Всесибирская, 2018/19, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Шайба и предмет приходят к бортикам одновременно, а пути у них равны, поэтому скорости после удара одинаковы по модулю. Запишите законы сохранения импульса и энергии и найдите отсюда скорость шайбы после удара.

Ответ

\(t=\dfrac{3L}{2v}\).

Решение

1) Скорости шайбы и предмета после удара должны быть одинаковы.

2) Пусть масса шайбы \(m\), предмета \(M\), а скорость шайбы и предмета после удара \(u\). Упругий удар сохраняет импульс: \(mv=Mu-mu\).

3) Упругий удар сохраняет энергию: \(\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{Mu^2}{2}+\dfrac{mu^2}{2}\).

4) Решая уравнения п. (2) и (3), находим массу предмета \(M=3m\) и скорость \(u=v/2\).

5) Определяем время движения шайбы: \(t=\dfrac{L}{2v}+\dfrac{L}{v}\), откуда \(t=\dfrac{3L}{2v}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нерастяжимость нити связывает проекции скорости кольца на оба участка нити. Из этого следует направление ускорения; сила натяжения при этом перпендикулярна ему.

Ответ

\(a=g/2\).

Решение

1) Из условия сохранения длины нити проекции скорости кольца на направления двух исходящих из него отрезков нити должны быть равны по величине. Отсюда следует, что скорость, а также ускорение должны быть направлены вдоль биссектрисы угла \(B_1BC\) (см. рисунок). Таким образом, ускорение в начальный момент направлено под углом \(-30^\circ\) к горизонту.

2) Силы натяжения нити слева и справа от кольца одинаковы по величине, и их равнодействующая \(\vec F\) направлена вдоль биссектрисы угла \(ABC\), или под углом \(60^\circ\) к горизонту.

3) Направления силы \(\vec F\) и ускорения взаимно перпендикулярны. Поэтому ускорение определяется исключительно проекцией силы тяжести \(mg_\parallel\) на направление движения: \(ma=mg_\parallel=mg\cos60^\circ=mg/2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Опаснее всего полный уровень воды, когда она доходит до кромки дамбы: найдите силу давления на грань (давление растёт линейно с глубиной), разложите её вдоль склона и поперёк и запишите условие равновесия с предельной силой трения.

Ответ

\(\mu_{\min}=\dfrac{\sqrt3(\rho+\rho_0)}{3\rho+\rho_0}\).

Решение

Примем, что длина дамбы равна \(L\), а длина стороны треугольника в её сечении — \(a\).

1) Масса дамбы \(m=\rho a^2L\sqrt3/4\).

2) Максимальная сила давления воды при условии, что вода доходит до кромки дамбы и давление линейно меняется от \(0\) до максимального значения \(P_{\max}=\rho_0ga/2\): \(F=aLP_{\max}/2=\rho_0ga^2L/4\).

3) Эта сила имеет составляющую вдоль склона \(F_\parallel=F\cos30^\circ=F\sqrt3/2\), поперёк склона \(F_\perp=F\sin30^\circ=F/2\).

4) Из условия равновесия дамбы по нормали к склону находится сила реакции опоры \(N=mg\cos30^\circ+F_\perp\).

5) Условие равновесия вдоль склона \(mg\sin30^\circ+F_\parallel=F_{\text{тр}}\) и неравенство для силы трения \(F_{\text{тр}}\le\mu N\) дают минимальное значение коэффициента трения \(mg\sin30^\circ+F_\parallel=\mu(mg\cos30^\circ+F_\perp)\).

Отсюда \(\mu_{\min}=\dfrac{\sqrt3(\rho+\rho_0)}{3\rho+\rho_0}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Тепло на плавление льда берётся из внутренней энергии гелия, работа газа равна нулю, так как поршень не сдвинулся. Растаявший лёд уменьшает вес поршня с грузом, поэтому давление газа падает; свяжите это падение с массой растаявшего льда.

Ответ

\(V=\dfrac{2\lambda S}{3g}\).

Решение

1) Равновесие поршня до таяния льда: \(P-P_0=mg/S\), где \(P\) — начальное давление воздуха в сосуде, \(m\) — масса поршня и льда, \(P_0\) — атмосферное давление.

2) Равновесие после плавления льда: \(P_1-P_0=(m-\Delta m)g/S\), где \(\Delta m\) — масса растаявшего льда.

3) Первое начало термодинамики: \(\dfrac32PV=\dfrac32P_1V+\lambda\Delta m\).

Из этих уравнений \(V=\dfrac{2\lambda S}{3g}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вертикальная скорость нужна минимальная, чтобы подняться на высоту \(H\). Горизонтальную часть удобно рассматривать в системе отсчёта крана: там телефон должен лететь вдоль линии \(AB\).

Ответ

\(V_{\min}=\sqrt{2gH+u^2\sin^2\alpha}\),  \(AB=u\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\cos\alpha\).

Решение

1) Чтобы брошенный предмет поднялся на высоту \(H\), необходима начальная вертикальная скорость \(V_H=\sqrt{2gH}\). Увеличивать вертикальную скорость явно невыгодно.

2) Время подъёма на эту высоту \(t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\).

3) Горизонтальная скорость в системе отсчёта, связанной с краном, должна быть направлена вдоль линии \(AB\) (см. рисунок). В этой системе предмет ещё до броска имеет скорость \(-u\), и горизонтальная компонента скорости бросания телефона \(V_\text{г}\) придаёт его полной горизонтальной скорости нужное направление.

4) Минимальному значению скорости бросания отвечает \(\vec V_\text{г}\perp AB\), \(V_\text{г}=u\sin\alpha\). При этом результирующая горизонтальная скорость получится \(u\cos\alpha\).

5) Минимальной скорости броска отвечает длина \(AB=ut\cos\alpha=u\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\cos\alpha\).

6) Полная начальная скорость \(V_0=\sqrt{V_H^2+u^2\sin^2\alpha}=\sqrt{2gH+u^2\sin^2\alpha}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.