Всесибирская, 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Равенство расстояний в любой момент означает связь ускорений: ускорение среднего шарика есть среднее ускорений крайних. Ускорения второго и третьего находятся из закона Кулона.

Ответ

Начальная скорость нулевая, \(a_1=4{,}5\,\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2 m}\), направлено в сторону, противоположную второму шарику.

Решение

Пусть ускорения шариков равны \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Условие сохранения равных расстояний между соседними шариками даёт \(a_2=(a_1+a_3)/2\).

Второй закон Ньютона для второго шарика: \[ma_2=\frac{kq^2}{l^2}-\frac{k\,2q^2}{l^2},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.\]

Второй закон Ньютона для третьего шарика: \[ma_3=\frac{2kq^2}{4l^2}+\frac{k\,2q^2}{l^2}.\]

Ответ: с нулевой начальной скоростью и ускорением \(a_1=4{,}5\,\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2 m}\) в направлении, противоположном направлению на второй шарик.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Высота подъёма определяется энергией относительно центра масс, то есть полной энергией за вычетом \(P_0^2/(2(m+M))\). Подумайте, как меняются импульс и энергия системы после ударов о стенки.

Ответ

\(H_2=H_1\).

Решение

После отрыва шарик и трамплин двигались с одинаковой горизонтальной скоростью. Обозначим её \(u\), а начальную скорость шарика \(v\).

Из закона сохранения горизонтальной компоненты импульса: \(P_0=(M+m)u\), где \(P_0\) — начальный импульс шарика, \(M\) и \(m\) — массы трамплина и шарика.

Высота подъёма шарика находится из закона сохранения энергии: \[mgH_1=\frac{mv^2}{2}-\frac{(m+M)u^2}{2}=E-\frac{P_0^2}{2(m+M)},\] где \(E\) — полная энергия системы.

После «приземления» шарика он получит скорость \(-v_1\), а трамплин \(u_1\), причём из закона сохранения импульса: \(Mu_1-mv_1=P_0\).

После упругих ударов о стенку скорости трамплина и шарика изменят свой знак — в итоге импульс их системы изменится на противоположный, а энергия останется прежней, в итоге высота подъёма шарика при втором столкновении с трамплином \[mgH_2=E-\frac{(-P_0)^2}{2(m+M)}=mgH_1.\]

Ответ: шарик поднимется на прежнюю высоту, \(H_2=H_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Силы Ампера на две горизонтальные стороны рамки направлены в стороны стенок. Запишите баланс моментов относительно стороны, упирающейся в правую стенку, и условие на силу трения.

Ответ

\(I_{\min}=\dfrac{mg}{bB}\left(\dfrac{1}{\mu}+\dfrac{L}{2\sqrt{a^2-L^2}}\right)\).

Решение

На стороны рамки, упирающиеся в стенки, действует сила Ампера \(F_a=IbB\), где \(I\) — ток в рамке.

Со стороны правой стенки на рамку действует сила реакции опоры \(N\). Из баланса действующих на рамку горизонтальных сил следует, что сила реакции опоры со стороны левой стенки также равна \(N\).

Баланс моментов сил относительно стороны рамки, упирающейся в правую стенку: \[\frac{mgL}{2}=(N-F_a)\sqrt{a^2-L^2}.\]

Баланс действующих на рамку сил по вертикали: \(F_{\text{тр}}-mg=0\), где \(F_{\text{тр}}\) — сила трения.

Неравенство для силы трения: \(F_{\text{тр}}\le\mu N\).

Ответ: \[I_{\min}=\frac{mg}{bB}\left(\frac{1}{\mu}+\frac{L}{2\sqrt{a^2-L^2}}\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Первым измерением проверьте одну батарейку и узнайте ЭДС заряженной. Затем соберите схему из двух последовательных батареек и третьей параллельно им и сравните показание с ЭДС для каждого из случаев.

Ответ

Первым измерением проверяется батарейка №1. Если она заряжена, и в схеме решения \(U_{AB}=\dfrac{4}{3}U\), то разряжена батарейка №4. Если \(U_{AB}=U\), то разряжена батарейка №2. Если \(U_{AB}=\dfrac{2}{3}U\), то разряжена батарейка №3.

Решение

Измерим напряжение на первой батарейке — если получится \(U=0\), то задача решена: первая батарейка разряжена; в противном случае она заряженная, и мы знаем ЭДС заряженной батарейки, \(\varepsilon=U\).

Собираем схему, в которой первая батарейка включена последовательно со второй, и параллельно подключена третья. Измерим напряжение между точками \(A\) и \(B\).

Если разряжена четвёртая батарейка, первые три батарейки заряжены и имеют внутреннее сопротивление \(r\), ток в контуре \(I\), то \[U_{AB}=\varepsilon+Ir=2\varepsilon-2Ir,\quad\text{или}\quad U_{AB}=\frac{4}{3}U.\]

Если разряжена батарейка №2, тока в цепи не будет, и \(U_{AB}=\varepsilon\).

Если разряжена батарейка №3, то \(U_{AB}=rI_1=2\varepsilon-2rI_1\), откуда \(U_{AB}=2U/3\).

Ответ: первым измерением проверяется батарейка №1. Если она заряжена, и в изображённой на рисунке схеме \(U_{AB}=\dfrac{4}{3}U\), то разряжена батарейка №4. Если при тех же условиях \(U_{AB}=U\), то разряжена батарейка №2. Если \(U_{AB}=\dfrac{2}{3}U\), то разряжена батарейка №3.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поршень удерживается силой трения, равной \((P_1-P_0)S\). После выравнивания парциальных давлений гелия по обе стороны эта сила уравновешивается давлением воздуха. Для воздуха справа используйте закон Бойля — Мариотта.

Ответ

При \(P_1>3P_0/2\): \(x=L\,\dfrac{2P_1-3P_0}{2(P_1-P_0)}\); при \(3P_0/2\ge P_1\): \(x=0\).

Решение

Поршень испытывает силу трения \(F=(P_1-P_0)S\), где \(S\) — площадь поршня.

В результате диффузии парциальное давление гелия по обе стороны поршня выровняется.

Равновесие поршня после выравнивания давлений гелия, если поршень не упирается в левый край цилиндра: \(PS=F\), где \(P\) — давление воздуха справа.

Закон Бойля — Мариотта для воздуха справа от поршня: \(P_0LS/2=P(L-x)S\), где \(x\) — искомое расстояние поршня до левого края цилиндра.

Решение уравнений: \(x=L\,\dfrac{2P_1-3P_0}{2(P_1-P_0)}\) при \(x>0\). Условие \(P_1>3P_0/2\), при котором \(x>0\).

Ответ: при \(P_1>3P_0/2\) \(x=L\,\dfrac{2P_1-3P_0}{2(P_1-P_0)}\), при \(3P_0/2\ge P_1\) \(x=0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.