Всесибирская, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Запишите уравнение состояния воздуха под ртутью для двух положений трубки при одинаковом объёме и сравните их. Добавка к давлению — это давление столбика ртути.

\(T=300\) К.

Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для воздуха, находящегося в закрытой ртутью части трубки, в двух случаях: \[pV=\nu RT\] при горизонтальном положении трубки; \[(p+\Delta p)V=\nu R(T+\Delta T)\] при вертикальном положении трубки. Здесь \(p\) — давление воздуха в лаборатории, \(\Delta p\) — давление столбика ртути, \(T\) — температура воздуха в лаборатории, \(\Delta T\) — изменение температуры воздуха в закрытой части сосуда после нагрева. Поделив одно уравнение на другое, находим \[T=\Delta T\,\frac{p}{\Delta p}.\] Ответ получаем, заметив, что \(\Delta p=25\) мм рт. ст.: \(T=300\) К.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Пока двигатель работает, ракета движется равноускоренно по обеим осям из состояния покоя. Найдите составляющие ускорения по смещениям и сложите силы по осям.

\(F=\dfrac{m}{\tau^2}\sqrt{4S^2+\left(2H+g\tau^2\right)^2}\).

Определим вертикальное ускорение ракеты: \(\dfrac{a_y\tau^2}{2}=H\) и её горизонтальное ускорение \(\dfrac{a_x\tau^2}{2}=S\).

Второй закон Ньютона для движения по вертикали \(ma_y=F_y-mg\) и по горизонтали \(ma_x=F_x\), где \(F_y\) и \(F_x\) — вертикальная и горизонтальная составляющие силы тяги ракеты.

Определим силу тяги двигателя ракеты из её составляющих: \(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите ток через ЭДС батарейки и ЭДС индукции, затем условие равенства силы Ампера и силы тяжести. Скорость окажется квадратичной функцией от \(1/(BL)\) — найдите её максимум.

\(v_{\max}=\dfrac{\varepsilon^2}{4mgr}\).

При движении перемычки со скоростью \(v\) в магнитном поле \(B\) в контуре, состоящем из перемычки и нижней части рамки, наводится ЭДС индукции \(\varepsilon_F=vLB\). В результате этого протекает ток \(I=(\varepsilon-\varepsilon_F)/r\).

На перемычку действует сила Ампера \(F_A\), которая должна уравновешивать действующую на перемычку силу тяжести: \(F_A=LIB=mg\).

Значение скорости, получаемое из условия баланса сил: \[v=\left(\varepsilon-\frac{mgr}{BL}\right)\cdot\left(\frac{1}{BL}\right)=\left(\varepsilon-mgrx\right)\cdot x,\quad\text{где } x=\frac{1}{BL}.\] Функция \(v(x)\) отображается параболой и принимает максимальное значение \(v_{\max}=\varepsilon^2/(4mgr)\) при \(x=\varepsilon/2mgr\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

В плоскости склона на брусок действуют три силы с нулевой суммой: сила толкания, скатывающая составляющая тяжести и трение. Трение направлено против скорости — найдите угол скорости с направлением силы.

\(y=\dfrac{x\sin\alpha}{\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}\).

Вдоль наклонной плоскости на брусок действуют три силы: проекция силы тяжести (скатывающая сила) \(F_{ск}=mg\sin\alpha\), сила \(F\), с которой толкают брусок, и сила трения \(F_{тр}=\mu mg\cos\alpha\). Сила трения направлена против направления скольжения. При постоянной скорости второй закон Ньютона вдоль плоскости (см. рисунок): \(m\vec v\,\mu g\cos\alpha/v=\vec F+\vec F_{ск}\).

Движение происходит под углом \(\beta\) к направлению силы \(F\), причём \[\sin\beta=mg\sin\alpha/F_{тр}=\sin\alpha/\mu\cos\alpha.\] Смещение бруска по склону наклонной плоскости будет \(y=x\operatorname{tg}\beta\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Пока колёса проскальзывают, сила трения постоянна и равна \(\mu mg\), а мощность двигателя определяет скорость точек обода относительно автомобиля. Проскальзывание кончится, когда эта скорость сравняется со скоростью автомобиля.

\(N=\dfrac{\mathcal{P}^2}{(\mu g)^3\,m^2\,2\pi R}\).

Вначале колёса автомобиля проскальзывают, и автомобиль испытывает постоянное ускорение \(a\): \(ma=F_{тр}=\mu mg\). Скорость обращённой к дороге поверхности колёс относительно автомобиля определяется мощностью двигателя: \(F_{тр}\cdot u=\mathcal{P}\).

Проскальзывание колёс прекратится через время \(t\), когда скорость автомобиля \(v\) сравняется с относительной скоростью точек колёс: \(u=v=at\). За это время колёса проделают \(N=\dfrac{ut}{2\pi R}\) оборотов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.