Всесибирская, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Запишите мощность \(N=\mathcal{E}^2/R_\text{общ}\) для трёх случаев и выразите из каждого суммы сопротивлений; сопротивления найдутся вычитанием.

Ответ

\(R_1=\mathcal{E}^2\dfrac{N_2-N_1}{N_1N_2}\),  \(R_2=\mathcal{E}^2\dfrac{N_3-N_1}{N_1N_3}\),  \(R_3=\mathcal{E}^2\dfrac{N_1N_2+N_1N_3-N_2N_3}{N_1N_2N_3}\).

Решение

Запишем выделяющуюся в каждом случае мощность \[N_1=\frac{\mathcal{E}^2}{R_1+R_2+R_3},\qquad N_2=\frac{\mathcal{E}^2}{R_2+R_3},\qquad N_3=\frac{\mathcal{E}^2}{R_1+R_3}.\] Выражаем из каждого уравнения сумму сопротивлений \[R_1+R_2+R_3=\frac{\mathcal{E}^2}{N_1},\qquad R_2+R_3=\frac{\mathcal{E}^2}{N_2},\qquad R_1+R_3=\frac{\mathcal{E}^2}{N_3}.\] Из этой системы получаем ответ: \[R_1=\mathcal{E}^2\Bigl(\frac1{N_1}-\frac1{N_2}\Bigr),\quad R_2=\mathcal{E}^2\Bigl(\frac1{N_1}-\frac1{N_3}\Bigr),\quad R_3=\mathcal{E}^2\Bigl(\frac1{N_2}+\frac1{N_3}-\frac1{N_1}\Bigr).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Почту можно доставить, только если катера встретятся в некоторой точке и перебросят её друг другу. Топлива хватает на путь до точки встречи и обратно, это даёт отношение расстояний от пристаней до точки встречи.

Ответ

\(t_B=t_A+t_1-t_2=8\) часов.

Решение

1) Доставить почту можно только перебросив ее из одного катера в другой в промежуточном пункте, удаленном на расстоянии \(x\) от \(A\) и \(y\) от \(B\). Пусть скорость катеров относительно воды \(v\), а скорость течения — \(u\).

2) При движении первого катера из \(A\) в \(B\) \[x+y=(v+u)t_1\qquad (1),\] при движении второго из \(B\) в \(A\) \[x+y=(v-u)t_2\qquad (2).\]

3) Время движения до точки встречи и обратно определяется количеством горючего: \[\frac{x}{v+u}+\frac{x}{v-u}=\frac{x\cdot 2v}{v^2-u^2}=t_1,\qquad \frac{y}{v-u}+\frac{y}{v+u}=\frac{y\cdot 2v}{v^2-u^2}=t_2,\] откуда \[\frac{x}{y}=\frac{t_1}{t_2}\qquad (3).\]

4) Обозначив \(t_B\) искомое время, получим \[t_A+\frac{x}{v+u}=t_B+\frac{y}{v-u},\] \[t_B=t_A+\frac{x}{v+u}-\frac{y}{v-u}=t_A+\frac{x}{x+y}\cdot\frac{x+y}{v+u}-\frac{y}{x+y}\cdot\frac{x+y}{v-u}.\] Учитывая (1), (2) и (3), получаем \[t_B=t_A+\frac{t_1^2}{t_1+t_2}-\frac{t_2^2}{t_1+t_2}=t_A+t_1-t_2.\] Ответ: \(t_B=8\) часов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите ускорения тележки и платформы, пока тележка катится, и время движения. При захвате тележки импульс системы создаётся только силой трения; затем платформа с тележкой тормозится трением.

Ответ

\(l=L\,\dfrac{5\mu mg-F}{3(F-\mu mg)}\).

Решение

1) Запишем проекции на ось \(x\), направленную вправо. На тележку действует сила \(F\), а на платформу — \(F\) и сила трения \(F_\text{тр}=3\mu mg\). Ускорение тележки \(a_1=\dfrac{F}{m}\). Поскольку \(F>3\mu mg\), ускорение платформы направлено влево, и \(a_2=\dfrac{F-3\mu mg}{2m}\).

