Ведомственная, 2021/22, заключительный этап, 10 класс

Пока сила трения покоя не достигла предельного значения \(k m_1 g\), блок и сани движутся вместе с одинаковым ускорением. Выскальзывание начинается, когда ускорение саней становится не меньше ускорения блока.

\(m_2 = \dfrac{n t_0 - k m_1 g}{k g}\).

Пусть \(F = nt\). Уравнения движения блока и саней (ось \(x\) вдоль силы \(F\)): \[m_1 a_1 = F_{\text{тр}}, \qquad m_2 a_2 = F - F_{\text{тр}}.\] Сила трения растёт вместе с \(F\), пока не достигнет предела \(F_{\text{тр, макс}} = k m_1 g\). После этого сани начинают выскальзывать, если \(a_2 \ge a_1\). Подставляя \(F_{\text{тр}} = k m_1 g\), получаем \[\frac{nt - k m_1 g}{m_2} \ge k g,\] где знак равенства соответствует моменту \(t = t_0\). Отсюда \(m_2 = \dfrac{n t_0 - k m_1 g}{k g}\).

Сила, которую надо прикладывать, линейно растёт с глубиной погружения, начиная с глубины \(x_0\), где цилиндр плавает свободно. Работа равна площади под графиком этой силы.

\(A = \dfrac{1}{2}\,\rho_ж\, g\,\pi R^2 h^2 \left(1 - \dfrac{\rho_д}{\rho_ж}\right)^2 \approx 0{,}1\) Дж.

Пусть \(x\) — высота подводной части цилиндра. Сила Архимеда \(F_A = \rho_ж g\pi R^2 x\). Цилиндр погружают медленно, поэтому внешняя сила \(F\) уравновешивает разность веса и силы Архимеда. Масса цилиндра \(m = \rho_д\pi R^2 h\). Высота подводной части при свободном плавании \(x_0 = \dfrac{\rho_д h}{\rho_ж}\), так что \[F(x) = F_A - mg = \rho_ж g\pi R^2 (x - x_0).\] Работа на перемещении \((h - x_0)\) равна площади треугольника под графиком \(F(x)\): \[A = \frac{1}{2}\,F(h)\,(h - x_0) = \frac{1}{2}\,\rho_ж g\pi R^2 (h - x_0)^2 = \frac{1}{2}\,\rho_ж g\pi R^2 h^2 \left(1 - \frac{\rho_д}{\rho_ж}\right)^2 \approx 0{,}1~\text{Дж}.\]

Максимальная высота достигается, когда сила Архимеда уравновешивает вес. Плотность воздуха на высоте найдите по барометрической формуле, связав давление с плотностью через уравнение состояния воздуха.

\(h = \dfrac{P}{\rho g}\,\ln\dfrac{\rho V R T}{R T m + P M V}\), где \(M\) — молярная масса гелия.

Условие равновесия на высоте \(h\): \(\rho_h V g = m g + \rho_{\text{He}} V g\), где \(\rho_{\text{He}}\) — плотность гелия. Масса гелия постоянна, а объём постоянен, поэтому \(\rho_{\text{He}} = \dfrac{PM}{RT}\) (здесь \(M\) — молярная масса гелия). Отсюда плотность воздуха на высоте \[\rho_h = \frac{m + \rho_{\text{He}} V}{V} = \frac{RTm + PMV}{VRT}.\] Барометрическая формула с учётом \(P = \rho RT/M_a\) даёт \(\rho_h = \rho\, e^{-\rho g h / P}\). Логарифмируя, \[h = \frac{P}{\rho g}\,\ln\frac{\rho V R T}{RTm + PMV}.\]

Скорость монеты в верхней точке мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь. Сравните силу Архимеда с весом. Магнитная сила пропорциональна ускорению монеты: найдите её знак и оцените вклад.

\(a = g\left(1 - \dfrac{\rho_в}{\rho}\right) \approx 9{,}815\) м/с\(^2\).

Вблизи верхней точки на монету действуют сила тяжести \(mg = \rho V g\), сила Архимеда \(F_A = \rho_в V g\) и сила со стороны магнитного поля. При движении плоскости монеты вдоль силовых линий в металле возникает разность потенциалов \(U = vBl\), и монета ведёт себя как конденсатор; возникающий ток даёт силу Ампера, пропорциональную ускорению: \(F_м = \varepsilon_0 S B^2 l\, a\), направленную против ускорения. Второй закон Ньютона: \[m a = m g - \rho_в V g - \varepsilon_0 S B^2 l\, a \quad\Rightarrow\quad a = g\,\frac{1 - \rho_в/\rho}{1 + \varepsilon_0 B^2/\rho}.\] Множитель \(\varepsilon_0 B^2/\rho\) пренебрежимо мал, поэтому \(a = g\left(1 - \dfrac{\rho_в}{\rho}\right) \approx 9{,}815\) м/с\(^2\): магнитное поле и воздух практически не меняют ускорение.

Скорость струи найдите из закона сохранения энергии с учётом движения поршня. Силу, действующую на сосуд со стороны вытекающей струи, найдите из изменения импульса воды за время \(\Delta t\).

\(F_{\text{тр}} = 2 g s\left(\rho h + \dfrac{M}{S}\right)\); сила направлена в сторону вытекающей струи.

За время \(\Delta t\) из отверстия вытекает масса \(\Delta m = \rho s v\,\Delta t\), поршень опускается со скоростью \(u\), \(u\,\Delta t = \Delta m/(\rho S)\). Работа силы тяжести идёт на кинетическую энергию вытекающей воды: \[\frac{\Delta m\, v^2}{2} = \Delta m\, g h + M g\, u\,\Delta t = \Delta m\, g h + \frac{M g\,\Delta m}{\rho S}.\] Отсюда \(v^2 = 2gh + \dfrac{2Mg}{\rho S}\). Импульс вытекающей воды за время \(\Delta t\) меняется на \(\Delta p = \Delta m\, v = \rho s v^2\,\Delta t\), поэтому сила, действующая на воду, равна \(F = \rho s v^2 = 2 g s\left(\rho h + \dfrac{M}{S}\right)\). По третьему закону сосуд испытывает такую же по величине силу, направленную против струи; сила трения покоя, действующая на сосуд, уравновешивает её и направлена в сторону вытекающей струи.