Всесибирская, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Нить, пружина и расстояние между гвоздиками образуют прямоугольный треугольник: найдите по нему углы и длину пружины, затем запишите баланс сил по двум осям.

Ответ

\(m=\dfrac{2kl(\sqrt3-1)}{g}\).

Решение

Поскольку катет образованного прямоугольного треугольника в 2 раза меньше гипотенузы, пружина находится под углом \(30^\circ\) к горизонтали. Длина растянутой пружины равна \(l\sqrt3\), сила её натяжения \(T_1=kl(\sqrt3-1)\).

Если сила натяжения нити \(T_2\), то баланс сил, действующих на груз, по горизонтали: \[T_1\cos30^\circ=T_2\cos60^\circ,\] по вертикали: \[T_1\sin30^\circ+T_2\sin60^\circ-mg=0.\] Отсюда \(m=2kl(\sqrt3-1)/g\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Работа силы трения находится из теплового баланса: вся потерянная механическая энергия идёт в тепло. Половина этого тепла уходит на увеличение внутренней энергии одноатомного газа.

Ответ

\(\Delta T=\dfrac{\mu v^2}{2R}\).

Решение

Пусть скатывающая сила \(F\), а масса кубика \(m\). На гладком участке \[\frac{mv^2}{2}=FL.\] На шероховатом участке дополнительно действует сила трения \(F_{\text{тр}}\), так что изменение кинетической энергии центра масс кубика \[-\frac{mv^2}{2}=-A_{\text{тр}}+F\cdot2L,\] где \(A_{\text{тр}}\) — работа силы трения. Отсюда работа силы трения \[A_{\text{тр}}=\frac{3mv^2}{2}.\] В контейнере содержится \(\nu=m/\mu\) молей газа, его внутренняя энергия увеличивается на величину полученного в результате трения тепла: \[\Delta E_{\text{вн}}=Q=A_{\text{тр}}/2,\qquad \Delta E_{\text{вн}}=\frac32\,\nu R\Delta T.\] Подставив значения величин, получим \[\frac{3mR\Delta T}{2\mu}=\frac{3mv^2}{4},\] откуда \(\Delta T=\dfrac{\mu v^2}{2R}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Разность давлений под поршнем и над ним создаётся весом поршня и не меняется. Для верхнего отсека примените закон Бойля — Мариотта, для нижнего отсека вместе с баллоном — уравнение Клапейрона — Менделеева.

Ответ

\(P_1'=\dfrac{5+2\sqrt7}{3}\,P\approx3{,}43P\),  \(P_2'=\dfrac{8+2\sqrt7}{3}\,P\approx4{,}43P\).

Решение

Пусть равновесное давление в верхнем отсеке после открытия вентиля \(P_1'\), а в нижнем — \(P_2'\). Механическое равновесие поршня обеспечивается как до открытия вентиля, так и после него: \[(P_2'-P_1')S=(P_2-P_1)S=mg,\] где \(m\) и \(S\) — масса и площадь поршня, а \(P_1=P\) и \(P_2=2P\) — первоначальные давления в отсеках.

После открытия вентиля в нижнем отсеке цилиндра и баллоне установится одинаковое давление, при этом суммарное количество газа в соединённых объёмах не изменится. Первоначальное количество молей газа в нижнем отсеке \(\nu_2=\dfrac{2PV}{RT}\), в баллоне \(\nu_3=\dfrac{10PV}{RT}\), конечное число молей в соединённом объёме \(\nu=\nu_2+\nu_3\).

Пусть объём верхнего отсека после открытия вентиля \(V_1\). Закон Бойля — Мариотта для верхнего отсека: \[P_1'V_1=PV.\] Уравнение Клапейрона — Менделеева для соединённого объёма нижнего отсека и баллона: \[P_2'(3V-V_1)=\nu RT=12PV.\] Исключая \(V_1\) и \(P_2'\), получаем уравнение \[P_1'^{\,2}-\frac{10}{3}\,P_1'P-\frac13\,P^2=0,\] положительное решение которого даёт значение \(P_1'=\dfrac{5+2\sqrt7}{3}\,P\). Из уравнения \(P_2'=P_1'+P\) получаем \(P_2'=\dfrac{8+2\sqrt7}{3}\,P\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока брусок не скользит, клин и тело движутся как одно целое под действием внешней горизонтальной силы. Затем запишите второй закон Ньютона для тела в проекциях на оси.

Ответ

\(F=\dfrac{mg(M+m)\sin\alpha}{M+m(1-\cos\alpha)}\).

Решение

Тело и клин движутся как целое с горизонтальным ускорением \(a\), которое можно найти из II закона Ньютона: \[(M+m)a=F. \tag{1}\] На тело действует сила \(F\), направленная вдоль нити, и сила реакции со стороны клина \(N\), которая направлена перпендикулярно клину. Уравнения для компонент ускорения тела: \[\begin{aligned} ma&=F\cos\alpha-N\sin\alpha,\\ 0&=F\sin\alpha+N\cos\alpha-mg. \end{aligned} \tag{2}\] Решая систему уравнений (1)–(2), получаем искомую силу \[F=\frac{mg(M+m)\sin\alpha}{M+m(1-\cos\alpha)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В системе отсчёта свободно падающего осколка другой движется равномерно. Расстояние растёт до падения первого осколка, затем уменьшается.

Ответ

\(S_{\max}=\dfrac{v^2(\sqrt3-1)}{g\sqrt2}\).

Решение

Горизонтальная скорость осколков \(v_{1x}=v\cos30^\circ\), \(v_{2x}=v\cos60^\circ\); вертикальная скорость \(v_{1y}=v\sin30^\circ-gt\), \(v_{2y}=v\sin60^\circ-gt\). До падения первого осколка второй осколок удаляется от первого с относительной скоростью \[v_{21}=\sqrt{(v\cos60^\circ-v\cos30^\circ)^2+(v\sin60^\circ-v\sin30^\circ)^2}=v\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{v(\sqrt3-1)}{\sqrt2},\] которая не зависит от времени.

Падение первого осколка происходит через время \(t_1=\dfrac{2v\sin30^\circ}{g}\).

Второй осколок при этом имеет скорость с составляющими \(v_x=v\cos60^\circ\), \(v_y=v\sin60^\circ-gt_1=v\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr)<0\). При меньшей горизонтальной скорости второй осколок в момент падения первого сделает меньшее, чем первый, горизонтальное перемещение, и после падения первого будет приближаться к нему. Поскольку дистанция осколков по вертикали также будет сокращаться, расстояние между осколками после падения первого осколка будет уменьшаться.

Максимальное расстояние между осколками достигается в момент падения первого осколка, и оно равно \(S_{\max}=v_{21}t_1=\dfrac{v^2\sqrt{2-\sqrt3}}{g}=\dfrac{v^2(\sqrt3-1)}{g\sqrt2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.