Всесибирская, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Сравните растяжения шнуров в горизонтальном положении с силой \(F\). Длина пенала не меняется, поэтому при повороте верхний шнур растягивается ещё на растяжение нижнего.

Ответ

\(m=\dfrac{3F}{g}\).

Решение

Обозначим жёсткость одного шнура буквой \(k\), тогда жёсткость другого шнура равна \(2k\). Шарик покоится, поэтому сила, действующая на шарик изначально со стороны каждого шнура, по величине одинакова и равна \(F\). Тогда $$F=k \Delta x_1,  F=2k \Delta x_2,$$ где \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) — величины растяжения первого и второго шнура.

После того как пенал поставили вертикально, нижний шнур оказался нерастянутым и одновременно неизогнутым. Длина пенала постоянна, поэтому верхний шнур растянулся дополнительно на длину, равную растяжению нижнего шнура в горизонтальном положении. Итого верхний шнур растянут на \(\Delta x_1+\Delta x_2\).

При вертикальном положении пенала на шарик действуют только сила упругости верхнего, более жёсткого шнура и сила тяжести. Шарик покоится, поэтому $$2k(\Delta x_1+\Delta x_2)=mg,  m=\frac{2k}{g}\Bigl(\frac{F}{k}+\frac{F}{2k}\Bigr)=\frac{3F}{g}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите время прихода звука и эха для обоих выстрелов с учётом того, что звук против ветра и по ветру идёт с разными скоростями \(u\mp v\) и \(u\pm v\). Разность времён \(t_3-t_2\) не зависит от расстояния до скалы.

Ответ

\(v=u\,\dfrac{t_1+t_2-t_3}{t_1-t_2+t_3}\).

Решение

Пусть скорость ветра \(v\) направлена к скале, расстояние между грибником и охотником равно \(x\), а между охотником и скалой \(y\). Тогда время, через которое грибник услышал звук выстрела, равно $$t_1=\frac{x}{u-v}.$$ Звук эха он услышал через $$t_2=\frac{y}{u+v}+\frac{y}{u-v}+\frac{x}{u-v}.$$ Эхо от второго выстрела пришло через $$t_3=\frac{x+y}{u+v}+\frac{x+y}{u-v}.$$ Вычитая из третьего равенства второе, исключаем \(y\): $$t_3-t_2=\frac{2xu}{u^2-v^2}-\frac{x}{u-v}.$$ Исключая \(x\) при помощи первого равенства, получаем $$\frac{t_3-t_2}{t_1}=\frac{2u}{u+v}-1.$$ Отсюда \(v=u\,\dfrac{t_1+t_2-t_3}{t_1-t_2+t_3}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость верхней точки колеса при качении без проскальзывания вдвое больше скорости его центра. Дальше задача — о горизонтальном броске с высоты \(2R\).

Ответ

\(S=4v\sqrt{\dfrac{R}{g}}\).

Решение

Условие отсутствия проскальзывания между колесом и кусочком глины: скорости кусочка глины \(V_{\text{гл}}\) и точки колеса \(V_{\text{кол}}\) в месте, где находится кусочек, равны, \(V_{\text{гл}}=V_{\text{кол}}\).

Скорость верхней точки колеса есть сумма поступательной скорости колеса и линейной скорости вращения, которые в данном случае равны друг другу. Поэтому \(V_{\text{гл}}=V_{\text{кол}}=2v\).

В момент отрыва кусочек глины находится на высоте \(2R\) и имеет скорость \(2v\), направленную горизонтально. По вертикали его движение равноускоренное с ускорением \(g\), по горизонтали равномерное. Время падения определяем из $$2R=\frac{gt^2}{2} \Rightarrow t=2\sqrt{\frac{R}{g}}.$$ За это время колесо проезжает путь $$S=2v t=4v\sqrt{\frac{R}{g}}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока шарик движется по окружности, найдите силу в стержне по закону сохранения энергии и уравнению Ньютона. Проскальзывания нет, пока горизонтальная составляющая силы в стержне не превосходит \(\mu N\). Отрыв — когда сила в стержне обращается в нуль.

Ответ

\(\mu=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

Решение

Пусть стержень образует угол \(\alpha\) с вертикалью, а его длина равна \(R\). Шарик движется по окружности, пока кончик булавки не начнёт скользить вдоль поверхности стола. Обозначим силу, действующую на шарик со стороны стержня, \(F\).

Уравнение Ньютона при движении по окружности: $$\frac{mV^2}{R}=mg\cos\alpha-F.  (1)$$ Закон сохранения энергии: $$mgR(1-\cos\alpha)=\frac{mV^2}{2} \Rightarrow mV^2=2mgR(1-\cos\alpha).  (2)$$ Из (1) и (2): $$F=mg(3\cos\alpha-2).  (3)$$

Стержень невесомый, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю: \(N=F\cos\alpha\), \(F\sin\alpha=F_{\text{тр}}\). Скольжения нет, пока $$F\sin\alpha=F_{тр}\le\mu N=\mu F\cos\alpha \Rightarrow \mu\ge\operatorname{tg}\alpha.$$

Сила \(F=mg(3\cos\alpha-2)\) уменьшается с ростом угла \(\alpha\) и обращается в нуль при \(\cos\alpha=\dfrac{2}{3}\). Вслед за этим моментом конец стержня отрывается от поверхности стола.

При этом $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3} \Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt5}{2}=\mu.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Перейдите в инерциальную систему, связанную с центром станции, — там ключ движется равномерно и прямолинейно. Время полёта найдите по радиусу, а условие встречи со вторым сотрудником — по целому числу оборотов станции.

Ответ

\(v_0=\sqrt{gR\Bigl(1+\dfrac{1}{\pi^2n^2}\Bigr)}\), где \(n\) — ненулевое целое число.

Решение

Второй закон Ньютона для тела на поверхности станции: \(\dfrac{mu^2}{R}=mg\), откуда скорость точки поверхности \(u=\sqrt{Rg}\).

В инерциальной системе отсчёта, связанной с центром станции, на гаечный ключ после броска никакие силы не действуют, он движется прямолинейно и равномерно. В этой системе скорость ключа \(v\) складывается из искомой скорости \(v_0\) броска относительно сотрудника, вращающегося вместе со станцией, и скорости \(u\) точки поверхности станции, направленной по касательной к экватору. По теореме Пифагора $$v_0^2=v^2+u^2.$$ Время полёта ключа через центр станции \(t=\dfrac{2R}{v}\).

За это время второй сотрудник должен вернуться в первоначальную точку, то есть совершить целое число оборотов \(n=1,2,3,\dots\): $$ut=2\pi Rn.$$ Отсюда скорость ключа в лабораторной системе отсчёта \(v=\dfrac{u}{\pi n}=\dfrac{\sqrt{gR}}{\pi n}\), и $$v_0=\sqrt{gR\Bigl(1+\frac{1}{\pi^2n^2}\Bigr)},$$ где \(n\) — ненулевое целое число.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.