зад 1 Опоздавший пассажир на моноколесе
Опоздавший пассажир бросился догонять поезд на моно-колесе в момент, когда мимо него пронеслись двери последнего вагона. Двигаясь с постоянным ускорением \(a_1\), он достиг этих дверей, но в момент, когда поравнялся с ними, ехал слишком быстро, чтобы безопасно запрыгнуть в поезд. С этого момента он начал тормозить с постоянным ускорением \(a_2\) и в момент, когда его скорость сравнялась со скоростью поезда, заскочил в двери второго от конца вагона. На какую максимальную дистанцию пассажир отставал от поезда, если длина вагона \(L\)? Скорость поезда не менялась. Доступна последняя дверь каждого вагона. За конец поезда принимать последнюю дверь.
▶ПодсказкаСкрыть
Максимальное отставание достигается, когда скорость пассажира сравнялась со скоростью поезда. Дальше сравните, насколько пассажир обогнал дверь за время торможения.
▶ОтветСкрыть
\(S=L\,\dfrac{a_2}{a_1}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(v_0\) — скорость поезда, а пассажир догоняет его в момент \(t_2\) со скоростью \(v_1\). Тогда \(v_0t_2=\dfrac{a_1t_2^2}{2}=\dfrac{v_1t_2}{2}\), откуда \(v_1=2v_0\).
Максимальное отставание достигается в момент \(t_1\), когда скорость пассажира сравнивается со скоростью поезда: \(t_1=\dfrac{v_0}{a_1}\) (см. график). Тогда $$S=\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{v_0^2}{2a_1}.$$
Время торможения пассажира \(t_3-t_2=\dfrac{v_1-v_0}{a_2}=\dfrac{v_0}{a_2}\). За это время поезд проходит путь \(S_1=v_0(t_3-t_2)\), а пассажир — путь \(S_2=\dfrac{(v_1+v_0)(t_3-t_2)}{2}=\dfrac{3v_0(t_3-t_2)}{2}\). Относительное перемещение пассажира и поезда $$L=S_2-S_1=\frac{v_0(t_3-t_2)}{2}=\frac{v_0^2}{2a_2}.$$ Отсюда \(v_0^2=2a_2L\), и подстановка в формулу для \(S\) даёт ответ \(S=L\,\dfrac{a_2}{a_1}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Хоккеист и отскок шайбы от бортика
Хоккеист из точки на расстоянии \(10\) м от бортика хоккейной коробки производит шайбой удар-броски в сторону бортика с одинаковой начальной скоростью. При этом шайба скользит по льду, упруго отскакивает от бортика, скользит и останавливается. Когда шайба пущена перпендикулярно бортику, то она останавливается в одном метре от точки броска. Под каким наибольшим углом к перпендикуляру может остановиться шайба?
▶ПодсказкаСкрыть
Отражение шайбы от бортика удобно заменить продолжением траектории за бортик. Путь до остановки одинаков во всех бросках, поэтому точки остановки лежат на одной окружности.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha=\arcsin 0{,}95\approx72^{\circ}\).
▶РешениеСкрыть
Во всех случаях шайба проходит до остановки одинаковый путь (следует из закона сохранения энергии): \(R=19\) м. Поскольку угол отражения равен углу падения, зеркально отражённая траектория после удара продолжает прямую линию. Геометрическим местом точек возможной остановки шайбы является дуга окружности радиуса \(R\) с центром в точке \(O\) за бортиком, на расстоянии \(10\) м от него.
Искомый угол отвечает точке \(B\) остановки шайбы, такой, что прямая \(AB\) касается окружности и угол \(ABO\) прямой. Поскольку \(AO=20\) м, а \(BO=19\) м, искомый угол $$\alpha=\arcsin\frac{BO}{AO}=\arcsin 0{,}95\approx72^{\circ}.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Доска с нитью на наклонной плоскости
На наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом, находится доска. В доску вбит гвоздь. К гвоздю привязана невесомая и нерастяжимая нить, второй конец которой прикреплён к бруску, лежащему на доске. Нить натянута и параллельна плоскости доски. Между бруском и доской трения нет. Вначале доску удерживали, а затем её аккуратно отпустили. Доска начала скользить по плоскости, при этом сила натяжения нити уменьшилась в \(n\) раз. Найдите коэффициент трения скольжения между доской и наклонной плоскостью. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пока доску держат, брусок покоится, и натяжение нити равно \(mg\sin\alpha\). После отпускания сравните ускорение бруска и ускорение системы «брусок + доска», в которой действует трение о наклонную плоскость.
