Всесибирская, 2022/23, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Скорости туристов известны по числу рюкзаков. Сравните, где был второй турист в момент прихода первого в лагерь, и приравняйте время сближения и время движения первого назад к встрече.

Ответ

\(T_X=\dfrac{8}{3}\) ч, то есть 2 ч 40 мин.

Решение

Пусть \(V\) — скорость туриста без рюкзака, \(L\) — расстояние от деревни до лагеря, \(X\) — расстояние до лагеря от точки, где первый турист встретил товарища с двумя рюкзаками, \(T=1\) ч — время между первым приходом первого туриста в лагерь и приходом в лагерь обоих туристов с рюкзаками, \(T_X\) — искомое время.

По условию скорость первого туриста с одним рюкзаком равна \(V/2\), а второго, с двумя рюкзаками, — \(V/4\). Значит, когда первый турист добрался до лагеря, второй прошёл половину пути, то есть находился на расстоянии \(L/2\) от деревни. Дальше первый идёт назад со скоростью \(V\), второй — вперёд со скоростью \(V/4\), поэтому время до встречи \[\frac{X}{V}=\frac{L/2-X}{V+V/4}\quad\Rightarrow\quad X=\frac{2L}{5}.\] Далее найдём связь с временем \(T\). После встречи туристы несут по одному рюкзаку со скоростью \(V/2\), и \[T=\frac{X}{V}+\frac{X}{V/2}=\frac{3X}{V}=\frac{6L}{5V}.\] Полное время переноса равно времени движения второго туриста: \[T_X=\frac{L-X}{V/4}+\frac{X}{V/2}=\frac{16L}{5V}=\frac{8T}{3}=2\text{ ч }40\text{ мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите равновесие стержня относительно точки \(O\), затем равновесие правого груза. Силы натяжения нити с грузами одинаковы на всём её участке.

Ответ

\(M=\dfrac{T_0}{5g}\).

Решение

Введём обозначения: \(T_1\) — натяжение нити, прикреплённой к левому по рисунку концу стержня, \(T_2\) — натяжение нити у правого конца стержня, \(T_3\) — натяжение нити, удерживающей больший блок.

Рассмотрим сначала рычаг. Из равенства нулю суммы моментов относительно точки \(O\) получаем \(3L\,T_1=L\,T_2\), то есть \(T_2=3T_1\).

Рассмотрим самый правый груз. Его равновесие даёт \(T_2=Mg+T_x\), где \(T_x\) — натяжение нити под ним. Рассматривая все три груза и учитывая, что натяжение нити сохраняется по всему участку, получаем, что сила, которая тянет любой груз вниз, равна \(T_x=T_1\), а сила, которая тянет груз вверх, равна \(T_2=3T_1\). Отсюда \(Mg=2T_1\).

Рассмотрим блок, прикреплённый к стержню. Он охвачен нитью с натяжением \(T_2\), поэтому нить, соединяющая ось блока с точкой \(O\), имеет натяжение \(2T_2=6T_1\).

Снова рассмотрим стержень. Сумма сил, приложенных к нему, равна нулю: \(T_0=T_1+6T_1+3T_1=10T_1\), откуда \(T_1=\dfrac{T_0}{10}\). Используя \(Mg=2T_1\), получаем \(M=\dfrac{T_0}{5g}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Жёсткость части резинки обратно пропорциональна её длине. Запишите равновесие нижней трети резинки до и после прикрепления грузика и вычтите одно уравнение из другого.

Ответ

\(X=\dfrac{H}{9}\).

Решение

Введём обозначения: \(L\) и \(k\) — длина недеформированной резинки и её коэффициент жёсткости.

Сначала найдём жёсткость всей резинки. По условию длина резинки увеличилась на \(H/3\) при увеличении нагрузки на \(Mg\), то есть \(k\dfrac{H}{3}=Mg\), откуда \(k=\dfrac{3Mg}{H}\).

Далее найдём длину всей резинки в недеформированном состоянии. В исходном положении длина растянутой резинки равна \(3H\), и из равновесия системы \(k(3H-L)=2Mg\), откуда \(L=\dfrac{7Mg}{k}=\dfrac{7H}{3}\).

Жёсткость части резинки длиной \(Y\) равна \(kL/Y\). Добавочный грузик прикрепляется к середине правой части резинки, то есть к точке, которая находится на расстоянии \(L/3\) от конца нерастянутой резинки. Жёсткость этого участка равна \(3k\).

До прикрепления грузика с массой \(M\) равновесие этой трети резинки даёт \(3k\left(H-\dfrac{L}{3}\right)=2Mg\). После прикрепления \(3k\left[(H-X)-\dfrac{L}{3}\right]=Mg\). Величина \(X\) — уменьшение длины участка резинки между полом и грузиком, и это и есть искомое смещение груза. Натяжение, а значит и длина участка резинки между грузом и добавочным грузиком, не меняются.

