зад 1 Мотоцикл с телегой
На удалённой от города ферме потребовалось как можно быстрее купить запчасти для ремонта оборудования. На ферме был мотоцикл, однако топлива было ровно на поездку до города, но не обратно. Для скорейшей доставки запчастей решили погрузить мотоцикл на телегу, провезти мотоцикл часть пути на ней, а потом, на обратном пути, когда мотоцикл догонит телегу, снова довезти мотоцикл до фермы. Какую часть пути до города надо проехать на телеге, чтобы уложиться в минимальное время и обойтись без дополнительного топлива? Скорость мотоцикла в 5 раз больше, чем скорость телеги. Считать, что затраты времени на закупку деталей и погрузку-разгрузку мотоцикла пренебрежимо малы.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимум времени достигается, когда телега сразу после отправки мотоцикла поворачивает обратно, а мотоцикл едет до города без остановок. Сравните пути мотоцикла и телеги за время обратного догона.
▶ОтветСкрыть
\(X=\dfrac{3}{5}\), то есть \(60\%\) пути.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(S\) — расстояние от фермы до города, \(X\) — искомая доля этого расстояния. Минимальное время получается, когда телега сразу после отправки мотоцикла едет обратно, а мотоцикл проезжает весь путь \(S\) до города. Мотоцикл догоняет телегу на расстоянии \(XS\) от города, значит до фермы ему осталось проехать \(S(1-X)\). За время обратного пути мотоцикла телега проезжает в 5 раз меньше, то есть \(S/5\). Отсюда \[XS=S(1-X)+\frac{S}{5}\quad\Rightarrow\quad X=\frac{3}{5}.\] Если бы получилось \(X=2/5\) (40%), это соответствовало бы минимальному времени поездки, но не согласуется с условием: мотоцикл должен догонять телегу на обратном пути. Такой ответ оценивался в 9 баллов.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Два шара в сосуде с жидкостью
Внутри вертикального закрытого с обоих торцов сосуда находятся два одинаковых сплошных шара. Между шарами вставлена невесомая пружина, как показано на рисунке. В исходной ситуации шары давят на нижнюю и верхнюю крышки с силами \(5F\) и \(F\), соответственно. Внутренний объем сосуда заполнили жидкостью плотности \(\rho_0\), и после этого шары стали давить на эти крышки с силами \(2F\) и \(4F\), соответственно. Найти плотность шаров \(\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия каждого шара отдельно в обоих случаях. Сила упругой пружины одинакова для обоих шаров и не зависит от жидкости, поэтому её можно исключить.
▶ОтветСкрыть
\(\rho=\dfrac{2}{3}\rho_0\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(M\) — масса шара, \(F_{\text{упр}}\) — сила упругости пружины (одинакова для обоих шаров, так как пружина невесома, и не зависит от наличия жидкости, так как деформация пружины та же). Исходная ситуация: для верхнего шара \(F_{\text{упр}}=F+Mg\), для нижнего \(F_{\text{упр}}=5F-Mg\). Отсюда \(Mg=2F\).
В сосуде с жидкостью на каждый шар действует выталкивающая сила \(F_A\) вверх: для верхнего шара \(F_{\text{упр}}=4F+Mg-F_A\), для нижнего \(F_{\text{упр}}=2F+F_A-Mg\). Вычитая, получаем \(2F_A=2F+2Mg=3Mg\).
Так как \(F_A=\rho_0 gV\) и \(Mg=\rho gV\), то \(\rho=\rho_0\dfrac{Mg}{F_A}=\dfrac{2}{3}\rho_0\).
Примечание организаторов: условие содержало опечатку; при учёте только внешних для системы «шары+пружина» сил получался ответ \(\rho=\dfrac{4}{5}\rho_0\), его засчитывали полностью.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Плавающая скамейка с дырявым поплавком
Чтобы не стоять весь день в воде, рыбак соорудил себе плавающую скамейку. Для этого он взял два одинаковых очень легких, тонкостенных и пустых внутри поплавка в виде параллелепипедов. Поплавки он прикрепил к легкой доске так, что расстояние между центрами поплавков равно \(L=3\) м. Рыбак сел на середину доски, при этом каждый поплавок погрузился на две пятых от своего объема. Однако во время ловли выяснилось, что в одном из поплавков была маленькая течь. И чтобы доска оставалась горизонтальной, рыбаку пришлось все время смещаться в сторону одного из поплавков. Какая часть дырявого поплавка оказалась заполненной водой к тому моменту, когда рыбак сидел на расстоянии \(X=0{,}6\) м от центра доски?
▶ПодсказкаСкрыть
Доска горизонтальна, значит поплавки погружены на одинаковую глубину и выталкивающая сила у них одна и та же. Запишите правило моментов относительно центра доски и связь массы воды с объёмом.
▶ОтветСкрыть
\(0{,}32\), то есть \(32\%\) объёма поплавка.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(V\) — объём одного поплавка, \(M\) — масса рыбака, \(m\) — масса натёкшей в дырявый поплавок воды, \(V_X\) — её объём, \(\rho\) — плотность воды. В начальный момент поплавки погружены на \(2V/5\), и \(Mg=2\rho g\dfrac{2V}{5}\), откуда \(M=\dfrac{4\rho V}{5}\) (масса поплавков считается малой). Горизонтальность доски означает, что поплавки погружены на одинаковую глубину, поэтому выталкивающая сила \(F_A\) у обоих одна.