▶ОтветСкрыть
\(\mu=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{n}\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим \(M\) — массу доски, \(m\) — массу бруска, \(T\) — силу натяжения нити, когда доску удерживали. Вначале брусок покоился, поэтому \(T=mg\sin\alpha\).
Когда доску отпустили, брусок и доска стали двигаться с одинаковым ускорением \(a\). Второй закон Ньютона для бруска: \(mg\sin\alpha-\dfrac{T}{n}=ma\). Отсюда \(a=g\sin\alpha\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\).
Для системы «брусок + доска» вдоль плоскости: \((M+m)g\sin\alpha-\mu N=(M+m)a\), где сила реакции опоры \(N=(M+m)g\cos\alpha\). Следовательно, \(a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\).
Приравнивая два выражения для ускорения, получаем \(\mu\cos\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{n}\), то есть \(\mu=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{n}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Четыре шарика на пружинах и стержнях
На горизонтальной поверхности четыре одинаковых шарика при помощи одинаковых легких стержней длины \(l\) каждый прикрепили к легкому шарниру \(O\) и соединили одинаковыми легкими пружинами жесткостью \(k\) каждая. Конструкция приняла форму квадрата, при этом пружины не были деформированы. После того, как конструкцию подвесили за один из грузов, и она пришла в равновесие, между стержнями установились углы \(120^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Определите массу шарика. Все шарики находятся в одной плоскости, их размеры пренебрежимо малы. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Недеформированная пружина — диагональ квадрата со стороной \(l\sqrt{2}\). Запишите условие равновесия одного шарика в направлении, перпендикулярном стержню.
▶ОтветСкрыть
\(m=\dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}-1)\,kl}{\sqrt{3}\,g}\).
▶РешениеСкрыть
Исследуем равновесие шарика \(A\). На него действуют сила тяжести \(mg\), сила упругости нижней пружины \(F_1\), сила упругости верхней пружины \(F_2\) и сила \(N\) реакции опоры со стороны стержня.
Длина недеформированной пружины \(l_0=l\sqrt{2}\), длина нижней пружины \(l\), верхней — \(l\sqrt{3}\), откуда силы $$F_1=kl\left(\sqrt{2}-1\right), F_2=kl\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).$$
Условие равновесия в направлении \(AB\), перпендикулярном стержню \(OA\): $$F_1\cos30^\circ+F_2\cos60^\circ-mg\cos30^\circ=0.$$
Подставляя значения сил, находим \(m=\dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}-1)\,kl}{\sqrt{3}\,g}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Блоки и грузы: ускорения
На рисунке изображена механическая конструкция из подвижных блоков и грузов с одинаковой массой. Грузы и блоки сначала удерживали так, чтобы нити не провисали, а затем отпустили. Определите ускорения грузов. Блоки и нити невесомые, нити нерастяжимые. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для каждого груза, считая положительным направление вниз, и условие нерастяжимости нити, связывающее ускорения грузов.
▶ОтветСкрыть
\(a_1=\dfrac{7g}{9}\), \(a_2=\dfrac{11g}{9}\), \(a_3=\dfrac{8g}{9}\) (все — вниз).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(T\) — сила натяжения нити, переброшенной через блоки. Направление вниз считаем положительным. Второй закон Ньютона для грузов: $$ma_1=mg-2T, ma_2=mg+2T, ma_3=mg-T.$$ Условие нерастяжимости нити: \(2a_1-2a_2+a_3=0\).
Подставляя ускорения из первых трёх уравнений в четвёртое, находим \(T=\dfrac{mg}{9}\). Подставив эту величину в уравнения, получаем \(a_1=\dfrac{7g}{9}\), \(a_2=\dfrac{11g}{9}\), \(a_3=\dfrac{8g}{9}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2023/24, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.