зад 1 Чемодан на кольцевом транспортере
Когда на кольцевой транспортер выгрузили чемодан прибывшего с самолёта пассажира, пассажир направился вдоль транспортера против его движения. Пройдя таким образом некоторый путь за время \(t_1\), он поравнялся со своим чемоданом, но не успел его ухватить, и с прежней скоростью направился в противоположную сторону, пытаясь догнать чемодан. Через время \(t_2\) чемодан второй раз оказался напротив пассажира, и он его взял. Какой путь проделал пассажир и его чемодан? Длина транспортера \(L\), время его полного обращения \(T\). Пассажир двигался вперёд и назад с одинаковой постоянной скоростью. Отличием траектории пассажира и чемодана пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость ленты найдите через \(L\) и \(T\). Во второй фазе пассажир догоняет чемодан: за время \(t_2\) чемодан проезжает на \(L\) больше, чем пассажир, и из этого находится скорость пассажира.
▶ОтветСкрыть
\(S_п=\dfrac{L(t_2-T)(t_1+t_2)}{t_2T}\), \(S_ч=\dfrac{L(t_1+t_2)}{T}\).
▶РешениеСкрыть
Скорость транспортера \(v=\dfrac{L}{T}\).
Двигаясь вдогонку чемодану, пассажир проделал путь на \(L\) меньше, чем его чемодан: \(vt_2-ut_2=L\), откуда скорость пассажира \(u=v-\dfrac{L}{t_2}=\dfrac{L(t_2-T)}{t_2T}\).
Путь пассажира \(S_п=u(t_1+t_2)\), путь чемодана \(S_ч=v(t_1+t_2)\). Подставляя \(u\) и \(v\), получаем ответ: \(S_п=\dfrac{L(t_2-T)(t_1+t_2)}{t_2T}\), \(S_ч=\dfrac{L(t_1+t_2)}{T}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Ведро с жидкостью и телом на блоках
В ведре массой \(M\) находится тело массой \(m\) и жидкость массой \(m_ж\). Вся эта система подвешена на нити (см. рис.) и находится в равновесии. Считая блоки и нить невесомыми, найти силу Архимеда, действующую на тело. Трения нет. Ускорение свободного падения \(g\). Влиянием воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала запишите равновесие тела \(m\): вес, сила Архимеда и натяжение нити. Затем рассмотрите равновесие всей системы «ведро, жидкость, тело, подвижный блок» и найдите натяжение нити через полный вес системы.
▶ОтветСкрыть
\(F_A=\dfrac{g(2m-m_ж-M)}{3}\).
▶РешениеСкрыть
Условие равновесия для тела массой \(m\): \(F_A=mg-T\), где \(F_A\) — сила Архимеда, действующая на это тело, \(T\) — сила натяжения нити.
Силу натяжения найдём из равновесия системы «ведро, жидкость, тело и подвижный блок»: \(3T=g(M+m+m_ж)\).
Подставляя натяжение из второго уравнения в первое, получаем \(F_A=mg-\dfrac{g(M+m+m_ж)}{3}=\dfrac{g(2m-m_ж-M)}{3}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Нагрев кефира в тетрапаке
Чтобы нагреть хранившийся в холодильнике кефир массой \(m\) и температурой \(T_1\), школьник налил из-под крана полную кастрюлю тёплой воды массой \(M\) и температурой \(T_2\). Затем он аккуратно опустил в кастрюлю тетрапак с кефиром и оставил его плавать. При этом тетрапак не касался ни дна, ни стенок. После установления теплового равновесия температура кефира оказалась равна \(T\). Определите удельную теплоёмкость кефира, если теплоёмкость воды известна и равна \(c\). Теплообменом с окружающей средой, теплоёмкостью кастрюли и массой тетрапака пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Тетрапак плавает, значит, вес вытесненной воды равен весу тетрапака с кефиром. Сколько воды вылилось из полной кастрюли, и какая вода участвует в тепловом балансе?
▶ОтветСкрыть
\(c_k=\dfrac{c\,(M-m)(T_2-T)}{m\,(T-T_1)}\).
▶РешениеСкрыть
При опускании в полную кастрюлю воды тетрапака с кефиром часть воды выльется.
Объём вытесненной воды \(\Delta V\) (он же объём погружённой части тетрапака) найдём из условия плавания тетрапака: \(\rho g\,\Delta V=mg\), где \(\rho\) — плотность воды. Масса вытесненной воды равна массе кефира: \(\Delta M=m\).
