Всесибирская, 2023/24, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Сначала найдите наибольшее время, в течение которого плот может плыть без остановки, пока беспилотник летит от плота на \(L\). Затем найдите путь плота за это время и сравните его с полным временем цикла, включая привал.

Ответ

\(\dfrac{10}{7}\approx 1{,}4\) км/ч.

Решение

Сначала заметим, что максимальное непрерывное время движения плота на воде равно \(T_1-\dfrac{L}{V}=500\) с. Так будет, если беспилотник удаляется от плота на \(L\) с максимальной скоростью; как он движется после этого, не важно.

За это время плот спустится вдоль реки на \(S=U\left(T_1-\dfrac{L}{V}\right)\). Согласно условию задачи, следующий отрезок такой длины плот преодолеет после привала продолжительностью \(T_2\). Таким образом, средняя скорость движения вдоль реки у туристов с плотом составит $$V_{ср}=\dfrac{S}{T_1+T_2}=\dfrac{U\left(T_1-\dfrac{L}{V}\right)}{T_1+T_2}=\dfrac{10}{7} км/ч.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сначала запишите равновесие поршня, пока пружины не деформированы и жидкость только начинает подниматься. Затем рассмотрите полностью погружённый поршень: сила Архимеда, пружины и объём жидкости, который нужно долить, чтобы поршень поднялся.

Ответ

\(V=\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{7\rho g a^5}{k}\).

Решение

Обозначим массу поршня \(M\), деформацию пружин в конечном состоянии \(X\), площадь сечения вертикального канала \(s\) (она считается очень малой).

Условие равновесия поршня, когда пружины не деформированы: $$Mg-(4a^2-s)\rho ga+(a^2-s)\rho g\dfrac{a}{2}=0.$$ Здесь учтено, что разница давлений в жидкости определяется разностью глубин. При заливании жидкости поршень сдвигается вверх. Пренебрегая вкладом ненулевого сечения каналов, т.е. считая \(a^2\gg s\), получаем $$Mg=\dfrac{7}{2}\rho ga^3.$$ Из этого уравнения также следует, что плотность материала поршня равна \(\rho/2\).

Когда поршень погружается полностью, равнодействующая сил давления жидкости на него становится равной $$(4a^2-s)\rho g\cdot 2a-(a^2-s)\rho ga\cdot\dfrac{3}{2}+(a^2-s)\rho g\dfrac{a}{2}=(7a^3-sa)\rho g.$$ Это равенство можно получить и формально, применяя закон Архимеда к погружённому телу с полостью: силы давления на вертикальные грани поршня были бы всё равно горизонтальны, если бы поршень был окружён жидкостью.

Новое условие равновесия поршня: $$Mg-(7a^3-sa)\rho g+2kX=0.$$ При условии \(a^2\gg s\) получаем $$X=\dfrac{-Mg+7\rho ga^3}{2k}=\dfrac{7\rho ga^3}{4k}.$$ Доливаемая жидкость заполняет оставшуюся половину полости (\(\dfrac{a^3}{2}\)) и освободившийся из-за смещения поршня объём под поршнем (\(4Xa^2\)). Искомый объём жидкости равен $$V=\dfrac{a^3}{2}+4Xa^2=\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{7\rho ga^5}{k}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Обозначьте числа белок, одновременно бегущих вверх и вниз, и число шишек, летящих в данный момент. Все процессы периодичны, поэтому частоты подъёма белок, спуска и бросания шишек одинаковы. Выразите их через эти числа.

Ответ

\(T=\dfrac{(T_1+T_2)M}{N}-T_1=\dfrac{T_1(M-N)+T_2M}{N}\).

Решение

Обозначим \(X>0\) — число белок, одновременно бегущих вверх по сосне, поднимая шишки; \(Y>0\) — число белок, одновременно бегущих вниз по сосне; \(Z>0\) — число шишек, одновременно летящих между вершиной сосны и землёй. Тогда \(N=X+Y\) и \(M=X+Z\), так как каждая из поднимающихся белок несёт одну шишку.

