Всесибирская, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Условие равновесия люльки с маляром — баланс моментов сил тяжести относительно оси \(O\). Плечи обеих сил выразите через геометрию треугольника, образованного тросами и люлькой.

\(M=m\,\dfrac{S\cos\alpha-\sin\alpha\sqrt{4L^2-S^2}}{\sin\alpha\sqrt{4L^2-S^2}}\).

Пусть масса люльки равна \(M\). Равновесие люльки с маляром определяется балансом моментов сил тяжести относительно горизонтальной оси \(O\): \(mg\cdot DG=Mg\cdot CH\) (рисунок решения — из официального решения; на условии его нет).

Плечо силы \(Mg\) — отрезок \(CH\), он равен \(CH=OC\sin\alpha=\sin\alpha\sqrt{L^2-S^2/4}\). Плечо силы \(mg\) — отрезок \(DG=DE-CH\), где \(DE=\dfrac{S}{2}\cos\alpha\), поэтому \(DG=\dfrac{S}{2}\cos\alpha-\sin\alpha\sqrt{L^2-S^2/4}\).

Отсюда \[M=m\,\frac{DG}{CH}=m\,\frac{\dfrac{S}{2}\cos\alpha-\sin\alpha\sqrt{L^2-S^2/4}}{\sin\alpha\sqrt{L^2-S^2/4}} =m\,\frac{S\cos\alpha-\sin\alpha\sqrt{4L^2-S^2}}{\sin\alpha\sqrt{4L^2-S^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Перейдите в систему отсчёта ножа: там скорость стержня направлена вдоль поверхности ножа. Сложите скорости по правилу треугольника и примените теорему синусов.

\(u=\dfrac{v\sin\beta}{\cos(\beta-\alpha)}\).

Нижний конец стержня скользит по поверхности очередного ножа до встречи со следующим ножом. В системе отсчёта, связанной с ножом, скорость стержня направлена по касательной к поверхности ножа.

В этой системе отсчёта скорость стержня \(\vec u_1=\vec u-\vec v\), где \(\vec u\) — скорость стержня относительно неподвижной системы, \(\vec v\) — скорость ленты с ножами. Применяем теорему синусов к треугольнику, составленному из этих векторов: \[\frac{u}{\sin\beta}=\frac{v}{\sin(90^\circ+\alpha-\beta)}=\frac{v}{\cos(\beta-\alpha)},\] откуда \(u=\dfrac{v\sin\beta}{\cos(\beta-\alpha)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Грузы неподвижны относительно бруска, значит, вся система движется с одним ускорением. Найдите его по второму закону Ньютона для системы в целом, а для груза \(m_2\) учтите, что по вертикали его ускорение равно нулю.

\(F=\dfrac{m_2g\,(M+m_1+m_2)}{m_1}\).

Так как грузы неподвижны относительно бруска, система движется как целое под действием силы \(F\) с ускорением \[a=\frac{F}{M+m_1+m_2}.\] Верхний груз движется с тем же ускорением под действием силы натяжения \(T\), поэтому \(T=m_1a\).

Нить невесома, поэтому она действует на груз массы \(m_2\) с той же силой \(T\), а вертикальное ускорение этого груза равно нулю: \(m_2g-T=0\). Отсюда \(m_2g=T=m_1a\).

Подставляя ускорение из первого уравнения, получаем \(F=\dfrac{m_2g\,(M+m_1+m_2)}{m_1}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Жёсткость отрезка шнура обратно пропорциональна его длине. В момент наибольшего растяжения скорости шариков равны нулю, поэтому убыль электростатической энергии идёт на упругую энергию шнура.

\(L_{\min}=\sqrt{\dfrac{q^2k_0L_0}{2\pi\varepsilon_0T\,(T+k_0L_0)}}\).

Если жёсткость шнура длиной \(L_0\) равна \(k_0\), то при длине \(L\) коэффициент жёсткости равен \(k=\dfrac{k_0L_0}{L}\).

Удлинение шнура до разрыва \(\Delta L=\dfrac{T}{k}=\dfrac{TL}{k_0L_0}\). Энергия, запасённая в шнуре до разрыва, \[U=\frac{k\,\Delta L^2}{2}=\frac{T^2}{2k}=\frac{T^2L}{2k_0L_0}.\]

Запишем закон сохранения энергии для начального недеформированного шнура и шнура перед разрывом; скорости шариков в этот момент нулевые, так как рассматривается крайний случай: \[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{L}=U+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{L+\Delta L}.\] Разность в левой части уравнения равна \(\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{\Delta L}{L(L+\Delta L)}=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{T}{L(T+k_0L_0)}\). Подставляя это и \(U\), получаем \(\dfrac{q^2T}{4\pi\varepsilon_0L(T+k_0L_0)}=\dfrac{T^2L}{2k_0L_0}\), откуда \[L_{\min}=\sqrt{\frac{q^2k_0L_0}{2\pi\varepsilon_0T\,(T+k_0L_0)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите равновесие каждого поршня, свяжите давления над нижним и под верхним поршнем через столб жидкости и учтите, что при опускании поршней объём жидкости сохраняется.

\(F=kL\,\dfrac{(S_1-S_2)^2}{S_1S_2}-\rho gL\,(S_1-S_2)\).

Нижний поршень находится в равновесии, поэтому \[P_2S_2+m_2g-T=0,\] где \(m_2\) — масса нижнего поршня, \(P_2\) — давление жидкости на него, \(T\) — натяжение пружины. Давление на верхний поршень \(P_1=P_2-\rho gl\), где \(l\) — расстояние между поршнями. Условие равновесия верхнего поршня: \(P_1S_1-T-m_1g-F=0\), где \(m_1\) — масса верхнего поршня.

Подставляя \(P_1\) и \(P_2\) и вычитая из полученного условия равновесия такое же условие в исходном состоянии (с натяжением \(T_0\) и длиной \(l_0\) пружины), получаем \[(T-T_0)\left(\frac{S_1}{S_2}-1\right)-\rho g\,(l-l_0)\,S_1-F=0.\]

Если нижний поршень опустился на \(L\), то верхний опустился на \(h\), и объём жидкости не изменился: \(LS_2=hS_1\). Изменение длины пружины \(l-l_0=L-h=L\left(1-\dfrac{S_2}{S_1}\right)\), а натяжение пружины увеличилось на \(T-T_0=k(L-h)=kL\left(1-\dfrac{S_2}{S_1}\right)\).

Подставляя эти величины, получаем \[F=kL\,\frac{(S_1-S_2)^2}{S_1S_2}-\rho gL\,(S_1-S_2).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.