После установления теплового равновесия температура воды равна температуре кефира. Теплота, полученная кефиром, равна теплоте, отданной оставшейся водой массой \(M-m\). Уравнение теплового баланса: \(c(M-m)(T_2-T)=c_k\,m\,(T-T_1)\), где \(c_k\) — искомая теплоёмкость кефира. Отсюда \(c_k=c\,\dfrac{(M-m)(T_2-T)}{m(T-T_1)}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Поршни с жидкостью и нитью
Горизонтальный сосуд с несжимаемой жидкостью с двух сторон закрыт подвижными поршнями: слева — площадью \(S_1\), справа — \(S_2\), причём \(S_1<S_2\). Поршни соединены нитью, выдерживающей максимальное натяжение \(T\). Какую силу и в каком направлении надо приложить к правому поршню, чтобы нить порвалась? Влиянием сил трения и тяжести пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, что произойдёт с нитью, если сдвигать правый поршень вправо и если влево: несжимаемость жидкости связывает смещения поршней. Затем запишите равновесие каждого поршня.
▶ОтветСкрыть
\(F=T\left(\dfrac{S_2}{S_1}-1\right)\), сила направлена влево (поршень надо толкать влево).
▶РешениеСкрыть
Если правый поршень сдвинуть вправо на расстояние \(d\), то из-за несжимаемости жидкости левый поршень должен сдвинуться вправо на расстояние \(dS_2/S_1\), которое больше \(d\), и натяжение нити уменьшается; добиться обрыва нити сдвигом вправо нельзя. Если же правый поршень сдвинуть влево на расстояние \(d\), то левый поршень должен сдвинуться влево на \(dS_2/S_1\), что невозможно из-за нерастяжимости нити; приложенная сила поэтому увеличивает давление в жидкости, и натяжение нити растёт. Значит, силу надо прикладывать влево.
Пусть \(T_x\) — натяжение нити при приложении силы \(F\) к правому поршню, \(P\) — давление жидкости. Условия равновесия поршней: \(F+T_x-PS_2=0\) и \(T_x-PS_1=0\). Решая систему, находим \(T_x=\dfrac{FS_1}{S_2-S_1}\).
Нить оборвётся, когда натяжение достигнет \(T\), то есть минимальная сила для разрыва: \(F=\dfrac{T(S_2-S_1)}{S_1}=T\left(\dfrac{S_2}{S_1}-1\right)\), направленная влево.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Стержни и пружина в треугольнике
Два одинаковых однородных стержня длиной \(L\) и массой \(m\) одним концом закреплены на оси (см. рис.). Их свободные концы связаны невесомой пружиной. В состоянии равновесия стержни и пружина образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Когда, действуя на левый стержень, треугольник повернули вправо так, что правый стержень принял горизонтальное положение, равновесный угол между стержнями составил \(60^\circ\). Определите жёсткость пружины. При сжатии ось пружины не изгибается. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите баланс моментов сил относительно оси в двух положениях стержней: для каждого положения найдите плечи силы тяжести и силы упругости пружины. Неизвестную недеформированную длину пружины исключите из двух уравнений.
▶ОтветСкрыть
\(k=\dfrac{mg\,(2-\sqrt3)}{2\sqrt3\,(\sqrt2-1)\,L}\).
▶РешениеСкрыть
В первом случае (стержни образуют прямоугольный треугольник) равновесие правого стержня обеспечивается балансом моментов силы тяжести и силы упругости пружины. Плечо силы тяжести \(BC=\dfrac{L}{2\sqrt2}\), плечо силы упругости \(OA=\dfrac{L}{\sqrt2}\). Пусть длина недеформированной пружины \(L_0\), жёсткость \(k\); баланс моментов: \(\dfrac{mgL}{2\sqrt2}=\dfrac{k(L_0-L\sqrt2)L}{\sqrt2}\).
Во втором случае плечо силы тяжести \(OC=\dfrac{L}{2}\), плечо силы упругости пружины \(OA=\dfrac{L\sqrt3}{2}\), баланс моментов: \(\dfrac{mgL}{2}=\dfrac{k(L_0-L)L\sqrt3}{2}\).
Исключая из последних уравнений \(L_0\), получаем ответ: \(k=\dfrac{mg\,(2-\sqrt3)}{2\sqrt3\,(\sqrt2-1)\,L}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.