Каждая белка забегает на вершину через \(T_1/X\) после предыдущей, добегает до земли через \(T_2/Y\), а шишки долетают до земли через время \(T/Z\). Все повторяется циклически, поэтому частота бросания шишек (число брошенных шишек в единицу времени) равна частоте подхватывания падающих шишек, частоте подъёма белок на вершину и т.д.: $$\dfrac{T_1}{X}=\dfrac{T_2}{Y}=\dfrac{T}{Z}.$$ Из свойств дробей следует $$\dfrac{T_1}{X}=\dfrac{T_2}{Y}=\dfrac{T_1+T_2}{X+Y}=\dfrac{T_1+T}{X+Z}.$$ Преобразуя, получаем $$T_1X+T_1Z+T_2X+T_2Z=T_1X+T_1Y+TX+TY,$$ $$T_2(X+Z)+T_1(Z-Y)=T(X+Y).$$ Имея в виду, что \(Y-Z=N-M\), получаем $$T=\dfrac{T_1(M-N)+T_2M}{N}=\dfrac{(T_1+T_2)M}{N}-T_1.$$ Из ответа видно, что не при всяком наборе \(N\), \(M\), \(T_1\) и \(T_2\) описанная ситуация реализуема.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сначала найдите, при какой внешней силе тронется правая бусина: её сдвигает только центральная пружина, а против движения действует трение. Дальше составьте равновесие бусин в момент, когда движутся обе.

Ответ

\(\dfrac{F_0}{5}\), направлена вправо.

Решение

Сначала определим, до какой величины должна возрасти внешняя сила, чтобы правая бусина сдвинулась с места. Согласно условию, для этого со стороны центральной пружины к правой бусине должна быть приложена сила \(F_0\). Здесь учтено, что правая пружина исходно не деформирована и ни на бусину, ни на стенку не действует.

Значит, левая бусина должна быть смещена на \(X=\dfrac{F_0}{2k}\). Чтобы деформации левой и центральной пружин были этому равны, к левой бусине должна быть приложена сила $$F_1=\dfrac{F_0}{2}+F_0+F_0=\dfrac{5F_0}{2}.$$ Здесь учтено, что кроме сил упругости передвигаемой пружине приложена сила трения, направленная против движения, т.е. влево, и туда же, куда и обе силы упругости, действующие со стороны пружин.

Так как \(F_1<3F_0\), то при дальнейшем увеличении внешней силы будут двигаться обе бусины. Пусть правая бусина сместилась на \(Z\), а левая — на \(Y\) от начальных положений. Условие равновесия правой бусины: $$F_0=2k(Y-Z)-kZ=2kY-3kZ.$$ Здесь \(F_0\) — величина силы трения, приложенной к правой бусине, а в правой части записаны силы упругости, приложенные к ней со стороны соприкасающихся пружин.

Для левой бусины: $$3F_0=F_0+2k(Y-Z)+kY.$$ Здесь левая часть — внешняя сила, а в правой части суммируются сила трения и силы упругости, так как все они направлены в одну сторону.

Решая эту систему, получаем \(Y=\dfrac{4F_0}{5k}\), \(Z=\dfrac{F_0}{5k}\). Искомая сила, действующая на правую стенку, равна \(kZ=\dfrac{F_0}{5}\) и направлена вправо.

Для справки: на левую стенку действует сила, также направленная вправо и равная \(kY=\dfrac{4F_0}{5}\). Сумма внешних сил, приложенных к системе из трёх пружин и двух бусин, равна нулю: внешняя сила \(3F_0\) (вправо) уравновешивается двумя силами трения \(F_0\) (влево) и силами стенок \(\dfrac{4F_0}{5}\) и \(\dfrac{F_0}{5}\) (тоже влево).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.