Всесибирская, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Равенство высот даёт отношение рёбер, равенство весов — отношение масс. Плотность равна массе, делённой на объём куба.

В \(4\) раза.

Пусть ребро и масса малого кубика равны \(x_1\) и \(m_1\), а большого — \(x_2\) и \(m_2\). По условию равны высоты столбиков и веса: \(N_1x_1=N_2x_2\), \(N_1m_1=N_2m_2\). Отсюда \(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{N_1}{N_2}=2\) и \(\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac12\).

Отношение плотностей \[\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{m_1/x_1^3}{m_2/x_2^3}=\frac{m_1}{m_2}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\frac12\cdot 2^3=4.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Высота сосны одна и та же в обоих случаях, а время падения шишки не зависит от скорости белки. Запишите путь белки по высоте дерева для каждого случая.

\(T_0=2\) с.

Пусть \(T_0\) — время падения шишки, \(H\) — высота сосны. Белка бежит от вершины до встречи с шишкой, которая к этому моменту уже лежит на земле, поэтому время бега белки равно \(T_0+T_1\) и \(T_0+T_2\) в двух случаях: \[H=V_1(T_0+T_1),\qquad H=V_2(T_0+T_2).\] Исключая \(H\), получаем \(T_0=\dfrac{V_1T_1-V_2T_2}{V_2-V_1}\). Численно \(T_0=\dfrac{1\cdot10-3\cdot2}{3-1}=2\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Из того, что лодку снесло назад в А, следует, что Б лежит выше по течению. Посчитайте, когда бензин кончился, и сколько времени лодка дрейфовала по течению.

\(V/U=3{,}6\).

Пусть \(T_0=5\) ч — время обычной поездки (с 7-00 до 12-00), \(T_1=4\) ч — задержка (с 12-00 до 16-00), \(V\) — скорость лодки относительно воды, \(U\) — скорость течения.

Лодку с выключенным мотором снесло в А, значит, Б выше по течению. Сначала лодка шла против течения, на поездку до Б тратила больше половины времени \(T_0\) и больше половины бака. Значит, при половине бака мотор остановился раньше, чем лодка дошла до Б — через \(T_0/2\). За это время лодка прошла вверх по течению путь \[X=\frac{T_0}{2}(V-U).\] Дальше лодку несло вниз по течению обратно в А. Всего от выхода до возвращения прошло \(9\) ч, из них \(T_0/2\) — работа мотора, значит, дрейф длился \(\dfrac{T_0}{2}+T_1\) и \[X=U\left(\frac{T_0}{2}+T_1\right).\] Приравнивая, получаем \[\frac{V}{U}=\frac{2(T_0+T_1)}{T_0}=\frac{2\cdot 9}{5}=3{,}6.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Масса цепи на весах пропорциональна длине лежащей части. Сравните, сколько цепи снялось с весов за интервал \(T_2\) и за интервал \(T_1\).

\(L=270\) см.

Пусть \(L\) — длина цепи, \(M\) — её полная масса, \(\lambda\) — масса единицы длины (цепь однородна). За время \(T_2\) поднятая часть выросла на \(VT_2\), на столько же укоротилась часть, лежащая на весах, и её масса уменьшилась на \(M_1-M_2\). Поэтому \[\lambda=\frac{M_1-M_2}{VT_2}=\frac{100~\text{г}}{40~\text{см}}=2{,}5~\text{г/см}.\] За время \(T_1\) с весов сняли массу \(\lambda VT_1=(M_1-M_2)\dfrac{T_1}{T_2}=75\) г. Значит, до подъёма весы показывали \(M=M_1+75~\text{г}=675\) г, и вся цепь лежала на весах. Длина цепи \[L=\frac{M}{\lambda}=\frac{675}{2{,}5}=270~\text{см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.