Всесибирская, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите условие плавания для двух случаев: тело в равновесии, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести. Масса ребёнка в обоих уравнениях одна и та же, её можно исключить.

Ответ

\(\rho_ж/\rho=3\): пластик плотика легче воды в 3 раза.

Решение

Пусть \(\rho\) — плотность пластика, \(\rho_ж\) — плотность воды, \(m\) — масса одного ребёнка, \(V\) — объём плотика. Тогда масса плотика \(M=\rho V\).

Трое ребят, плотик погружён наполовину: \(3mg+\rho Vg-\rho_ж g\dfrac{V}{2}=0\).

Двенадцать ребят, плотик почти полностью под водой: \(12mg+\rho Vg-\rho_ж gV=0\).

Умножим первое уравнение на 4 и вычтем из него второе, исключая массу ребёнка: \(3\rho Vg-\rho_ж gV=0\), откуда \(\rho_ж/\rho=3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выразите путь хозяина до встречи через число полных кругов \(n\) и отрезок \(x\), а путь собаки — через \(n+k+1\) кругов минус \(x\) (она бежит навстречу). Приравняйте времена движения и проверьте, попадает ли место встречи на сохранившуюся секцию забора.

Ответ

\(t=1{,}8\) мин (\(\approx0{,}03\) ч).

Решение

Пусть хозяин до встречи прошёл путь \(S_1=nL+x\), где \(x\) — путь от столба до места встречи вдоль забора, а собака за то же время пробежала \(S_2=(n+k+1)L-x\) (против часовой стрелки навстречу хозяину). Оба затратили одинаковое время \(t\): $$\frac{nL+x}{v}=\frac{(n+k+1)L-x}{u}.$$ Отсюда \(x=\dfrac{4{,}2(1+k)-0{,}6\,n}{9}\,L\).

Длина одной секции \(l=L/9=10\) м. Хозяин найдёт собаку, только если место встречи приходится на сохранившуюся секцию, то есть целая часть \(x/l\) нечётна. Здесь \(x/l=4{,}2(1+k)-0{,}6n\). При \(n=0\), \(k=0\) имеем \(x/l=4{,}2\), целая часть 4 — не подходит. При \(n=1\), \(k=0\) имеем \(x/l=3{,}6\), целая часть 3 — нечётная, условие выполнено. Пара \(n=1\), \(k=0\) подходит для условий задачи.

Случаи \(k>0\) при \(n<7\) не дают решения (в официальном решении при \(n<7\) берётся \(k=0\)). Заметим, что к моменту, когда хозяин пройдёт ровно 7 кругов, собака пробежит ровно 8, и они окажутся одновременно в точке старта, так что картина повторяется с начала и решений для \(k>0\) искать не нужно.

Искомое время при \(n=1\), \(k=0\), \(x=0{,}4L\): $$t=\frac{L+x}{v}=\frac{1{,}4 L}{v}=1{,}8 мин (\approx0{,}03 ч).$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выразите максимальную скорость через ускорение и время разгона. Путь найдите как сумму пути при разгоне и пути на участке с постоянной скоростью, затем используйте определение средней скорости.

Ответ

\(\dfrac{t}{T}=2\left(1-\dfrac{u}{V}\right)\), где \(T\) — полное время движения, \(t\) — время равноускоренного движения.

Решение

Пусть \(T\) — полное время движения, \(t\) — время равноускоренного движения, \(a\) — ускорение. Максимальная скорость \(V=at\).

Полный путь: \(S=\dfrac{at^2}{2}+V(T-t)=at\left(T-\dfrac{t}{2}\right)\).

Средняя скорость \(u=S/T\). Отношение средней скорости к максимальной: $$\frac{u}{V}=\frac{T-t/2}{T}=1-\frac{t}{2T},$$ откуда \(\dfrac{t}{T}=2\left(1-\dfrac{u}{V}\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В каждом случае запишите равенство токов, входящего и выходящего из узла, который соединяет резистор \(R_0\) с первым вольтметром и резистор \(R\) с остальными вольтметрами. Внутреннее сопротивление вольтметра \(r\) и \(R\) исключите из системы двух уравнений.

Ответ

\(R=4000\) Ом.

Решение

Пусть \(r\) — внутреннее сопротивление вольтметра, \(R\) — сопротивление неизвестного резистора.

При первом измерении ток через \(R_0\) и первый вольтметр равен сумме токов через \(R\) и второй вольтметр: $$\frac{V_1}{R_0}+\frac{V_1}{r}=\frac{U_1}{R}+\frac{U_1}{r}.$$ Подставив значения напряжений и приведя к общему знаменателю, получим \(5(R_0+r)R=17(R+r)R_0\) (1).

При втором измерении ток через \(R_0\) и первый вольтметр равен сумме токов через \(R\) и два остальных вольтметра: $$\frac{V_2}{R_0}+\frac{V_2}{r}=\frac{2U_2}{R}+\frac{U_2}{r}.$$ После аналогичных действий \(9(R_0+r)R=17(R+2r)R_0\) (2).

Из (1) \(r=\dfrac{12RR_0}{5R-17R_0}\), из (2) \(r=\dfrac{8RR_0}{9R-34R_0}\). Приравнивая, получаем \(12(9R-34R_0)=8(5R-17R_0)\), откуда \(R=4R_0=4000\) Ом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите равновесие верхнего шарика вдоль стенки воронки и равновесие точки крепления нити к нижней пружине. Затем сравните два состояния равновесия: их разность даёт связь между изменениями длин пружин, а нерастяжимость нити даёт второе соотношение.

Ответ

\(\Delta y=\dfrac{mg}{k\left(1+4\sin^2\alpha\right)}\).

Решение

Пусть в начальном состоянии верхняя пружина сжата на \(x_0\), нижняя растянута на \(y_0\), сила натяжения нити \(T_0\). Баланс сил на верхний шарик вдоль поверхности воронки: \(mg\cos\alpha+T_0-kx_0\sin\alpha=0\). Баланс сил в точке крепления нити и нижней пружины: \(2T_0-ky_0=0\). Исключая \(T_0\): $$mg\cos\alpha+0{,}5 ky_0-kx_0\sin\alpha=0 (1).$$

После добавления третьего шарика верхняя пружина сжимается на \(\Delta x\), нижняя — на \(\Delta y\), натяжение нити становится \(T_1\). Баланс сил на верхний шарик: \(mg\cos\alpha+T_1-k(x_0+\Delta x)\sin\alpha=0\). Баланс сил на нижний шарик: \(2T_1-k(y_0-\Delta y)-mg=0\). Исключая \(T_1\): $$mg\cos\alpha+0{,}5k(y_0-\Delta y)+0{,}5mg-k(x_0+\Delta x)\sin\alpha=0 (2).$$

Вычитая (1) из (2): \(-0{,}5k\Delta y+0{,}5mg-k\Delta x\sin\alpha=0\) (3).

Нерастяжимость нити: \(\Delta y=\dfrac{\Delta x}{2\sin\alpha}\) (4).

Решая (3) и (4), получаем \(\Delta y=\dfrac{mg}{k\left(1+4\sin^2\alpha\right)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.