зад 1 Лодки на реке
Мимо деревни \(A\) в сторону деревни \(B\) течёт река. В 9-00 из \(A\) в \(B\) отправилась лодка «Ветерок», и одновременно с этим из \(B\) в \(A\) отправилась лодка «Вихрь». Они встретились ровно посередине пути из \(A\) в \(B\). В 18-00 эти же лодки отправились в обратных направлениях. Теперь они встретились в момент, когда лодка «Ветерок» проплыла всего \(30\%\) пути до \(A\). Чему равна скорость течения реки, если её можно считать постоянной на всей реке, а лодка «Вихрь» имеет скорость \(24\) км/ч относительно воды?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость лодки относительно берега складывается из её скорости относительно воды и скорости течения. Сравните времена, которые лодки тратят на одинаковые участки пути, и запишите равенство времён для обоих отрезков.
▶ОтветСкрыть
\(U=4\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(U\) — искомая скорость течения реки, \(V_1\) — скорость лодки «Вихрь» относительно воды, \(V_2\) — скорость лодки «Ветерок» относительно воды, \(L\) — длина пути между деревнями (для ответа она не нужна).
При одновременном старте в 9-00 каждая лодка проплыла одно и то же расстояние \(L/2\) за одно и то же время. «Ветерок» плыл по течению, а «Вихрь» — против, поэтому $$V_2+U=V_1-U, т.е. 2U=V_1-V_2.$$
На обратном пути до встречи лодки также затратили одинаковое время. «Ветерок» проплыл \(3/10\) всего расстояния, а «Вихрь» — \(7/10\): $$\dfrac{7L}{10(V_1+U)}=\dfrac{3L}{10(V_2-U)}.$$ Отсюда \(3(V_1+U)=7(V_2-U)\), или \(10U=7V_2-3V_1\).
Подставляя \(V_1-V_2=2U\), получаем \(5(V_1-V_2)=7V_2-3V_1\), откуда \(V_2=\dfrac{2V_1}{3}=16\) км/ч. Тогда \(U=\dfrac{V_1-V_2}{2}=4\) км/ч.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Брусок, вмороженный в лёд
Металлический брусок размерами \(2\times2\times6\) см вморожен в кусок льда с внешними размерами \(4\times4\times12\) см так, что центр верхней стороны (\(2\times2\)) бруска совпадает с центром верхней стороны (\(4\times4\)) куска льда. Брусок вместе с куском льда подвешен на пружине и опущен в неизвестную жидкость, как показано на рисунке. Когда лёд растаял, то образовавшаяся вода растеклась по поверхности жидкости очень тонким слоем, брусок оказался погружённым наполовину, а деформация пружины не изменилась. Во сколько раз плотность неизвестной жидкости больше, чем плотность льда?
▶ПодсказкаСкрыть
Пружина в обоих состояниях растянута одинаково, значит, её сила одна и та же. Определите, какая часть объёма «бруска со льдом» была под водой в исходном положении, и запишите равновесие системы до и после таяния льда.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{\rho_ж}{\rho_л}=\dfrac{14}{11}\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим массу и объём металлического бруска \(M\) и \(V\) (сам объём в ответ не входит), \(F\) — сила упругости пружины, \(\rho_л\) и \(\rho_ж\) — плотности льда и жидкости. Искомое отношение — \(\rho_ж/\rho_л\).
Сила упругости пружины одна и та же в исходной и конечной ситуации. Объём льда в куске равен \(4\cdot4\cdot12-2\cdot2\cdot6=168\) см\(^3=7V\), а его масса \(7V\rho_л\).
В конечной ситуации брусок погружён на половину своей высоты (3 см), пружина не изменила деформацию, а уровень жидкости не изменился. Значит, в исходном положении составное тело «брусок + намороженный лёд» (объём \(8V\)) было погружено на \(3/4\) своего объёма. Условие равновесия в исходном положении: $$\dfrac34\cdot8V\rho_ж g+F=(M+7V\rho_л)g.$$ После таяния льда брусок погружён наполовину (\(V/2\) под водой): $$\dfrac12V\rho_ж g+F=Mg.$$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(\dfrac{11}{2}\rho_ж=7\rho_л\), откуда $$\dfrac{\rho_ж}{\rho_л}=\dfrac{14}{11}.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Турист в городе N
В городе N все кварталы имеют вид одинаковых квадратов, а улицы — перпендикулярны друг другу. Турист в 9-00 вышел прогуляться по городу и наметил маршрут в виде прямоугольника \(ABCD\), рассчитывая прийти ровно через 4 часа в начальную точку. Но, прогуливаясь, он пропустил нужный поворот и вместо точки \(D\) повернул в точке \(E\). В точке \(F\) он понял свою ошибку, повернул обратно. В точке \(G\) он понял, что заблудился, и решил взять такси. Через 10 минут приехало такси и довезло его до т. \(A\) в 14-10, при этом во время движения такси всё время приближалось к т. \(A\). Определите по этим данным, во сколько раз средняя скорость движения такси больше скорости туриста во время прогулки. Шириной улиц по сравнению с размерами квартала пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите длину стороны квартала через скорость туриста и запланированное время, затем посчитайте, сколько кварталов он прошёл на самом деле, и сравните общее время с суммой пешего пути, ожидания и поездки на такси.
