12}}\), откуда \(Q_T = Q_{12}(1-\eta_1)\).

КПД цикла \((1\to3\to4\to1)\): \(\eta_2 = \dfrac{Q_T - Q_{34}}{Q_T}\), откуда \(Q_{34} = Q_T(1-\eta_2)\).

КПД искомого цикла \((1\to2\to3\to4\to1)\), в котором газ получает теплоту только на участке 1–2, а отдаёт её на изобаре 3–4: \[\eta = \frac{Q_{12} - Q_{34}}{Q_{12}} = 1 - \frac{Q_T}{Q_{12}}\,(1-\eta_2) = 1 - (1-\eta_1)(1-\eta_2) = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2.\]