Ведомственная, 2024/25, заключительный этап, 10 класс

Лыжник съехал по бугристой горке с длиной основания \(L\) и высотой \(H\) и выехал на ровную поверхность. Найти расстояние \(X\), которое он проедет по ровной поверхности до остановки, если коэффициент трения везде равен \(k\). Начальная скорость лыжника равна нулю.

Острие иглы расположено над наклонной плоскостью на расстоянии \(d\) от неё, как показано на рисунке. По игле скользит небольшая гайка без трения и через некоторое время спускается на наклонную плоскость. При какой длине иглы время движения гайки от острия иглы до плоскости будет минимально? \(\alpha = \arccos(4/5)\).

Конструктор аэростата предположил, что подъёмная сила, действующая на его летательный аппарат, зависит от множества факторов, например, изменения плотности атмосферы, уменьшения количества топлива в баках и многого другого. Обратившись к знакомому физику за помощью, он получил формулу для вычисления подъёмной силы: \[F = 2mg(1 - ay),\] где \(m\) — масса аппарата, \(a\) — некоторый положительный коэффициент, \(y\) — высота над уровнем земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите работу подъёмной силы на первой половине пути подъёма (начальную скорость считать равной нулю).

Имеется два одинаковых калориметра с ненулевой теплоёмкостью. В обоих калориметрах находится вода при температуре \(t_{\text{в.н.}} = 0^\circ\)С. В первом калориметре вода занимает \(1/n\) (одну \(n\)-ю) часть объёма калориметра (\(n > 1\)). Во втором калориметре вода занимает \(1/m\) (одну \(m\)-ю) часть объёма калориметра (\(m > 1\)). Оба калориметра дозаполнили полностью водой. Отношение температур воды, долитой во второй и первый калориметр, известно и равно \(\eta\) (\(\eta \equiv t_2/t_1\)). Найти отношение \(\Theta\) установившихся температур содержимого калориметров \(\Theta \equiv t_{\text{у.2}}/t_{\text{у.1}}\). Теплообмена калориметров с окружающим пространством нет.

Маленький шарик массы \(m\) подвешен на длинной тонкой нерастяжимой нити. При движении шарика сила сопротивления воздуха пропорциональна его скорости: \(\vec F = -b\vec V\), где \(b\) — постоянный коэффициент. Нить с шариком отклоняют от положения равновесия на угол \(\alpha\) и отпускают без начальной скорости. Найти угол \(\beta\) отклонения от положения равновесия, при котором скорость шарика будет максимальной. Период колебаний \(T\). Колебания малые, затухание слабое.

Источник: Олимпиада на базе ведомственных вузов (физика), 2024/25, заключительный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.