Всесибирская, 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Горизонтальный импульс системы «брусок + шарик» сохраняется. Скорость бруска наибольшая в тот момент, когда скорость шарика относительно стола тоже наибольшая.

Ответ

\(v=\sqrt{\dfrac{4gRm^2}{M(m+M)}}\).

Решение

Брусок будет иметь максимальную скорость, когда шарик достигнет самой нижней точки кольцевого канала. Пусть \(u\) — скорость шарика в низшей точке. Тогда согласно закону сохранения импульса \[mu=Mv.\] Закон сохранения энергии \[2mgR=\dfrac{mu^2}{2}+\dfrac{Mv^2}{2}.\] Брусок будет двигаться таким образом, что положение центра масс всей системы будет неизменным. Решая систему уравнений, получим ответ \[v=\sqrt{\dfrac{4gRm^2}{M(m+M)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Постройте графики скорости при нормальной и аварийной работе двигателя. Разность высот подъёма равна разности площадей под этими графиками на промежутке от \(\tau\) до \(11\tau\).

Ответ

\(\delta H=9\tau^2(a+g)\).

Решение

Из приведённого графика скорости ракеты видно, что разница в максимальной высоте подъёма ракеты при нормальной и аварийной работе двигателя равна разнице её перемещения в интервале \(EBD\) в первом случае и в интервале \(EFD\) во втором. Перемещение при равноускоренном движении \(S=v_1t+\dfrac{at^2}{2}=\dfrac{(v_1+v_2)t}{2}\), где \(v_1,v_2\) — начальная и конечная скорости на промежутке времени протяжённостью \(t\). Скорость, отвечающая точке \(F\), \(v_F=v_E-g\tau\), где \(v_E=a\tau\) — скорость, отвечающая точке \(E\). Аналогично для точек \(D\) и \(B\): \(v_D=v_B-g\tau\), для \(B\) и \(E\): \(v_B=v_E+9a\tau\), для \(F\) и \(D\): \(v_F=v_D-9a\tau\).

Перемещение на участке \(EBD\): \[S(EBD)=\dfrac{(v_E+v_B)9\tau}{2}+\dfrac{(v_B+v_D)\tau}{2}=\dfrac{119a\tau^2-g\tau^2}{2}.\] Перемещение на участке \(EFD\): \[S(EFD)=\dfrac{(v_E+v_F)\tau}{2}+\dfrac{(v_F+v_D)9\tau}{2}=\dfrac{101a\tau^2-19g\tau^2}{2}.\] Вычитая, получаем разницу перемещений \(S(EBD)-S(EFD)\), то есть ответ: \[\delta H=9\tau^2(a+g).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите скорости мяча и космонавта относительно станции после броска. От тяжёлой станции мяч отскакивает с прежней по модулю скоростью, а затем космонавту нужно, чтобы импульс мяча превзошёл импульс космонавта.

Ответ

\(U_{\min}=\dfrac{2vM}{M+m}\).

Решение

Закон сохранения импульса при броске (скорость мяча относительно станции \(u\), скорость космонавта относительно станции \(V\)): \[mu=MV,\qquad u+V=v.\] Отсюда находим скорости \[u=\dfrac{Mv}{M+m},\qquad V=\dfrac{mv}{M+m}.\] От тяжёлой станции мяч отскакивает с той же по модулю скоростью. При этом его импульс меняется на величину \(\Delta P=2mu\). Первоначальный импульс системы, состоящей из космонавта и мяча, равен нулю. Конечный её импульс \(P_{\rm fin}=\Delta P\), причём в конечном состоянии космонавт приобретает незначительную скорость по направлению к станции, а мяч принимает на себя весь импульс системы, так что \(mU_{\min}\geq\Delta P\).

Ответ: \(U_{\min}=\dfrac{2vM}{M+m}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Тело можно сдвинуть только перпендикулярно верёвке, значит, и сила трения направлена перпендикулярно верёвке. Запишите условие начала движения вдоль этого направления для трёх случаев и исключите угол \(\beta\) и коэффициент трения.

Ответ

\(F_{\min}=\dfrac{F_1F_2}{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}\).

Решение

Сила трения действует на тело в направлении \(AB\), противоположном его возможному перемещению и перпендикулярном верёвке. В этом направлении скатывающая сила и сила, прикладываемая для перемещения тела, также имеют ненулевые проекции. Предположим, что верёвка расположена под углом \(\beta\) к направлению вдоль склона вниз, а коэффициент трения \(\mu\).

В первом случае проекция на \(AB\) силы тяжести \(mg\sin\alpha\sin\beta\), силы \(F_1\) — \(F_1\sin\beta\), и сила трения \(F_{\rm тр}=\mu mg\cos\alpha\), так что \[\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha\sin\beta+F_1\sin\beta. \tag{1}\]

Во втором случае \[\mu mg\cos\alpha=-mg\sin\alpha\sin\beta+F_2\cos\beta. \tag{2}\] Оптимальным является направление силы \(BA\). В этом случае \[\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha\sin\beta+F_{\min}. \tag{3}\] Из уравнений (1) и (3) \[F_{\min}=F_1\sin\beta.\] Из уравнений (1) и (2) \[2mg\sin\alpha\sin\beta=F_2\cos\beta-F_1\sin\beta,\] откуда находим \[\dfrac{1}{\sin\beta}=\dfrac{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}{F_2}\] и получаем ответ.

Ответ: \(F_{\min}=\dfrac{F_1F_2}{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Воздух под поршнем сжат изотермически: найдите его давление по закону Бойля — Мариотта. Затем запишите равновесие поршня, учтя, что уровень жидкости в узком зазоре поднимается.

Ответ

\(m=\dfrac{\pi R^4hP_a}{g\left((R^2-r^2)H-R^2h\right)}+\dfrac{\pi r^2R^2h\rho}{R^2-r^2}\).

Решение

В равновесном состоянии на поршень массой \(m\) снизу и сверху действуют сила давления воздуха, сила давления жидкости и сила тяжести. Если давление воздуха под поршнем \(P\), то, с учётом закона Паскаля, \[mg=\pi R^2(P-P_a)+\rho g\,\delta h\,\pi r^2,\] где \(\delta h\) — глубина погружения поршня в жидкость. Эта глубина \(\delta h=h+h_1\), где высота подъёма жидкости \(h_1\) определяется из условия сохранения её объёма: \[h_1\pi(R^2-r^2)=h\pi r^2.\] Таким образом, \(\delta h=\dfrac{hR^2}{R^2-r^2}\). Давление воздуха под поршнем найдём из закона Бойля — Мариотта \(P_aV_0=PV\). Начальный объём воздуха \(V_0=\pi(R^2-r^2)H\). Поскольку при опускании поршня меняется только объём воздуха, \(V=V_0-\pi R^2h\). В результате \[P=\dfrac{P_a(R^2-r^2)H}{(R^2-r^2)H-R^2h}.\] Ответ: \[m=\dfrac{\pi R^4hP_a}{g\left((R^2-r^2)H-R^2h\right)}+\dfrac{\pi r^2R^2h\rho}{R^2-r^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.