Всесибирская, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Мотоцикл и грузовик встретились в одной точке: сравните, сколько времени каждый из них шёл до этой точки. Весь путь грузовика складывается из участка до встречи, обратного участка и полного пути от \(A\) до \(B\).

\(t=15\) ч.

Пусть \(S\) — длина маршрута, \(x\) — расстояние от \(A\) до места встречи, \(v\) и \(u\) — скорости мотоцикла и грузовика. Мотоцикл прошёл путь \(x\) за время \(t_1\): \(x=vt_1\) (1). Грузовик прошёл тот же путь за время \(t_1+\tau\): \(x=u(t_1+\tau)=vt_1\), откуда \(u=\dfrac{vt_1}{t_1+\tau}\) (2). Мотоцикл за время \(T\) проехал весь путь: \(S=vT\) (3). Грузовик доехал до места встречи, вернулся в \(A\) и затем прошёл весь путь от \(A\) до \(B\), то есть проехал \(S+2x\) за время \(t\): \(ut=S+2x\). Подставляя (1)–(3), получаем \(T+2t_1=\dfrac{t_1t}{t_1+\tau}\), откуда \(t=\dfrac{(T+2t_1)(t_1+\tau)}{t_1}=\dfrac{(6+4)\cdot 3}{2}=15\) ч.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сопротивление \(R<R_0\) между двумя клеммами возможно только в одном случае: если между ними стоит один резистор, а параллельно ему — цепь из остальных. Найдите сопротивление этой цепи и восстановите схему.

\(R_{13}=1\) Ом.

Сопротивление между клеммами \(R<R_0\) получается только в случае, если между ними включён один резистор, а параллельно ему — схема из остальных резисторов. Сопротивление этой схемы \(R_x\) найдём из соотношения \(R=\dfrac{R_0R_x}{R_0+R_x}\): \(R_x=\dfrac{RR_0}{R_0-R}=3\) Ом\(=3R_0\). Значит, остальные три резистора образуют последовательную цепь. Один резистор включён между клеммами 1 и 2, другой — между клеммами 2 и 3, оставшиеся два замыкают цепь, параллельную как первому, так и второму. Схема приведена на рисунке. Клеммы 1 и 3 соединяют две параллельные ветви сопротивлением \(2R_0\) каждая: \[R_{13}=\dfrac{2R_0\cdot 2R_0}{2R_0+2R_0}=R_0=1~\text{Ом}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Разберите по графику четыре стадии: тело лежит на дне, плавает, упирается в решётку, бассейн заполнен. Давление у дна даёт глубину воды, а значит, высоту тела над водой и его погружение; дальше — закон Архимеда.

\(\rho=\dfrac{\rho_0P_1}{P_3+P_1-P_2}\).

При \(0<t<t_1\) тело лежит на дне, при \(t_1<t<t_2\) оно плавает, при \(t_2<t<t_3\) упирается в решётку, при \(t>t_3\) бассейн полностью заполнен, и лишняя вода вытекает через решётку. Давление воды \(P=\rho_0 gh\). Высота \(h_1=\dfrac{P_1}{\rho_0 g}\) отвечает глубине, на которую погружено в воду плавающее тело. Высота бассейна \(H=\dfrac{P_3}{\rho_0 g}\). Высота \(H_1=\dfrac{P_2}{\rho_0 g}\) отвечает уровню воды в момент \(t_2\), когда плавающее тело только коснулось решётки. Тогда \(h_2=H-H_1=\dfrac{P_3-P_2}{\rho_0 g}\) — высота выступающей из воды части тела. По закону Архимеда \(\rho gs(h_1+h_2)=\rho_0 gh_1s\), где \(s\) — площадь основания тела. Отсюда \[\rho=\rho_0\,\dfrac{h_1}{h_1+h_2}=\dfrac{\rho_0P_1}{P_3+P_1-P_2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Поезд въехал в тоннель полностью за время \(t_1\), значит его длина равна пути за \(t_1\). Выход из тоннеля начинается в момент \(t_1+\tau\): составьте путь поезда за время выхода \(t_2\) и приравняйте его к той же длине.

\(\tau=\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2t_2}-t_1\).

Обозначим длину электропоезда \(L\), а его ускорение \(a\). За время \(t_1\) поезд прошёл путь, равный его длине: \(L=\dfrac{at_1^2}{2}\). За время выхода \(t_2\) поезд прошёл тот же путь: \(L=vt_2+\dfrac{at_2^2}{2}\), где \(v\) — скорость поезда к началу выхода из тоннеля. Поскольку к этому моменту поезд разгонялся в течение \(t_1+\tau\), \(v=a(t_1+\tau)\). Приравнивая пути, получаем уравнение \[\dfrac{at_1^2}{2}=a(t_1+\tau)t_2+\dfrac{at_2^2}{2},\] откуда \(\tau=\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2t_2}-t_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите условие равновесия цилиндра дважды: в начале, когда он наполовину в жидкости, и в конце, когда он полностью погружён. Учтите, что при подъёме уровня дно цилиндра поднимается на \(H/2\) и пружина растягивается ещё сильнее.

\(\rho=\dfrac{\rho_0}{4}\).

Обозначим жёсткость пружины \(k\), \(V\) — объём цилиндра. Для начальной ситуации баланс сил: \[\rho gV+\dfrac{kH}{4}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}.\] Когда уровень жидкости поднялся на \(H\), цилиндр полностью погружён, и его дно поднялось до первоначального уровня жидкости, то есть на \(H/2\). На столько же дополнительно растянулась пружина, и её удлинение стало \(\dfrac{3H}{4}\). Баланс сил для конечной ситуации: \[\rho gV+\dfrac{3kH}{4}=\rho_0 gV.\] Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(\dfrac{kH}{2}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}\), то есть \(kH=\rho_0 gV\). Подставляя это в первое уравнение, находим \(\rho gV+\dfrac{\rho_0 gV}{4}=\dfrac{\rho_0 gV}{2}\), откуда \(\rho=\dfrac{\rho_0}{4}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.