Правило моментов относительно центра доски: \(F_A\dfrac{L}{2}-mg\dfrac{L}{2}=F_A\dfrac{L}{2}-Mg X\), откуда \(m=\dfrac{2XM}{L}\). Так как \(V_X=\dfrac{m}{\rho}\), то \[V_X=\frac{2X}{L}\cdot\frac{4V}{5}=\frac{8\cdot 0{,}6}{5\cdot 3}\,V=0{,}32\,V.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Нагрев жидкости стопкой пластин
У школьника есть сосуд, который имеет форму параллелепипеда с прямоугольным дном площадью \(3S\). В него налита жидкость при температуре \(T_1=+20\,^\circ\text{C}\). Для изучения явления теплообмена школьник аккуратно складывает в сосуд друг на друга одинаковые горячие пластины площадью \(S\). Когда школьник положил некоторое количество пластин, то жидкость нагрелась до температуры своего кипения \(T_2=+120\,^\circ\text{C}\). Когда школьник уложил еще столько же пластин, то уровень жидкости в сосуде установился на высоте, практически равной высоте всей стопки из пластин. Чему равнялась начальная температура \(T_\text{Х}\) пластин? Плотность пластин в 10 раз больше плотности жидкости, удельная теплоемкость жидкости \(c_\text{Ж}=2\) кДж/(кг\(\cdot\)град), пластин \(c_\text{П}=1\) кДж/(кг\(\cdot\)град), удельная теплота испарения жидкости \(L=1\) МДж/кг. Теплообменом, как пластин, так и жидкости с окружающей средой пренебречь, считать, что испарение жидкости начинается только при достижении температуры кипения.
▶ПодсказкаСкрыть
Составьте уравнение теплового баланса для первой порции пластин (без испарения) и для второй порции (с испарением). Затем используйте равенство высот жидкости и стопки: оставшаяся жидкость занимает \(2S\) дна, а пластины — \(S\).
▶ОтветСкрыть
\(T_\text{Х}=220\,^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(M_\text{Ж}\) — начальная масса жидкости, \(m\) — масса испарившейся жидкости, \(M_\text{П}\) — масса всех пластин.
Тепловой баланс для первой порции пластин (половины стопки, нагрев жидкости до кипения): \[c_\text{Ж}M_\text{Ж}(T_2-T_1)=c_\text{П}\frac{M_\text{П}}{2}(T_\text{Х}-T_2).\] Тепловой баланс для второй порции пластин, когда жидкость уже кипит и испаряется: \[c_\text{П}\frac{M_\text{П}}{2}(T_\text{Х}-T_2)=Lm.\] Из первого и второго уравнений: \(m=\dfrac{c_\text{Ж}M_\text{Ж}(T_2-T_1)}{L}=\dfrac{M_\text{Ж}}{5}\).
Когда испарение закончилось, высоты жидкости и стопки пластин равны. Пластины занимают \(S\) дна, жидкость — \(2S\), поэтому объём оставшейся жидкости вдвое больше объёма пластин: \(M_\text{Ж}-m=2\dfrac{\rho_\text{Ж}}{\rho_\text{П}}M_\text{П}=\dfrac{M_\text{П}}{5}\). Отсюда \(M_\text{П}=5\left(M_\text{Ж}-m\right)=4M_\text{Ж}\).
Подставляя \(M_\text{П}=4M_\text{Ж}\) в первое уравнение: \(2M_\text{Ж}\cdot 100\,^\circ\text{C}=2M_\text{Ж}(T_\text{Х}-T_2)\), т.е. \(T_\text{Х}-T_2=100\,^\circ\text{C}\) и \(T_\text{Х}=220\,^\circ\text{C}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Сосуды на пружинах и мошка
На двух одинаковых пружинах с жесткостью \(k=20\) Н/м висят два одинаковых сосуда, соединенные тонкой и легкой трубкой, как показано на рисунке. Сосуды имеют форму параллелепипедов с внутренним сечением \(4\) см\(\times 5\) см и высотой \(10\) см. Каждый сосуд аккуратно заполняют жидкостью с плотностью \(\rho=1\) кг/дм\(^3\) ровно наполовину, и вся система находится в равновесии. На правый сосуд садится мошка массой \(1\) г. Насколько после этого сместится левый сосуд? Влиянием веса трубки с жидкостью на равновесие системы пренебречь. Считать, что вес груза с массой \(1\) кг равен \(10\) Н.
▶ПодсказкаСкрыть
Пусть один сосуд смещается по высоте на \(y\), а уровень жидкости в нём меняется на \(x\). Сравните изменение силы упругости пружины с изменением веса жидкости и проверьте, что уровни относительно лаборатории не меняются.
▶ОтветСкрыть
\(5\) см.
▶РешениеСкрыть
Пусть левый сосуд смещается вверх на \(y\), а уровень жидкости в нём уменьшается на \(x\) относительно начального. Равновесие пружины и жидкости требует \(ky=x S\rho g\), где \(S=20\) см\(^2\) — сечение сосуда. Для второго сосуда смещение уровня такое же по величине и противоположное по знаку, так как масса жидкости постоянна.
При подстановке численных значений оказывается, что в условиях задачи всегда \(y=x\): уровень жидкости относительно лабораторной системы отсчёта в обоих сосудах не меняется, и условие равновесия жидкости в сообщающихся сосудах выполняется. Поэтому равновесие сосудов безразличное, и жидкость при смещениях перетекает полностью без изменения уровней. Это главная особенность задачи.
После того как на правый сосуд сядет мошка, жидкость полностью перетечёт в правый сосуд. Вес жидкости в левом сосуде был \(P=0{,}5\,h S\rho g=1\) Н (\(h=10\) см), поэтому левая пружина сожмётся на \(P/k=5\) см. Это и есть смещение левого сосуда.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2019/20, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.