Всесибирская, 2019/20, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Последним вернётся тот вездеход, который в момент \(T_{\text{х}}\) был выше всех по склону. Найдите положение каждого из двух первых вездеходов в этот момент.

Ответ

в \(14\) ч \(40\) мин (последним в т. А прибудет второй вездеход).

Решение

Последним вернётся вездеход, который в момент \(T_{\text{х}}\) был выше всех по склону. Сначала найдём, где был первый вездеход. Он запущен в \(T_0\), и к моменту \(T_{\text{х}}\) прошло \(T_{\text{х}}-T_0=4\frac13\) ч. За \(4\) ч он доехал до вершины, затем спускался со скоростью \(V_{\text{н}}\) ещё \(\frac13\) ч и спустился на \(V_{\text{н}}\cdot\frac13=5\) км, т.е. находился на расстоянии \(L_1=19\) км от т. А вдоль склона.

Следующий вездеход ещё ехал вверх и в этот момент находился на расстоянии \(L_2=V_{\text{в}}\cdot\frac{10}{3}=20\) км от т. А. Последующие вездеходы находятся заведомо ниже. Значит, второй вездеход был выше всех, и его возвращение будет самым длительным.

Он затратит на возвращение время \(T_2=\dfrac{20}{15}\) ч, т.е. прибудет в т. А в \(T_{\text{х}}+\dfrac{4}{3}\) ч \(=14\) ч \(40\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Время тренировки равно времени бега тренера. Разбейте его на две части: время, когда тренер бежит рядом с бегунами, и время, когда бегуны догоняют тренера. Сравните, сколько времени занимает каждая часть, и вспомните, сколько кругов за то же время пробегает бегун.

Ответ

\(5\) кругов.

Решение

Пусть \(V\) — скорость бегуна, \(L\) — длина дорожки. Тогда скорость тренера равна \(V\), когда он бежит рядом со спортсменом, и \(V/2\), когда он движется от одного спортсмена к другому. Расстояние между соседними бегунами вдоль дорожки равно \(L/N=L/12\).

Тренировка длится столько, сколько бежит тренер. Он должен пробежать рядом с каждым из \(N\) спортсменов по четверти круга, поэтому на эту часть уходит время \[T_1=\frac{N\cdot L/4}{V}=\frac{3L}{V}.\] Кроме того, тренер тратит время на движение между бегунами. На этих участках бегун догоняет тренера со скоростью \(V/2\). Так как тренера должен догнать каждый из бегунов (включая самого первого), на это уйдёт время \[T_2=\frac{N\cdot (L/N)}{V/2}=\frac{2L}{V}.\] Итого время тренировки \(T_1+T_2=\dfrac{5L}{V}\). За это время каждый бегун пробегает \(5\) кругов, так как круг он проходит за \(L/V\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите натяжение нити, на которой висит груз массы \(M\), и сравните его с натяжением нити, которая тянет пружину.

Ответ

\(\Delta L=\dfrac{Mg}{k}\).

Решение

Сначала найдём соотношение между весом груза массы \(M\) и натяжением нити, охватывающей самый нижний блок. Если считать невесомый блок частью груза, то равновесие груза обеспечивают две силы натяжения нити \(T\), т.е. \(Mg=2T\).

Равновесие двух верхних блоков требует, чтобы нить, охватывающая неподвижный блок и прикреплённая к пружине, имела натяжение \(2T\).

Таким образом, неподвижная пружина растягивается в разные стороны силами \(2T=Mg\), а её растяжение определяется законом Гука: \[\Delta L=\frac{Mg}{k}.\]

Заметим, что условия равновесия системы требуют выполнения равенства \(M_x g=2T\), т.е. того, чтобы оба груза имели одинаковую массу. Можно также заметить, что силы натяжения нити, охватывающей два подвижных блока, действуют на тело неизвестной массы и сверху, и снизу, т.е. их вклад в равнодействующую равен нулю. Поэтому сила упругости пружины фактически удерживает в равновесии тело массы \(M\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Цилиндры связаны несжимаемой жидкостью: смещения их торцов связаны объёмом. Запишите условие равновесия каждого цилиндра отдельно, учитывая, что давления на их нижних гранях отличаются на \(\rho g h\).

Ответ

\(mg=h\left(2S\rho g+\dfrac{5}{3}k\right)\), где \(m\) — масса груза, \(\rho\) — плотность жидкости.

Решение

Ответ не зависит от атмосферного давления \(P_A\), поэтому его учитываем.

В исходной ситуации (без груза) равновесие цилиндров описывается уравнениями \[M_1 g+S P_A=S P\quad\text{(узкий цилиндр)},\qquad M_2 g+2S P_A=2S P\quad\text{(широкий цилиндр)}.\] Здесь учтено, что нижние торцы цилиндров находятся на одном уровне, т.е. давление в жидкости на их уровне одинаково и равно \(P\). Отсюда массы цилиндров различаются в \(2\) раза: \(M_2=2M_1\).

Из условия несжимаемости жидкости следует, что если разность высот цилиндров равна \(h\), то узкий цилиндр смещён на \(\tfrac{2h}{3}\), а широкий — на \(\tfrac{h}{3}\) в другую сторону.

Условие равновесия узкого цилиндра с грузом (рисунок решения): \[M_1 g+S P_A+\frac{2kh}{3}=S P_1,\] где \(P_1\) — давление на нижней грани этого цилиндра. Оно не равно \(P-\rho g\frac{2h}{3}\), так как после смещения поршней давление внутри коробки в каждой точке изменилось. Перепишем уравнение как \[M_1 g+S P_A-S P_1=-\frac{2kh}{3}.\]

Для широкого цилиндра, опущенного на \(\tfrac{h}{3}\) и нагруженного грузом \(m\): \[2M_1 g+2S P_A+mg=\frac{kh}{3}+2S\left(P_1+\rho g h\right),\] где \(P_1+\rho g h\) — давление на нижней грани этого цилиндра.

Умножим первое из уравнений на \(2\) и подставим его во второе, записанное в виде \(2M_1 g+2S P_A-2S P_1=\dfrac{kh}{3}+2S\rho g h-mg\): \[-\frac{4kh}{3}=\frac{kh}{3}+2S\rho g h-mg.\] Отсюда искомый вес груза \[mg=h\left(2S\rho g+\frac{5}{3}k\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.