Всесибирская, 2022/23, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Камень вытеснил объём жидкости, равный своему объёму, и этот объём вылился в стаканчик. Сравните, на сколько изменилась масса сосуда с камнем и чем уравновешен стаканчик с вылившейся жидкостью.

Ответ

\(\rho_{\text{к}}=2\rho_{\text{ж}}=1{,}8\) кг/л, то есть \(1800\) кг/м\(^3\).

Решение

Пусть \(M\) и \(V\) — масса и объём камня, \(\rho_{\text{к}}\) — плотность камня, \(\rho_{\text{ж}}\) — плотность жидкости. Камень утонул, значит, вытеснил объём жидкости, равный \(V\), и эта жидкость вся вылилась в стаканчик.

Масса сосуда с камнем увеличилась на \(M-\rho_{\text{ж}}V=(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{ж}})V\). Весы остались в равновесии, поэтому это увеличение равно массе стаканчика с вылившейся жидкостью: \[(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{ж}})V=\rho_{\text{ж}}V,\] откуда \(\rho_{\text{к}}=2\rho_{\text{ж}}=1{,}8\) кг/л \(=1800\) кг/м\(^3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сколько пути проезжает каждый гонец, если кольцевая дорога равна \(L\), а путь до деревни — \(s\)? Найдите разницу путей у самого дальнего и самого ближнего гонца.

Ответ

\(\Delta t=\dfrac{2\,(23-6)}{4}=8{,}5\) ч.

Решение

Каждый гонец проезжал путь, равный длине всей кольцевой дороги и удвоенной длине пути от кольцевой дороги до своей деревни. Поэтому пути гонцов, заезжавших в самую близкую и в самую далёкую деревню, различаются на \(2\,(23-6)=34\) лье. Эту разницу гонцы проходят за \(34/4=8{,}5\) ч — это и есть искомая разница во времени прибытия в столицу.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите условие плавания плота с человеком до и после того, как бревно перенесли наверх, и приравняйте силы Архимеда, отличающиеся числом погружённых брёвен.

Ответ

\(N=11\).

Решение

Пусть \(N\) — искомое количество брёвен, \(M\) — масса человека, \(m\) — масса одного бревна, \(V_{\text{б}}\) — полный объём одного бревна, \(\rho_{\text{б}}\) — плотность бревна, \(\rho_{\text{ж}}\) — плотность жидкости, \(\alpha_1=0{,}8\) и \(\alpha_2=0{,}88\) — доли объёма брёвен, погружённых в жидкость до и после отсоединения одного бревна.

Условие равновесия плота с человеком в начальной ситуации: \[Mg+Nmg=\alpha_1\rho_{\text{ж}}NV_{\text{б}}g.\] После отсоединения одного бревна и помещения его сверху на плот: \[Mg+Nmg=\alpha_2\rho_{\text{ж}}(N-1)V_{\text{б}}g.\] Отсюда \(\alpha_1\rho_{\text{ж}}NV_{\text{б}}=\alpha_2\rho_{\text{ж}}(N-1)V_{\text{б}}\), то есть \[N=\dfrac{\alpha_2}{\alpha_2-\alpha_1}=\dfrac{0{,}88}{0{,}08}=11.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите, что лодки встретились через одно и то же время после старта первой лодки, и найдите скорость течения. Затем сравните время, за которое первая лодка доплывает до финиша, с временем второй лодки до её финиша.

Ответ

\(Y=8\) км.

Решение

Пусть \(V\) — скорость лодки относительно воды, \(U\) — скорость течения относительно берега, \(Y\) — искомое расстояние второй лодки до финиша.

Лодки встретились на расстоянии \(X\) от места разворота; считаем, что вторая лодка стартовала одновременно с началом движения первой против течения, то есть обе лодки двигались на этих отрезках одно и то же время: \[\dfrac{X}{V-U}=\dfrac{L-X}{V+U}\quad\Rightarrow\quad 2VX=L(V-U).\] При \(X=L/4\) получаем \(U=V/2\).

Первая лодка проплыла \(L-X\) против течения за то же время, за которое вторая проплыла \(X\) по течению и \(L-Y\) против течения: \[\dfrac{L-X}{V-U}=\dfrac{X}{V+U}+\dfrac{L-Y}{V-U}.\] Преобразуя, получаем \[Y=L\,\dfrac{V-U}{V+U}=\dfrac{L}{3}=8~\text{км}.\] Явное выписывание аналитической формы ответа при корректном решении не обязательно. Есть и более короткое решение без скорости течения: искомое расстояние не меняется после разворота второй лодки, а к этому моменту первая лодка проплывёт ещё \(X\cdot X/(L-X)\), поскольку скорости лодок постоянны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нить не меняет длину, поэтому смещения динамометров связаны с деформациями их пружин; силы в пружинах, связанных одной нитью, одинаковы. Найдите деформации пружин в исходном состоянии и проверьте, что соотношение 2:1 сохраняется, пока натяжение нити не превышает \(5\) Н.

Ответ

\(F=3\) Н.

Решение

Поскольку один конец каждой пружины жёстко скреплён с соответствующим динамометром, смещение динамометра однозначно связано с деформациями пружин. Эта связь определяется тем, что нить не меняет свою длину и что силы, действующие на каждую из связанных пружин, одинаковы.

Изменение длины пружины динамометра прямо пропорционально силе, приложенной к ней. В исходной ситуации пружина первого динамометра растянута на \(LF_1/P_1=4\) см, пружина второго — на \(LF_1/P_2=2\) см. Такое же соотношение деформаций \(2{:}1\) сохраняется, пока сила натяжения нити не превышает предельной величины \(5\) Н, определяемой динамометром №1.

Смещения динамометров, описанные в условии, эквивалентны смещению только левого динамометра влево на \(\Delta X_1+\Delta X_2=12\) см. Поэтому в конечном итоге сумма растяжений обеих пружин равна \(12+4+2=18\) см: деформация пружины динамометра №1 составляет \(12\) см, а динамометра №2 — \(6\) см.

По закону Гука окончательное показание динамометра №1 втрое больше, чем вначале, то есть \(F=3\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.