Всесибирская, 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Сравните объёмы замёрзшей воды в сосульке и в столбике одинаковой длины, затем найдите скорость сближения их концов. Время — это зазор \(H\), делённый на эту скорость.

Ответ

\(T_x=\dfrac{6}{13}\) ч\(\approx 27{,}7\) мин.

Решение

Обозначим искомое время \(T_x\), \(T_1=1\) ч — время, за которое сосулька выросла на \(h\); скорость опускания нижнего конца сосульки \(V_1=h/T_1\), скорость роста столбика \(V_2\). Объёмы замёрзшей воды прямо пропорциональны длине сосульки или столбика и квадрату их толщины. Поэтому при одинаковой длине сосулька занимает объём в 9 раз меньший, чем столбик. За одно и то же время на столбик замерзает в 4 раза больше капель, чем на сосульку. Так как капли в среднем одинаковы, скорость роста сосульки в \(9/4\) раза больше скорости роста столбика: \(V_2=\dfrac{4V_1}{9}\), а скорость сближения концов сосульки и столбика равна \(V_{\text{сбл}}=\dfrac{13V_1}{9}\).

Отсюда \(T_x=\dfrac{H}{V_{\text{сбл}}}=\dfrac{9H}{13V_1}=\dfrac{9H}{13h}\,T_1=\dfrac{6}{13}\) ч\(\approx 27{,}7\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите тепловой баланс всего объёма. Энергия, переданная жидкостями из испарителей, равна \(N(t_1+t_2+t_3)\) и не зависит от того, как распределена жидкость между испарителями.

Ответ

\(\Delta T=\dfrac{N(t_1+t_2+t_3)}{MC+mC_{\text{ж}}}=36\) °C.

Решение

Обозначим температуру тела (и всей жидкости, образовавшейся внутри объёма после конденсации пара) как \(T_X\), начальную температуру всей системы — \(T_0\), так что \(\Delta T=T_X-T_0\). Массы жидкости в испарителях — \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(m=m_1+m_2+m_3\); \(L_{\text{ж}}\) — удельная теплота парообразования, \(T_{\text{кип}}\) — температура кипения жидкости.

При конденсации всего пара внутри объёма выделяется теплота \(Q_{\text{кип}}=(m_1+m_2+m_3)L_{\text{ж}}=mL_{\text{ж}}\), а при охлаждении жидкости от \(T_{\text{кип}}\) до \(T_X\) телу передаётся теплота \(Q_{\text{охл}}=mC_{\text{ж}}(T_{\text{кип}}-T_X)\). Уравнение теплового баланса внутри объёма: \(MC(T_X-T_0)=Q_{\text{кип}}+Q_{\text{охл}}\).

Для испарителя с номером \(n\) полное испарение жидкости требует \(Q_n=m_nC_{\text{ж}}(T_{\text{кип}}-T_0)+m_nL_{\text{ж}}=Nt_n\). Складывая для трёх испарителей, получаем \(N(t_1+t_2+t_3)=m\left[L_{\text{ж}}+C_{\text{ж}}(T_{\text{кип}}-T_0)\right]\). Перепишем правую часть через \(T_X\): \(m\left[L_{\text{ж}}+C_{\text{ж}}(T_{\text{кип}}-T_X)\right]+mC_{\text{ж}}(T_X-T_0)=Q_{\text{кип}}+Q_{\text{охл}}+mC_{\text{ж}}(T_X-T_0)\). Тогда \(MC(T_X-T_0)=N(t_1+t_2+t_3)-mC_{\text{ж}}(T_X-T_0)\), откуда \(\Delta T=\dfrac{N(t_1+t_2+t_3)}{MC+mC_{\text{ж}}}=\dfrac{2000\cdot 1800}{98\cdot1000+1\cdot2000}=36\) °C.

Рассматривать промежуточные этапы испарения и конденсации необязательно: уравнение теплового баланса можно записать сразу для конечного состояния, так как весь процесс состоит в том, что в объём передана определённая энергия и нагреты жидкость и тело.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Из равновесия перемычки найдите силы, действующие на стержни. Затем запишите равновесие каждого поршня и исключите давление под меньшим поршнем.

Ответ

\(\rho=\dfrac{F_0}{8SgH}\).

Решение

Обозначим силы, действующие на поршни (и на края перемычки), как \(T_1\) и \(T_2\), давление под меньшим поршнем — как \(P_1\).

Условия равновесия перемычки: \(F_0=T_1+T_2\), \(T_2L=T_1\cdot3L\). Отсюда \(T_2=\dfrac{3F_0}{4}\) и \(T_1=\dfrac{F_0}{4}\).

Условия равновесия поршней: меньшего — \(T_1+Mg+(P_0-P_1)S=0\); большего — \(T_2+2Mg+\left(P_0-(P_1+\rho gH)\right)2S=0\). Из первого уравнения \(Mg+(P_0-P_1)S=-T_1\), и второе принимает вид \(T_2-2T_1-\rho gH\cdot 2S=0\). Таким образом, \(\rho=\dfrac{F_0}{8SgH}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите, сколько времени предмет проводит у каждого школьника, и на сколько он смещается вдоль дорожки за один цикл «туда и обратно». Затем определите, когда предмет снова окажется у стартовой линии.

