Всесибирская, 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Расстояние между поездами не меняется. Запишите пути дрезины относительно каждого поезда, учитывая, что она сначала догоняет передний поезд, а потом отстаёт от него.

\(u=\dfrac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}\).

Расстояние \(S\) между поездами не меняется. Догоняя поезд, идущий впереди, дрезина прошла путь \(v_1t_1=S+ut_1\), где \(u\) — скорость поезда. Отставая от поезда, она прошла путь \(v_2t_2=ut_2-S\). Исключая \(S\), получаем \(u=\dfrac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите закон сохранения энергии для каждого мяча отдельно. Вычтите одно уравнение из другого: в разности квадратов скоростей появится произведение нужных величин.

\(\Delta v=\dfrac{4gR}{v}\).

Пусть начальная скорость мячей \(v_0\), скорости первого и второго мяча непосредственно перед столкновением — \(v_1\) и \(v_2\), а второй мяч в момент столкновения находился на высоте \(H\). Первый мяч в этот момент находится на высоте \(H+2R\). Закон сохранения энергии для первого мяча: \(\dfrac{mv_1^2}{2}+mg(H+2R)=\dfrac{mv_0^2}{2}\); для второго мяча: \(\dfrac{mv_2^2}{2}+mgH=\dfrac{mv_0^2}{2}\). Поскольку мячи движутся навстречу, их относительная скорость \(v=v_2+v_1\), а разность модулей скоростей \(\Delta v=v_2-v_1\). Вычитая из второго уравнения первое, получаем \(v_2^2-v_1^2=(v_2-v_1)(v_2+v_1)=4gR\), или \(\Delta v\cdot v=4gR\). Откуда \(\Delta v=\dfrac{4gR}{v}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Тело, опущенное в воду, покроется слоем намёрзшего льда. Найдите объём льда, который намерзнет при нагревании тела до \(0\,^\circ\)C, и сравните массу тела со льдом с массой вытесненной воды.

\(T<T_0-\dfrac{9\lambda(\rho-\rho_0)}{C\rho}\), где \(T_0=0\,^\circ\text{C}\).

1) Пусть объём тела \(V_0\). Тогда объём намёрзшего за счёт нагревания тела до \(T_0\) льда равен \(V=\dfrac{C\rho V_0(T_0-T)}{0{,}9\rho_0\lambda}\).

2) Суммарная масса тела и льда \(M=\rho V_0+0{,}9\rho_0V\) должна стать меньше, чем масса вытесненной воды \(m=\rho_0(V+V_0)\): \(M<m\).

3) Условие плавания, выраженное через данные задачи: \(\rho V_0+\dfrac{C\rho V_0(T_0-T)}{\lambda}<\rho_0V_0+\dfrac{C\rho V_0(T_0-T)}{0{,}9\lambda}\).

Отсюда \(T<T_0-\dfrac{9\lambda(\rho-\rho_0)}{C\rho}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сравните сечение проводящего слоя в торце свитка с площадью торца, а длину ленты найдите из равенства объёмов ленты и свитка.

\(R_2=R_1\dfrac{\pi^2r^4}{(d_1+d_2)^2h^2}\).

При первом измерении \(R_1=\dfrac{\rho h}{S}\), где \(\rho\) — удельное сопротивление, а \(S\) — площадь поперечного сечения проводящего покрытия. Площадь сечения проводника относится к площади торца свитка, как толщина покрытия к полной толщине ленты: \(S/(\pi r^2)=d_2/(d_1+d_2)\), таким образом \(R_1=\dfrac{\rho h(d_1+d_2)}{\pi r^2d_2}\).

При втором измерении \(R_2=\dfrac{\rho L}{d_2h}\), где \(L\) — длина ленты.

Длину ленты определим из равенства объёмов ленты и свитка: \(\pi r^2h=(d_1+d_2)hL\), откуда \(R_2=\dfrac{\rho\pi r^2}{(d_1+d_2)d_2h}\).

Таким образом, \(R_2=R_1\dfrac{\pi^2r^4}{(d_1+d_2)^2h^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

В равновесии сила упругости уравновешивает силу тяжести, так что жёсткость резинки выражается через \(l\). Запишите закон сохранения энергии до разрыва и после него и сложите полученные уравнения.

\(h=H-L-\sqrt{l\left(2H-\dfrac{v^2}{g}\right)}\).

Пусть жёсткость резинки \(k\), масса шарика \(m\), а она рвётся при растяжении \(x\). Баланс сил в равновесии шарика: \(mg-kl=0\). Закон сохранения энергии к моменту обрыва резинки: \(mg(L+x)=\dfrac{mu^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}\), где \(u\) — скорость шарика в этот момент. Закон сохранения энергии после обрыва резинки: \(\dfrac{mu^2}{2}+mg(H-L-x)=\dfrac{mv^2}{2}\). Складывая последние два уравнения, получаем \(mgH=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}\), откуда \(x^2=l\left(2H-\dfrac{v^2}{g}\right)\).

Высота шарика в момент разрыва резинки \(h=H-L-x\), то есть \(h=H-L-\sqrt{l\left(2H-\dfrac{v^2}{g}\right)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.