Ведомственная, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Левая часть реостата с сопротивлением \(r\) и правая с \(R-r\) включены параллельно между одними и теми же точками. Запишите общее сопротивление как функцию \(r\) и исследуйте её на отрезке \(0 \le r \le R\).

\(R_0 = \dfrac{Rr - r^2}{R}\) (график — парабола на отрезке \(0 \le r \le R\), см. решение).

Эквивалентная схема: два параллельно включённых резистора с сопротивлениями \(r\) и \(R-r\). Их общее сопротивление \[R_0 = \frac{(R-r)\,r}{(R-r)+r} = \frac{Rr - r^2}{R}.\] Это квадратичная парабола, выпуклая вверх, проходящая через начало координат. Область определения \(0 \le r \le R\), на её концах \(R_0 = 0\). Вершина находится при \(r = R/2\), где \(R_0 = R/4\). График — на рисунке.

Выразите давление из уравнения состояния \(PV = \nu R T\), подставив температуру через объём по закону \(V = \alpha T^2\).

\(\eta = k^{-1/2}\).

Уравнение состояния: \(PV = \nu R T\). Так как \(T = \sqrt{V/\alpha}\), давление \[P = \frac{\nu R\sqrt{V}}{\sqrt{\alpha}\,V} = \frac{\nu R}{\sqrt{\alpha V}}.\] Отношение давлений при \(V_к / V_н = k\): \[\eta = \frac{P_к}{P_н} = \sqrt{\frac{V_н}{V_к}} = \sqrt{\frac{1}{k}} = k^{-1/2}.\]

Скорость при движении вверх \(v = v_0 - gt\). По условию найдите \(v_0\) через \(\Delta t\) и \(k\), затем воспользуйтесь формулой высоты подъёма \(H = v_0^2/(2g)\).

\(H = \dfrac{g\,(\Delta t)^2 k^2}{2(k-1)^2}\); при \(k = 2\) это \(H = 2g\,(\Delta t)^2 \approx 19{,}8\) м.

Скорость тела \(v(t) = v_0 - gt\). Через \(\Delta t\) она равна \(v_0/k\): \[v_0 - g\,\Delta t = \frac{v_0}{k} \quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{g\,\Delta t\,k}{k-1}.\] Высота подъёма \(H = \dfrac{v_0^2}{2g}\), отсюда \[H = \frac{g\,(\Delta t)^2 k^2}{2(k-1)^2}.\]

Добавьте в вырез симметричный относительно \(O\) кружок радиуса \(r\). Получится диск с двумя одинаковыми симметричными вырезами, центр масс которого лежит в \(O\).

\(x = \dfrac{R r^2}{2(R^2 - r^2)}\) — расстояние от \(O\) до центра масс изделия; центр масс лежит на прямой, проходящей через \(O\) и центр выреза, в стороне, противоположной вырезу.

Перенесём задачу на систему из двух тел: диск с двумя симметричными вырезами (центр масс в \(O\)) и кружок радиуса \(r\) с центром в симметричной точке \(A\) (\(OA = OB\)). Центр масс \(C\) системы лежит между \(A\) и \(O\) на диаметре. Пусть \(m\) — масса изделия, \(\sigma = \dfrac{m}{\pi(R^2 - r^2)}\) — поверхностная плотность. Тогда масса кружка \(m^* = \sigma\pi r^2 = \dfrac{m r^2}{R^2 - r^2}\), а масса диска с двумя вырезами \(M - m^* = m\,\dfrac{R^2 - 2r^2}{R^2 - r^2}\). Соотношение центров масс: \[x\,(M - m^*) = \left(\frac{R}{2} - x\right) m^* \quad\Rightarrow\quad x\,(R^2 - 2r^2) = \left(\frac{R}{2} - x\right) r^2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{R r^2}{2(R^2 - r^2)}.\]

Сила натяжения нити равна силе упругости пружины и максимальна при наибольшем растяжении. Растяжение \(h\) равно опусканию груза \(m\). Запишите закон сохранения энергии для этого момента.

\(m > \dfrac{M\mu}{2}\).

Груз \(m\) опускается на \(h\) и растягивает пружину на \(h\). Закон сохранения энергии системы (груз \(m\), пружина): \[m g h = \frac{k h^2}{2}, \qquad h = \frac{2mg}{k}.\] Чтобы сдвинуть груз \(M\), сила упругости \(kh\) должна превзойти максимальную силу трения покоя \(\mu M g\): \[k h > \mu M g \quad\Rightarrow\quad 2mg > \mu M g \quad\Rightarrow\quad m > \frac{M\mu}{2}.\]