2) За время качения тележки тележка и платформа суммарно переместятся на длину платформы \[L=\frac{(a_1+a_2)t_1^2}{2},\qquad t_1=\sqrt{\frac{2L}{a_1+a_2}}.\]

3) После захвата тележки система будет иметь импульс, создаваемый единственной внешней силой, силой трения: \(3mu=3\mu mg\,t_1\). Скорость системы после захвата \(u=\mu g t_1\) и направлена вправо, так как внешняя сила трения действует вправо. Вкладом силы трения в импульс силы за время удара пренебрегаем, так как считаем, что удар практически мгновенный.

4) До захвата тележки платформа проходит расстояние \(l_1=\dfrac{a_2t_1^2}{2}\) влево от начального положения. После захвата тележки платформа пройдет расстояние \(l_2=\dfrac{u^2}{2\mu g}\) вправо.

Значит, смещение от начального положения \[l=l_2-l_1=\frac{u^2}{2\mu g}-\frac{a_2t_1^2}{2}=\frac{(\mu g-a_2)t_1^2}{2}=L\,\frac{5\mu mg-F}{3(F-\mu mg)}.\] Ответ: \(l=L\,\dfrac{5\mu mg-F}{3(F-\mu mg)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Клин может начать поворачиваться вокруг точки, где он касается поверхности прямым углом. Запишите условие равенства моментов относительно неё при нулевом моменте реакции опоры; центр масс клина лежит в точке пересечения медиан.

Ответ

\(m/M=4/3\).

Решение

1) Если положить достаточно массивный брусок на вершину клина, то клин может начать вращение вокруг точки \(O\), где он касается поверхности своим прямым углом. Клин будет покоиться при условии равенства нулю суммарного момента сил, действующего на него. Запишем это равенство относительно точки \(O\): \[Mg\,\frac{L}{3}=mg\cos\alpha\cdot L\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha+K,\] где \(K\) — момент силы реакции опоры, действующей на клин со стороны поверхности, \(L\) — длина основания клина.

2) Предельно большая масса бруска отвечает нулевому моменту силы реакции опоры \(K\). В написанной формуле учтено, что центр масс клина находится в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в соотношении \(2:1\), считая от вершины. Брусок действует на клин только своим весом, так как трение между бруском и клином полностью отсутствует.

Условие отсутствия начала переворота клина имеет, таким образом, вид: \[Mg\,\frac{L}{3}-mg\cos\alpha\cdot L\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha\ge 0.\] Максимальная масса бруска: \(m_{\max}=\dfrac{M}{3\sin^2\alpha}\), а искомое отношение \(m/M=4/3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Притяжение заряженных поршней добавляет к атмосферному давлению давление воздуха между ними; воздух сжимается изотермически, а напряжение пропорционально заряду и расстоянию. Составьте отношение напряжений.

Ответ

\(P_0=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}\).

Решение

1) Обозначим равновесное расстояние между поршнями \(h_0\), атмосферное давление \(P_0\). Когда на поршнях находятся заряды \(\pm Q\), электростатическая сила взаимодействия равна \(F_1=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\).

2) Эта сила уравновешивается добавочным давлением между поршнями \[P_1=P_0+\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}.\]

3) По закону Бойля — Мариотта расстояние между поршнями будет \(h_1=h_0P_0/P_1\), и напряжение \(V_1=\dfrac{Qh_1}{\varepsilon_0S}\).

4) В случае, когда на поршнях находятся заряды \(\pm 2Q\), получаем аналогично \[P_2=P_0+\frac{4Q^2}{2\varepsilon_0S^2},\qquad h_2=h_0P_0/P_2,\qquad V_2=\frac{2Qh_2}{\varepsilon_0S}.\] Разделив одно напряжение на другое, получаем \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{2P_1}{P_2}=0{,}8\ \Rightarrow\ \frac{P_0+\dfrac{4Q^2}{2\varepsilon_0S^2}}{P_0+\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}}=2{,}5,\ \text{откуда}\ P_0=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}.\] Ответ: \(P_0=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.