Всесибирская, 2021/22, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Во время разговора школьник идёт втрое медленнее, а после разговора возвращается за платком и идёт назад. Сравните, насколько дольше он идёт домой в этот день, чем без звонков: сколько времени уходит на лишний путь туда и обратно?

Ответ

\(12\) мин.

Решение

Пусть \(T_x\) — искомая длительность всех разговоров в минутах, \(V\) — скорость школьника, когда он не разговаривает по телефону, \(L\) — расстояние между школой и домом.

Для одного разговора, длившегося \(t\), школьник, возвращаясь за платком и обратно в точку, где разговор закончился, проходит отрезок длиной \(tV/3\) (рисунок). Полное расстояние, которое проходит школьник за все время разговоров, равно \(T_xV/3\).

Если бы ему не звонили, он прошёл бы это расстояние за \(T_x/3\), то есть на \(2T_x/3\) быстрее.

Возвращаясь за платком, школьник прошёл лишнее расстояние \(2T_xV/3\), на что ушло время $$\dfrac{2T_xV/3}{V}=\dfrac{2T_x}{3}.$$ Согласно условию, звонков не было, пока он не подобрал платок и не прошёл точку, в которой прекратился предыдущий разговор, поэтому эти лишние пути не перекрываются.

Итого в этот день школьник потратил дополнительное время $$\dfrac{2T_x}{3}+\dfrac{2T_x}{3}=\dfrac{4T_x}{3}=16 мин,$$ откуда \(T_x=12\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Масса поплавков мала, поэтому в каждом положении уравновешены сила Архимеда, сила тяжести и натяжения резинок. Запишите равновесие каждого поплавка через длину нерастянутой резинки \(L_0\) и исключите \(L_0\); затем учтите, что после заполнения нижнего поплавка натяжения резинок становятся одинаковыми.

Ответ

\(L_X=\dfrac{3L_1+L_2}{4}\).

Решение

Пусть \(V\) — объём одного поплавка, \(\rho\) — плотность жидкости, \(L_0\) — длина нерастянутой резинки, \(L_X\) — искомая длина растянутой нижней резинки после полного погружения верхнего поплавка, \(k\) — жёсткость резинки.

Так как стенки очень тонкие, масса поплавка мала, поэтому условие равновесия верхнего поплавка в начальной ситуации имеет вид $$\dfrac{3}{4}V\rho g=k(L_1-L_0).$$ Условие равновесия нижнего поплавка в начальной ситуации: $$V\rho g+k(L_1-L_0)=k(L_2-L_0).$$ Из этих двух уравнений получаем $$\dfrac{3}{4}k(L_2-L_1)=k(L_1-L_0),  т.е.  L_0=\dfrac{7L_1-3L_2}{4}.$$

После заполнения пустотелого поплавка жидкостью силы натяжения обеих резинок становятся одинаковыми, а условие равновесия верхнего поплавка (теперь он погружён целиком) принимает вид $$V\rho g=k(L_X-L_0).$$ Из первого уравнения \(V\rho g=k(L_2-L_1)\). Подставляя \(L_0\): $$L_X=L_0+(L_2-L_1)=\dfrac{3L_1+L_2}{4}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сначала найдите соотношение между числом пустых и груженых машин: за одно и то же время в обе стороны должно проходить одинаковое число машин. Затем запишите, что суммарный вес машин на мосту не превышает предела, и для каждого типа машин получите ограничение на их число.

Ответ

\(24\) грузовика: \(9\) пустых и \(15\) груженых.

Решение

Пусть \(L\) — длина всего пути от фабрики до карьера, \(N\) — искомое число всех машин, \(N_П\) — число пустых машин, которые едут от фабрики в карьер, \(N_Г\) — число груженых машин, которые едут обратно, \(N_П+N_Г=N\). Пусть \(M_П\) и \(M_Г\) — массы пустой и груженой машины.