Ответ

\(435\) с (через \(7\) мин \(15\) с после старта).

Решение

Обозначим длину дорожек \(L\). Скорости первоклассников и второклассников равны \(L/T_1\) и \(L/T_2\), а скорость сближения школьников, бегущих по разным дорожкам, равна \(L/T_1+L/T_2\).

В момент получения предмета первоклассник и второклассник стоят рядом, поэтому от первоклассника следующий второклассник находится на расстоянии \(L/N_2\) вдоль дорожки, а если предмет получил второклассник, то следующий первоклассник — на расстоянии \(L/N_1\). Значит, предмет у конкретного первоклассника находится в течение \(\dfrac{L/N_2}{L/T_1+L/T_2}=\dfrac{T_1T_2}{(T_1+T_2)N_2}=\dfrac{1}{6}\) мин \(=10\) с, а у второклассника — в течение \(\dfrac{L/N_1}{L/T_1+L/T_2}=\dfrac{T_1T_2}{(T_1+T_2)N_1}=\dfrac{1}{4}\) мин \(=15\) с.

За время передачи от второклассника первокласснику и обратно (всего \(\dfrac{5}{12}\) мин \(=25\) с) предмет смещается вдоль дорожки на \(\dfrac{L/N_1}{L/T_1+L/T_2}\cdot\dfrac{L}{T_2}-\dfrac{L/N_2}{L/T_1+L/T_2}\cdot\dfrac{L}{T_1}=\dfrac{L}{T_1+T_2}\left(\dfrac{T_1}{N_1}-\dfrac{T_2}{N_2}\right)=\dfrac{L}{18}\), то есть на \(1/18\) всей дорожки. Здесь учтено, что второклассник пробегает большее расстояние за время между передачами, и предмет в среднем движется в ту же сторону, что и второклассники.

Ровно через 18 таких циклов предмет окажется на стартовой линии вместе с первоклассником, который в этот момент встретит очередного второклассника, через \(18\cdot\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{2}\) мин \(=450\) с. Однако первый раз после старта предмет пересечёт стартовую линию раньше — с вторым классником, который передаст предмет первокласснику. Это произойдёт на 15 с раньше, т.е. через \(435\) с после старта: первоклассник принесёт предмет на линию старта за 10 с, а тот же отрезок второклассник пробегает вдвое быстрее, за 5 с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите равновесие каждого кубика в исходном состоянии и в конечном, когда натяжение резинки равно нулю. Сравните, как далеко опускается кубик, к которому приложена сила, с его размером.

Ответ

\(F=T_0\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{\rho ga^2}{k}\right)\) при \(k>\dfrac{4T_0\rho ga^2}{2\rho ga^2-T_0}\); при меньших \(k\) \(F=\dfrac{\rho ga^3}{2}\). Силу прикладывают к меньшему кубику (ребро \(a\)).

Решение

Обозначим \(M_1\) и \(M_2\) массы кубиков с рёбрами \(a\) и \(2a\). Натяжение резинки одинаково по всей её длине, а выталкивающие силы, действующие на кубики, разные, поэтому массы и плотности кубиков должны различаться. Условия равновесия кубиков в исходном положении: \(M_1g+T_0=\rho g\dfrac{a^3}{2}\), \(\quad M_2g+T_0=\rho g\cdot 4a^3\).

Пусть искомая сила \(F\) приложена к меньшему кубику, и под её действием он опустился на \(x<a/2\). Так как начальное растяжение резинки равно \(T_0/k\), а в конечном состоянии оно равно нулю, полная длина резинки уменьшилась на \(T_0/k\). Значит, второй кубик сдвинулся вверх на расстояние \(x-T_0/k\), и условия равновесия в новом состоянии: \(M_1g+F=\rho ga^2\left(\dfrac{a}{2}+x\right)\), \(\quad M_2g=\rho g\cdot 4a^2\left(a-x+\dfrac{T_0}{k}\right)\).

Из второго из них и исходного уравнения для \(M_2\) следует \(x=T_0\dfrac{k+4\rho ga^2}{4k\rho ga^2}\). Используя первое уравнение и исходное для \(M_1\), получаем \(F=T_0\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{\rho ga^2}{k}\right)\).

Это решение применимо при \(x<a/2\), то есть при \(k>\dfrac{4T_0\rho ga^2}{2\rho ga^2-T_0}\). Заметим также, что \(T_0<\rho ga^3/2\), так как массы тел положительны.

При меньших \(k\) кубик после полного погружения под действием силы \(F=\dfrac{\rho ga^3}{2}\) продолжает погружаться, пока натяжение резинки не упадёт до нуля, поэтому в этом случае минимальная сила равна \(\dfrac{\rho ga^3}{2}\). Если бы силу прикладывали к большему кубику, требуемая сила была бы больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.