Вычитая уравнения друг из друга, получаем \(3kX=Mg\), то есть \(X=\dfrac{H}{9}\).

К тому же ответу можно прийти и без вычисления длины нерастянутой резинки: после подвешивания грузика массой \(M\) нагрузка на нижнюю треть резинки уменьшается на \(Mg\), отсюда сразу \(3kX=Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вес груза уравновешен давлением столба жидкости в нижней части, поэтому высота столба над поршнем не меняется. Сравните объём залитой жидкости со сдвигом поршня.

Ответ

\(U=\dfrac{Q}{2S}\).

Решение

Введём обозначения: \(U\) — искомая скорость движения груза, \(X_0\) — начальное расстояние от поршня до места соединения частей трубы, \(Y_0\) — начальная высота столба жидкости в узкой части трубы, \(X\) и \(Y\) — соответствующие расстояния в произвольный момент времени \(t\) после начала заливания, \(\rho\) — плотность жидкости.

Искомая скорость груза направлена вверх и равна скорости поршня, то есть скорости, с которой увеличивается \(X\). Согласно условию, в начальной ситуации сила давления жидкости на поршень равна весу груза: \(Mg=\rho g(X_0+Y_0)\cdot 3S\). Аналогично в любой другой момент, пока в обеих частях трубы есть жидкость: \(Mg=\rho g(X+Y)\cdot 3S\). Значит, в любой момент \(X_0+Y_0=X+Y\).

Начальный объём жидкости равен \(V_0=3SX_0+SY_0\), а в момент времени \(t\) после начала заливания он равен \(V_0+Qt=3SX+SY\). Перепишем это выражение: \[V_0+Qt=3SX+SY=2SX+S(X+Y)=2SX-2SX_0+(3SX_0+SY_0)=2S(X-X_0)+V_0.\] Отсюда \(X(t)=X_0+\dfrac{Q}{2S}t=X_0+Ut\), то есть \(U=\dfrac{Q}{2S}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Когда открыт только второй кран, вся вода проходит через один нагреватель: по этой температуре найдите исходную температуру воды в трубе. Затем разделите подачу насоса между кранами по времени наполнения вёдер.

Ответ

\(T_2=60\) \(^\circ\)C.

Решение

Введём обозначения: \(N\) — тепловая мощность, передаваемая воде при её протекании через нагреватель, \(V\) — объём воды, подаваемой насосом в единицу времени, \(C\) и \(\rho\) — удельная теплоёмкость и плотность воды, \(T_0\) — температура воды в трубе без подогрева, \(T_x\) — температура воды, набиравшейся в ведро №2 до закрывания крана №1.

Сначала найдём соотношение между объёмами воды, протекающими через краны №1 и №2, когда оба открыты. Пусть через кран №1 идёт доля \(X\) от всей подачи, то есть \(XV\), тогда через кран №2 идёт \((1-X)V\). После закрытия крана №1 через кран №2 подаётся \(V\). Объёмы вёдер одинаковы, поэтому \(t_1XV=t_1(1-X)V+t_2V\), откуда \(X=\dfrac{t_1+t_2}{2t_1}=\dfrac{3}{4}\). Значит, через кран №2 при обоих открытых кранах течёт четверть воды. Когда наполнилось ведро №1, второе ведро было заполнено на треть.

Когда открыт только кран №2, вся вода проходит через один нагреватель, и её температура \(T_3\) получается из исходной температуры \(T_0\). Уравнение теплового баланса за малое время \(t_\text{п}\) (заведомо меньшее времени наполнения ведра): \(VC(T_3-T_0)=N\).

Для воды, которая течёт через кран №1, \(XVC(T_1-T_0)=N\), откуда \(X(T_1-T_0)=T_3-T_0\). Отсюда \(T_0=4T_3-3T_1=30\) \(^\circ\)C.

Для воды, которая в это время набиралась в ведро №2, \((1-X)VC(T_x-T_0)=N\), откуда \((1-X)(T_x-T_0)=T_3-T_0\), то есть \(T_x=4T_3-3T_0=90\) \(^\circ\)C.

Итак, в ведре №2 треть объёма занята водой с температурой \(T_x=90\) \(^\circ\)C, а две трети — водой с температурой \(T_3=45\) \(^\circ\)C. После установления теплового равновесия \(\dfrac{1}{3}C\,Y(T_x-T_2)=\dfrac{2}{3}C\,Y(T_2-T_3)\), откуда \[T_2=\frac{T_x+2T_3}{3}=60~^\circ\text{C}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.