При равномерном темпе работы в любом месте пути количество машин, проехавших за одно и то же время в одну сторону, равно числу машин, проехавших в другую сторону; иначе где-то возникнет нехватка или избыток машин. Поэтому $$\dfrac{L/N_П}{V_П}=\dfrac{L/N_Г}{V_Г},  \dfrac{N_Г}{N_П}=\dfrac{V_П}{V_Г}=\dfrac{60}{36}=\dfrac{5}{3},$$ откуда $$N_Г=\dfrac{V_П}{V_Г+V_П}N=\dfrac{5}{8}N,  N_П=\dfrac{V_Г}{V_Г+V_П}N=\dfrac{3}{8}N.$$

Поскольку мост занимает примерно треть всего пути, по нему одновременно едут не больше \(N_П/3\) пустых и \(N_Г/3\) груженых машин. Груженая машина весит примерно в \(19/6\) раза больше пустой: \(19M_П/6=M_Г\).

Пустые машины на мосту. Общий вес машин на мосту не больше предела: $$\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{M_Г N_Г}{3}=\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{19M_П}{6}\cdot\dfrac{5N_П/3}{3}=\dfrac{113}{54}M_П N_П\le 19M_П,$$ т.е. \(N_П\le 9{,}07\).

Аналогично для груженых машин: $$\dfrac{M_П N_П}{3}+\dfrac{M_Г N_Г}{3}=\dfrac{M_Г N_Г}{3}+\dfrac{6M_Г}{19}\cdot\dfrac{3N_Г/5}{3}=\dfrac{113}{285}M_Г N_Г\le 6M_Г,$$ т.е. \(N_Г\le 15{,}1\).

Отсюда максимальные значения \(N_П=9\), \(N_Г=15\), \(N=24\).

Заметим, что при таком числе машин расстояние между груженными машинами составляет \(L/15\), и между шестью груженными машинами получается \(5L/15=L/3\), что чуть длиннее моста, поэтому на мосту может быть только 5 груженых машин; между четырьмя пустыми машинами расстояние \(3L/9=L/3\), и на мосту не будет больше машин, чем можно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Натяжение невесомой нити одинаково на всём участке; из равновесия самого большого поршня найдите давление под ним, а затем связывайте смещения поршней через постоянный объём жидкости. Давление на глубине растёт на \(\rho gX\).

Ответ

\(X=\dfrac{F_0}{10\rho gS}\).

Решение

Обозначим силы, действующие на меньший и средний поршни в начальной ситуации, как \(T_1\) и \(T_2\). Начальное давление под каждым поршнем — \(P_1\), масса поршня — \(M\). После увеличения внешней силы до \(2F_0\) натяжения участков нити до и после точки приложения обозначим \(T_3\) и \(T_4\). Искомое смещение поршня площадью \(3S\) обозначим \(X\), сопутствующие смещения других поршней — \(y\).

Условие равновесия нити в начальной ситуации (натяжение свободного участка невесомой нити одинаково вдоль всего участка): $$F_0=T_1-T_2.$$ Для поршней, слева направо, равновесие определяется равенствами $$T_1=Mg-P_1S,  T_2=Mg-2P_1S,  0=Mg-3P_1S.$$ Из последнего уравнения следует, что под большим поршнем в равновесии всегда одно и то же давление \(P_1=\dfrac{Mg}{3S}\). Отсюда $$F_0=T_1-T_2=P_1S=\dfrac{Mg}{3}.$$

После увеличения внешней силы условие равновесия нити имеет вид $$2F_0=T_3-T_4.$$ Равновесие поршней: $$T_3=Mg-S\bigl(P_1+\rho g(X-y)\bigr),  T_4=Mg-2S\bigl(P_1+\rho g(X+y)\bigr).$$ Здесь учтено, что под большим поршнем давление всегда равно \(P_1\), что давление в жидкости при увеличении глубины на \(X\) возрастает на \(\rho gX\), и что смещения малого и среднего поршней одинаковы по величине вследствие нерастяжимости нити.

Из сохранения объёма жидкости связь смещений: $$yS+3SX=2Sy, откуда y=3X.$$

Проводя преобразования: $$2F_0=T_3-T_4=P_1S+\rho gS(3y+X)=F_0+10\rho gSX,$$ откуда $$X=\dfrac{F_0}{10\rho gS}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.