зад 1 Взвешивание хомячков
Юный натуралист поместил на левую чашу весов 5 хомячков, а на правую чашу — несколько гирь разной массы. Весы показали, что масса всех хомячков на левой чаше на \(15\) г меньше, чем масса всех гирь. Юннат пересадил одного хомячка на правую чашу и переставил одну гирю с правой на левую чашу. После этого весы показали, что правая чаша стала на \(3\) г тяжелее, чем левая. Какова масса пересаженного хомячка, если масса переставленной гири была равна \(50\) г?
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните разность масс чаш до и после перестановки: обмен одного груза между чашами меняет эту разность на удвоенную разность масс обмененных тел.
▶ОтветСкрыть
Масса хомячка — \(44\) г.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(H\) — масса всех хомячков, \(G\) — масса всех гирь, \(x\) — масса пересаженного хомячка, \(m=50\) г — масса переставленной гири. По условию в начале \(G=H+15\) г.
После перестановки на левой чаше \(H-x+m\), на правой \(G-m+x\). Разность правой и левой чаш стала равна \(3\) г: \[(G-m+x)-(H-x+m)=(G-H)+2x-2m=15+2x-100=3~\text{г}.\] Отсюда \(2x=88\) г и \(x=44\) г.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Автобус с остановкой
Между деревнями А и Б ходит автобус. Время движения по расписанию составляет \(1\) ч \(6\) мин. Однажды на середине пути автобус остановился, чтобы посадить группу туристов, и, чтобы прибыть точно по расписанию, водитель после этого увеличил скорость автобуса на \(10\%\). Сколько времени длилась остановка, когда в автобус садились туристы?
▶ПодсказкаСкрыть
Время по расписанию — это время поездки на всём пути с постоянной скоростью. Выразите время каждой половины пути и приравняйте сумму времён с остановкой к расписанию.
▶ОтветСкрыть
\(T_{\text{ост}}=3\) мин.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(L\) — расстояние между А и Б, \(V_0\) — скорость автобуса до остановки, \(T_0=L/V_0=66\) мин — время по расписанию. Первая половина пути занимает \(T_0/2\). Вторая половина проходится со скоростью \(1{,}1\,V_0\) и занимает \(\dfrac{T_0/2}{1{,}1}\). Полное время с остановкой равно \(T_0\): \[\dfrac{T_0}{2}+\dfrac{T_0}{2{,}2}+T_{\text{ост}}=T_0.\] Отсюда \[T_{\text{ост}}=\dfrac{T_0}{2}-\dfrac{T_0}{2{,}2}=\dfrac{T_0}{22}=\dfrac{66}{22}~\text{мин}=3~\text{мин}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Упаковка кубиков
На фабрике производят кубики с длиной ребра \(5\) см. К автомату, непрерывно производящему кубики, по конвейерной ленте через каждые \(3\) мин робот подаёт пустые коробки размером \(25\) см \(\times\) \(30\) см \(\times\) \(40\) см. Появляющиеся из автомата кубики плотно укладываются в эту коробку. После модернизации фабрики автомат стал производить кубики с длиной ребра \(6\) см и тратить на один кубик на \(20\%\) меньше времени. Коробки тоже стали другого размера — \(36\) см \(\times\) \(60\) см \(\times\) \(60\) см. Через какое время теперь приходится роботу подавать новые коробки для их загрузки новыми кубиками?
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите, сколько кубиков входит в коробку и за какое время автомат делает один кубик до модернизации и после неё.
▶ОтветСкрыть
\(6\) мин.
▶РешениеСкрыть
До модернизации в коробку \(25\times30\times40\) см входит \(5\cdot6\cdot8=240\) кубиков с ребром \(5\) см. Автомат делает их за \(3\) мин, т.е. на один кубик уходит \(T_1=\dfrac{3}{240}=\dfrac{1}{80}\) мин.
После модернизации на один кубик уходит \(T_2=0{,}8\,T_1=\dfrac{1}{100}\) мин, т.е. автомат делает \(100\) кубиков в минуту. В новую коробку \(36\times60\times60\) см входит \(6\cdot10\cdot10=600\) кубиков с ребром \(6\) см. Их заполнение занимает \[600\cdot\dfrac{1}{100}~\text{мин}=6~\text{мин}.\] Через \(6\) мин роботу нужно подавать новую коробку.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Лодки на реке с меняющимся течением
На берегу неширокой реки стоят две деревни — А и Б. Два приятеля выходят на одинаковых моторных лодках из этих деревень в \(4\) часа утра навстречу друг другу, ловят рыбу в месте встречи, а потом плывут по домам. Скорость течения реки весной была равна \(V_1=6\) км/ч, а к середине лета постепенно уменьшилась до \(V_2=3\) км/ч. Поэтому сначала место рыбалки находилось на расстоянии \(L_1=27\) км от А, но постепенно это расстояние уменьшилось до \(L_2=23\) км. Чему равно расстояние между деревнями, если все расстояния отсчитываются вдоль реки? Считать, что скорость лодки относительно воды всегда одна и та же.
▶ПодсказкаСкрыть
Лодки выходят одновременно, значит, время до встречи одно и то же. Запишите это равенство для весны и для лета и исключите неизвестную скорость лодки относительно воды.
▶ОтветСкрыть
\(L=38\) км.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(L\) — расстояние между деревнями, \(U\) — скорость лодки относительно воды. Деревня А выше по течению, Б — ниже: чем быстрее течение, тем ближе к нижней деревне место встречи. Лодка, идущая вниз по течению, движется со скоростью \(U+V\), идущая вверх — со скоростью \(U-V\).
Лодки выходят одновременно и встречаются через одно и то же время. Весной: \[\dfrac{L_1}{U+V_1}=\dfrac{L-L_1}{U-V_1}\quad\Longrightarrow\quad U=\dfrac{LV_1}{2L_1-L}.\] Летом аналогично \[U=\dfrac{LV_2}{2L_2-L}.\] Приравнивая правые части, получаем \(V_1(2L_2-L)=V_2(2L_1-L)\), откуда \[L=\dfrac{2\,(L_2V_1-L_1V_2)}{V_1-V_2}=\dfrac{2\,(23\cdot6-27\cdot3)}{6-3}~\text{км}=38~\text{км}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2022/23, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.