▶ОтветСкрыть
В \(16\) раз.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(X\) — длина стороны квартала, \(V_0\) и \(V_1\) — скорости ходьбы туриста и движения такси, \(T_0=4\) ч — время прогулки по плану, \(T_1=\dfrac76\) ч — фактическое превышение времени над планом (от 9-00 до 14-10 прошло \(5\) ч \(10\) мин \(=\dfrac{31}{6}\) ч), \(T_2\) — время движения на такси.
По плану турист проходил прямоугольник \(ABCD\) периметром \(26\) кварталов, поэтому \(26X=V_0T_0\), т.е. \(V_0=\dfrac{26X}{T_0}\).
Фактически турист прошёл пешком \(32X\), а на такси проехал \(8X\) — независимо от конкретной траектории, так как такси всё время приближалось к \(A\). Время пешей части равно $$\dfrac{32X}{V_0}=\dfrac{32}{26}T_0=\dfrac{64}{13} ч.$$
Суммарное время складывается из пешего пути, ожидания такси (\(\dfrac16\) ч) и поездки: $$\dfrac{32}{26}T_0+\dfrac16+T_2=T_0+T_1,$$ откуда $$T_2=\dfrac{8X}{V_1}=T_1-\dfrac16-\dfrac{6}{26}T_0=\dfrac{1}{13} ч.$$
Искомое отношение скоростей: $$\dfrac{V_1}{V_0}=\dfrac{8X}{T_2}\cdot\dfrac{T_0}{26X}=\dfrac{8T_0}{26T_2}=\dfrac{8\cdot4}{26\cdot\frac{1}{13}}=16.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Коробки из пластин
У школьника есть большое количество разных квадратных пластин, сделанных из материала толщиной, равной \(d=\dfrac16\) см. Подбирая пластины одинакового размера, он сделал много разных коробок в виде куба без крышки (для примера см. рис. сверху). Затем школьник стал подбирать и вставлять коробки друг в друга так, чтобы между соседними коробками практически не было зазоров (условно показано на рис. снизу). Чему примерно равна суммарная площадь внутренних поверхностей всех составленных вместе коробок, если у самой большой из них эта площадь была равна \(S_1=2000\) см\(^2\), а у самой маленькой — в 4 раза меньше? Влиянием мест сочленения пластин на форму коробки можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Площадь поверхности, умноженная на толщину стенки, даёт объём материала. Тогда искомая площадь равна объёму всего материала, делённому на \(d\). Объём материала найдите как объём сплошной фигуры, повторяющей внешнюю форму вставленных коробок.
▶ОтветСкрыть
\(S_X\approx3{,}7\cdot10^4\) см\(^2\) (точнее — около \(3{,}6\cdot10^4\) см\(^2\)).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(L_1\) — длина ребра самой большой коробки (по внутренней стороне), \(L_2\) — длина ребра самой маленькой, \(S_2\) — площадь внутренней поверхности самой маленькой коробки, \(V\) — объём материала всех коробок, \(S_X\) — искомая площадь.
Каждая коробка состоит из 5 пластин, поэтому \(S_1=5L_1^2=2000\) см\(^2\), \(L_1=20\) см; \(S_2=S_1/4=500\) см\(^2\), \(L_2=10\) см. Длина ребра каждой следующей коробки больше предыдущей на \(2d\), поэтому число коробок равно $$\dfrac{L_1-L_2}{2d}+1=31.$$
Площадь внутренней поверхности, умноженная на толщину стенки, даёт объём материала, поэтому \(S_X=V/d\).
Объём материала, затраченного на все коробки, совпадает с объёмом сплошной фигуры, повторяющей внешнюю форму вставленных коробок (с учётом того, что места сочленения не влияют на форму): $$V\approx\dfrac56\left(L_1^3-L_2^3\right)+dS_1.$$ Коэффициент \(5/6\) получается так: если бы все коробки были с крышками, объём составил бы примерно \(L_1^3-L_2^3\); верхняя часть фигуры (выделена на рисунке точками) составляет шестую часть всей конструкции, так как остальные пять её частей одинаковы по форме и размерам. Слагаемое \(dS_1\) учитывает объём самой большой коробки по её внутренней стороне.
Итак, $$S_X\approx\dfrac{5\left(L_1^3-L_2^3\right)}{6d}+S_1=35 000+2000=37 000 см^2.$$
Эта оценка немного выше точного ответа (\(36\,253\) см\(^2\)), так как при ней считается, что вставленные коробки не имеют пустот между собой. В местах сгиба пустоты есть: на каждую коробку с внутренней стороной \(L\) объём пустот примерно \(\left(8+\dfrac{4}{2}\right)(L+d)d^2\). Суммарный лишний объём оценивается как \(V'\approx300(L_1+d)d^2+20d^3\cdot435\approx168+40\approx208\) см\(^3\), а лишняя площадь — \(V'/d\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2020/21, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.