Всесибирская, 2022/23, отборочный этап, 11 класс

Удобно перейти в систему отсчёта, связанную со вторым автомобилем, и считать, на сколько сокращается отставание первого автомобиля за один проезд из \(B\) в \(A\). Сравните это сокращение с начальным отставанием, равным расстоянию \(AB\).

\(5\) раз.

По условию задачи второй автомобиль всё время движется с постоянной скоростью \(70\) км/час. Рассмотрим движение первого автомобиля относительно второго. Можно считать, что в начальный момент времени первый автомобиль отставал от второго на расстояние \(L\) (км), равное расстоянию между пунктами \(A\) и \(B\). Каждый переход из пункта \(B\) в пункт \(A\) первый автомобиль совершает за время \(t_1=L/90\) ч, двигаясь со скоростью \(20\) км/час относительно второго автомобиля, и сокращает за это время расстояние между автомобилями на \(\Delta L=20\cdot t_1=\dfrac{2}{9}L\). Поскольку \(L/\Delta L=9/2=4{,}5\), первый автомобиль догонит второй, когда число его стартов из пункта \(B\) будет равно пяти. За первые четыре прохождения расстояния \(BA\) первый автомобиль сокращает расстояние между автомобилями на \(\dfrac{8}{9}L\). Для преодоления оставшегося расстояния \(\dfrac{1}{9}L\) первому автомобилю надо ещё пятый раз пройти через пункт \(B\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Катушка лёгкая, поэтому сумма моментов сил относительно её оси равна нулю. Найдите силу трения из уравнений движения и сравните её с максимально возможной силой трения покоя \(\mu Mg\).

\(\mu > \dfrac{ar}{g(R-r)}\).

В горизонтальном направлении на катушку действуют две силы: сила натяжения нити \(F\), направленная вправо, и сила трения \(F_{\text{тр}}\), направленная влево. Записываем второй закон Ньютона для движения катушки по горизонтали и баланс моментов сил относительно оси катушки: \[\begin{cases} Ma = F - F_{\text{тр}},\\ 0 = F_{\text{тр}} R - F r. \end{cases}\] Из этих уравнений определяем силу трения: \[F_{\text{тр}} = \dfrac{Mar}{R-r}.\] При движении катушки без проскальзывания выполняется неравенство \(F_{\text{тр}} \le \mu Mg\). Отсюда получаем неравенство для коэффициента трения: \[\mu > \dfrac{ar}{g(R-r)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Разложите силы на составляющие вдоль касательной к куполу и вдоль нормали к нему. Робот не соскальзывает, пока проекция силы тяжести на касательную не превышает силу трения. Затем найдите угол, при котором это требование самое жёсткое.

\(F_{\min}=\sqrt{2}\,mg\approx 990\) Н (при угле \(\alpha=45^\circ\)).

Для того чтобы робот мог добраться до вершины, он не должен соскальзывать с внутренней поверхности купола. Робот удерживается на поверхности за счёт силы притяжения магнитов и движется с очень маленькой скоростью вдоль поверхности за счёт силы трения между колёсами и куполом.

Обозначим \(F\) — силу притяжения магнитов к поверхности купола, \(N\) — силу реакции опоры, \(\alpha\) — угол наклона касательной к куполу в точке нахождения робота. Сумма сил, действующих на робота, в каждый момент времени равна нулю. Запишем второй закон Ньютона для робота в проекциях на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых параллельна наклонной плоскости, касательной к сфере в точке нахождения робота: \[\begin{cases} F = N + mg\cos\alpha,\\ F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha. \end{cases}\] Из первого уравнения \(N = F - mg\cos\alpha\). Если составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости \(mg\sin\alpha\) для любого угла \(\alpha\) не превышает максимально возможную силу трения \(\mu N\), то робот сможет добраться до вершины. Это условие запишем так: \[\mu N \ge mg\sin\alpha.\] Подставляя выражение для \(N\), получаем \(\mu(F - mg\cos\alpha) \ge mg\sin\alpha\), откуда \[F \ge \dfrac{mg}{\mu}\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right).\] При \(\mu = 1\) имеем \(F \ge mg(\sin\alpha + \cos\alpha)\). Это неравенство должно выполняться для любого угла \(\alpha\) от \(0\) до \(90^\circ\), поэтому нужно найти угол, при котором правая часть максимальна. Сумма синуса и косинуса одного и того же угла достигает максимума при \(\alpha = 45^\circ\). Таким образом, \[F_{\min} = \sqrt{2}\,mg \approx 990~\text{Н}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

В конце процесса пружина расслаблена, и её энергия переходит в тепло конструкции. Газ в конце занимает весь цилиндр: запишите его внутреннюю энергию до и после процесса, затем объединённый газовый закон и закон сохранения энергии.

\(P_1=\dfrac{P\left(P^2S^2+3PShk+2cTk\right)}{2k\left(3PSh+2cT\right)}\).

В конце процесса давления газа справа и слева от поршня сравняются, и первоначально сжатая на величину \(x = \dfrac{PS}{k}\) пружина расслабится. Энергия сжатой пружины \(\dfrac{kx^2}{2}\) преобразуется в тепловую энергию, что приведёт к нагреву конструкции.

Изменение внутренней энергии газа равно \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\left(2P_1Sh - PSh\right)\), а на нагрев конструкции тратится \(\Delta Q = c\left(T_1 - T\right)\) тепла. Здесь \(T_1\) — конечная температура, \(P_1\) — искомое конечное давление.

Температура в конце процесса связана с давлением газа \(P_1\) объединённым газовым законом: \[T_1 = \dfrac{2TP_1}{P}.\] Из закона сохранения энергии \[\dfrac{(PS)^2}{2k} = 3P_1Sh - \dfrac{3PSh}{2} + cT\left(\dfrac{2P_1}{P} - 1\right).\] Отсюда \[P_1 = \dfrac{P\left(P^2S^2 + 3PShk + 2cTk\right)}{2k\left(3PSh + 2cT\right)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите закон сохранения импульса системы и условие нерастяжимости нитей для составляющих скоростей крайних шариков. Затем используйте закон сохранения энергии, учитывая потенциальную энергию зарядов в начальном и конечном треугольниках.

\(v=\sqrt{\dfrac{q^2(\sqrt{2}-1)}{12\pi\varepsilon_0 ml\sqrt{2}}}\).

Предположим, что центральный шарик имеет скорость \(v\). Параллельные ей составляющие скоростей крайних шариков \(v_1\) находим из закона сохранения импульса: \[mv - 2mv_1 = 0.\] Перпендикулярные ей составляющие скоростей крайних шариков находим из условия нерастяжимости нитей: \[v\cos 45^\circ = -v_1\cos 45^\circ + u\sin 45^\circ,\] откуда \(v_1 = \dfrac{v}{2}\), \(u = \dfrac{3v}{2}\).

Из закона сохранения энергии, где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\): \[\dfrac{mv^2}{2} + 2\cdot\dfrac{mv_1^2}{2} + 2\cdot\dfrac{mu^2}{2} = \dfrac{kq^2}{l} - \dfrac{kq^2}{l\sqrt{2}}.\] Подставляя \(v_1\) и \(u\), получаем \(3mv^2 = kq^2\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{l}\), откуда \[v = \sqrt{\dfrac{q^2(\sqrt{2}-1)}{12\pi\varepsilon_0\, ml\sqrt{2}}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.