Всесибирская, 2022/23, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Средняя скорость на всём пути равна всему пути, делённому на всё время. Удобнее записать уравнение для обратных скоростей: время на каждой трети пропорционально \(1/V\).

Ответ

\(V_3=120\) км/ч, та же, что и на второй трети.

Решение

Обозначим длину всей дистанции \(3L\), т.е. \(L\) — длина одной трети пути. По определению средней скорости для всего спуска \[V_{\text{ср}}=\dfrac{3L}{\dfrac{L}{V_1}+\dfrac{L}{V_2}+\dfrac{L}{V_3}}.\] Менее громоздкие выражения получатся, если записывать уравнения для обратных скоростей: \[\dfrac{3}{V_{\text{ср}}}=\dfrac{1}{V_1}+\dfrac{1}{V_2}+\dfrac{1}{V_3}.\] Отсюда \[\dfrac{1}{V_3}=\dfrac{3}{V_{\text{ср}}}-\dfrac{1}{V_1}-\dfrac{1}{V_2}=\dfrac{3}{60}-\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{120}~\text{ч/км},\] т.е. \(V_3=120\) км/ч. Средняя скорость на третьей трети оказалась такой же, как и на второй.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Плот движется со скоростью течения, поэтому между встречами он проходит путь, пропорциональный времени. Составьте равенство времён движения лодки между двумя встречами и плота между ними.

Ответ

\(T_X=75\) мин.

Решение

Обозначим \(T_X\) искомое время обратной поездки, \(V\) — скорость лодки относительно воды, \(U\) — скорость течения относительно берега, \(L\) — расстояние между А и Б вдоль реки. Значения \(V\), \(U\), \(L\) по отдельности для ответа не нужны.

Из условия следует, что Б находится выше по течению, чем А: только тогда вторая встреча с плотом происходит ближе к А, чем первая. Так как скорость лодки постоянна, первая встреча произошла на расстоянии \(L\,T_2/(T_1+T_2)=L/4\) от Б. Вторая встреча произошла, когда плот проплыл расстояние \(L-\dfrac{L}{4}-\dfrac{L}{5}=\dfrac{11L}{20}\), т.е. через время \(\dfrac{11L}{20U}\).

Время движения лодки между этими встречами равно тому же: её путь от первой встречи до Б идёт против течения, от Б до второй встречи — по течению: \[\dfrac{L}{4(V-U)}+\dfrac{4L}{5(V+U)}=\dfrac{11L}{20U}.\] Приводя к общему знаменателю, получаем \([5(V+U)+16(V-U)]\,U=11(V^2-U^2)\), откуда \(21U=11V\).

Время подъёма от А до Б известно: \(\dfrac{L}{V-U}=T_1+T_2\). Скорость лодки относительно берега при движении по течению \(V+U\), а против течения \(V-U\), и \[\dfrac{V-U}{V+U}=\dfrac{21/11-1}{21/11+1}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}.\] Поэтому искомое время \[T_X=\dfrac{L}{V+U}=(T_1+T_2)\,\dfrac{5}{16}=\dfrac{5}{4}~\text{ч}=75~\text{мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вес груза уравновешивает силу давления жидкости на поршень. Когда масса груза удвоилась, давление на поршень тоже должно удвоиться, а это возможно только при подъёме уровня жидкости в узкой части трубы. Объём жидкости при этом не меняется.

Ответ

\(\rho=\dfrac{2M}{3SH}\).

Решение

Пусть \(X\) — высота слоя жидкости, налитой в трубу в начальной ситуации, т.е. объём жидкости \(V=4SX\), а масса \(4SX\rho\). В начальной ситуации вес жидкости уравновешивается весом груза: \[M=4SX\rho.\] Точнее, сила тяжести \((4SX\rho)g\) действующая на жидкость, равна по величине силе давления жидкости на поршень \((4S)(X\rho g)\). Поскольку поршень также находится в равновесии, сила, действующая на поршень со стороны жидкости, равна силе натяжения нити \(T\). Груз массой \(M\) тоже находится в равновесии, т.е. \(4SX\rho g=T=Mg\). В начальной ситуации равновесие безразличное, т.е. расстояние между уровнем жидкости и местом соединения частей может быть и другим.

После увеличения массы груза вдвое сила натяжения нити тоже должна увеличиться вдвое. Отсюда следует, что сила давления на поршень тоже должна удвоиться. Поскольку площадь поршня не меняется, это означает, что давление на поршень должно удвоиться за счёт подъёма уровня жидкости над поршнем до \(2X\).

Объём жидкости остаётся прежним: \[4SX=S\dfrac{H}{2}+4S\left(2X-\dfrac{H}{2}\right).\] Второе слагаемое в правой части возникло из условия, что полная высота столба жидкости равна \(2X\). Несмотря на сохранение массы жидкости, сила, действующая на поршень, увеличивается за счёт увеличения силы давления на жидкость со стороны горизонтальной поверхности трубы в месте соединения частей (см. «гидростатический парадокс»). Проводя преобразования, получаем \(4X=\dfrac{H}{2}+8X-2H\), и, следовательно, \(X=\dfrac{3H}{8}\).

Узнав объём жидкости, получаем плотность: \[\rho=\dfrac{M}{4SX}=\dfrac{2M}{3SH}.\] Учёт внешнего давления ответ не меняет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите условия равновесия нижнего груза на полу в обоих состояниях и условие равновесия верхнего груза. Учтите, что при делении резинки пополам жёсткость каждой половины вдвое больше.

Ответ

\(k=\dfrac{2F_2-3F_1}{H}\).

Решение

Пусть \(k\) — искомая жёсткость всей резинки (тогда \(2k\) — жёсткость её половины), масса груза \(M\) (для ответа не потребуется), \(X\) — смещение второго груза ниже середины высоты комнаты после установления нового равновесия.

На поясняющем рисунке показаны силы, действующие на нижний груз. Сила, действующая на пол со стороны груза, и сила, действующая на груз со стороны пола, равны по величине.

Условие равновесия груза на полу в первом состоянии (растяжение резинки равно \(H\)): \[Mg=F_1+kH.\] После прикрепления груза к середине резинки условия равновесия грузов:

нижний груз: \(Mg=F_2+2k\left[(H-X)-\dfrac{H}{2}\right]=F_2+2k\left(\dfrac{H}{2}-X\right)\);

верхний груз: \(Mg=2k\left[(H+X)-\dfrac{H}{2}\right]-2k\left(\dfrac{H}{2}-X\right)=4kX\).

Здесь учтено, что верхний груз делит резинку на две равные части, у которых недеформированная длина равна \(H/2\), а коэффициент жёсткости равен \(2k\).

Сравнивая первое и третье уравнения, получаем \(4kX=F_1+kH\). Из первого и второго уравнений следует \(2kX=F_2-F_1\). Отсюда \(2F_2-3F_1=kH\), т.е. \[k=\dfrac{2F_2-3F_1}{H}.\] Для справки: в условиях задачи \(Mg=2(F_2-F_1)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.