Всесибирская, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Мешки в момент толчка имеют скорость лифта и дальше падают свободно. Время падения каждого найдите из квадратного уравнения по высоте, с которой он падает; интервал между ударами — разность этих времён.

\(T=3\) с.

Пройденный мешком за время \(t\) после толчка путь (начальная скорость мешков равна скорости лифта) \(h=vt+\dfrac{gt^2}{2}\). Решая это уравнение относительно \(t\), получаем время падения мешка с высоты \(h\): $$t=-\frac{v}{g}+\sqrt{\frac{v^2}{g^2}+\frac{2h}{g}}$$ (второй корень меньше нуля, он не подходит).

Первый мешок падает на землю через время $$t_1=-\frac{v}{g}+\sqrt{\frac{v^2}{g^2}+\frac{2H}{g}}$$ после толчка. Второй мешок в момент толчка находится на высоте \(H-vT_0\) и падает на землю через время $$t_2=T_0-\frac{v}{g}+\sqrt{\frac{v^2}{g^2}+\frac{2(H-vT_0)}{g}}$$ после первого толчка. Интервал между ударами $$T=t_2-t_1=T_0+\sqrt{\frac{v^2}{g^2}+\frac{2(H-vT_0)}{g}}-\sqrt{\frac{v^2}{g^2}+\frac{2H}{g}}.$$ Подставив \(v=5\) м/с, \(H=30\) м, \(T_0=4\) с, \(g=10\) м/с\(^2\), получаем \(t_1=2\) с, \(t_2=5\) с и \(T=3\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Найдите путь поезда за время \(t\) движения дрезины от \(A\) до \(B\), затем время, которое дрезина едет поверх поезда, и её перемещение относительно земли на этих участках. Средняя скорость — полный путь (перемещение) делить на полное время.

\(\langle v\rangle=\dfrac{v^2-u^2}{v}\).

За время \(t\) движения дрезины из \(A\) в \(B\) поезд проходит путь \(L=ut\). Время движения дрезины поверх поезда $$t_2=\frac{L}{v}=\frac{ut}{v}.$$ Скорость дрезины относительно земли при её движении поверх поезда \(v_1=v-u\), поэтому на этом участке она проходит путь \(S_2=v_1t_2\).

До въезда на поезд дрезина едет по земле со скоростью \(v\) в течение времени \(t-t_2\) и проходит путь \(S_1=v(t-t_2)\).

Средняя скорость движения дрезины $$\langle v\rangle=\frac{S_1+S_2}{t}=\frac{v^2-u^2}{v}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Вся теплота опилок идёт на испарение воды, которая кипит при \(100\,^{\circ}\)С. Найдите массу испарившейся воды из уравнения теплового баланса, затем число молекул. Сравните его с числом молекул во всей воде из кружки.

\(N\approx3{,}3\cdot10^{22}\) молекул.

Так как температура воды равна температуре кипения, то вся теплота, полученная от опилок, уходит на парообразование. Уравнение теплового баланса $$cm(T_0-T_1)+rM=0,$$ где \(m\) и \(M\) — массы опилок и испарившейся воды, \(T_0\) — температура кипятка (она же конечная температура опилок), \(T_1\) — начальная температура опилок, \(c\) — удельная теплоёмкость железа.

Количество молекул воды \(N=\dfrac{N_AM}{\mu}\), где \(N_A\) — число Авогадро, \(\mu\) — молярная масса воды. Отсюда $$N=\frac{N_A cm(T_1-T_0)}{r\mu}\approx3{,}3\cdot10^{22}.$$

Это число нужно сравнить с числом молекул, содержащихся в полулитре воды: $$N_{\max}=\frac{N_AM_0}{\mu}\approx1{,}66\cdot10^{25}>N,$$ где \(M_0\) — начальная масса воды в кружке. Значит, вода испарится не вся.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

К моментам \(\tau\) и \(2\tau\) известны объёмы горячей и холодной воды в ванне, а температуры смеси берите с графика. Запишите тепловой баланс смеси в каждый из этих моментов.

\(V=2V_0\,\dfrac{T_1-T_2}{\Delta T}\).

Пусть искомый объём бака \(V\), температура холодной воды \(T_c\), горячей \(T_h=T_c+\Delta T\). По графику в момент времени \(\tau\) накопленная горячая вода кончилась. Тогда в момент \(\tau\) в ванну поступило \(V\) горячей воды и \(V_0-V\) холодной. Уравнение теплового баланса $$c\rho V(T_1-T_h)+c\rho(V_0-V)(T_1-T_c)=0,$$ где \(c\) и \(\rho\) — соответственно удельная теплоёмкость и плотность воды.

Аналогичное уравнение для момента \(2\tau\), когда в ванне \(2V_0\) воды, а холодной поступило \(2V_0-V\): $$c\rho V(T_2-T_h)+c\rho(2V_0-V)(T_2-T_c)=0.$$

Решая эти уравнения, получаем \(T_c=2T_2-T_1\) и, подставляя в первое уравнение, \(V=2V_0\,\dfrac{T_1-T_2}{\Delta T}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Натяжение нити уравновешивает давление жидкости на поршень. Давление наибольшее, когда столб жидкости над поршнем самый высокий, а это — когда её уровень доходит до верхнего края тонкого цилиндра. Объём жидкости при этом сохраняется.

\(T_{\max}=\rho g\bigl(S_1(h+H)-S_2H\bigr)\).

Равновесие поршня определяется балансом силы натяжения нити \(T\) и силы давления жидкости: \(T=PS_1\), где \(P=\rho gh_t\) — давление столба жидкости высотой \(h_t\) над поршнем. Оно достигает максимума при наибольшей высоте \(h_t\).

При подъёме поршня высота столба жидкости над ним уменьшается, а значит, наибольшая высота достигается в момент, когда кромка столба жидкости доходит до края верхнего цилиндра. Найдём эту высоту из условия сохранения объёма жидкости: $$S_2H+S_1(h_{\max}-H)=S_1h,$$ откуда $$h_{\max}=h+H\left(1-\frac{S_2}{S_1}\right).$$

Тогда $$T_{\max}=\rho gS_1h_{\max}=\rho g\bigl(S_1(h+H)-S_2H\bigr).$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.