Всесибирская, 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Пусть \(v_0\) — скорость колонны, \(x\) — её длина. Выразите \(x\) через \(v_0t\) и через путь автомобиля относительно колонны; из двух уравнений найдите \(v_0\), затем ускорение и скорость в конце разгона.

Ответ

\(v = 20\) м/с.

Решение

Обозначим длину колонны \(x\), время, за которое автомобиль проехал колонну, — \(t_1\), ускорение автомобиля — \(a\), скорость колонны — \(v_0\). Тогда $$S = v_0t_1 + \frac{at_1^2}{2},   S = x + v_0t_1,$$ откуда \(x = \dfrac{at_1^2}{2}\). Длина колонны также равна \(x = v_0t\). Из уравнений \(S = x + v_0t_1\) и \(x = v_0t\) получаем $$v_0 = \frac{S}{t + t_1} = 10 м/с.$$ Из \(x = v_0t = \dfrac{at_1^2}{2}\) находим ускорение $$a = \frac{2St}{t_1^2(t + t_1)} = 0{,}5 м/с^2.$$ Скорость автомобиля в начале колонны $$v = v_0 + at_1 = \frac{S(t_1 + 2t)}{t_1(t + t_1)} = 20 м/с.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сначала найдите, сколько времени автомобиль ехал с каждой скоростью, и путь \(S\) через \(T\) и \(v\). Мотоцикл догоняет машину только тогда, когда машина едет со скоростью \(v\), а мотоцикл — уже со скоростью \(2v\). Осталось записать условие встречи в этот момент.

Ответ

\(t = \dfrac{7T}{9} = 140\) с.

Решение

Обозначим \(S\) — путь от старта до финиша, \(v = 60\) км/ч, \(T = 3\) мин — время, за которое автомобиль проехал путь. Автомобиль ехал со скоростью \(2v\) в течение времени \(T_{a1}\) и со скоростью \(v\) — в течение \(T_{a2}\). Поскольку на каждом из участков он прошёл равный путь, \(2vT_{a1} = vT_{a2} = S/2\), и \(T = T_{a1} + T_{a2}\). Отсюда \(T_{a1} = T/3\), \(T_{a2} = 2T/3\) и \(S = 4vT/3\).

Мотоцикл, двигаясь со скоростью \(v\), не может догнать автомобиль, поскольку средняя скорость последнего всегда больше \(v\). Он не может догнать его и тогда, когда автомобиль едет со скоростью \(2v\), так как средняя скорость мотоцикла меньше \(2v\). Значит, мотоцикл догоняет автомобиль, двигаясь со скоростью \(2v\), когда тот едет со скоростью \(v\).

Мотоцикл увеличил скорость через время \(\tau\) после старта. Полный путь мотоцикла \(S = v\tau + 2v\tau\), откуда \(\tau = \dfrac{S}{3v} = \dfrac{4T}{9}\), а к этому моменту он прошёл \(S/3\).

Условие встречи (после \(T/3\) автомобиль едет со скоростью \(v\), после \(4T/9\) мотоцикл — со скоростью \(2v\)): $$\frac{S}{2} + v\left(t - \frac{T}{3}\right) = \frac{S}{3} + 2v\left(t - \frac{4T}{9}\right).$$ Подставляя \(S = 4vT/3\), получаем \(t = \dfrac{7T}{9} = 140\) с, что меньше \(T\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Подъёмная сила при повороте вокруг вектора скорости не меняется по величине. До переворота она уравновешивает силу тяжести, после — направлена вниз вместе с ней. Результирующая сила перпендикулярна скорости и задаёт центростремительное ускорение.

Ответ

\(R = \dfrac{v^2}{2g}\).

Решение

На рисунке изображены начальное состояние самолёта (слева) и конечное (справа), а также силы, действующие на самолёт по вертикали: \(F_\text{п}\) — подъёмная сила, возникающая из-за взаимодействия крыльев с воздухом. Поскольку переворот происходит вокруг вектора скорости, подъёмные силы начального и конечного состояний равны по величине.

В начальном состоянии самолёт движется горизонтально, поэтому силы по вертикали скомпенсированы: \(F_\text{п} = mg\). В конечном состоянии подъёмная сила и сила тяжести сонаправлены и вызывают ускорение вниз: $$ma = F_п + mg = 2mg,   a = 2g.$$ Это ускорение перпендикулярно скорости и потому является центростремительным: \(a = \dfrac{v^2}{R}\). Отсюда $$R = \frac{v^2}{2g}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

На стержень действуют две силы, дающие моменты относительно шарнира: сила тяжести и сила Архимеда. Плечо каждой силы определяется центром приложения: центр масс стержня — в его середине, центр погружённой части — в центре её объёма.

Ответ

\(\rho = \dfrac{3}{4}\rho_0\).

Решение

На стержень действуют две силы, создающие момент относительно оси шарнира: сила тяжести и сила Архимеда. Сила тяжести \(mg = \rho sl g\), где \(\rho\) — плотность стержня, \(l\) — его длина, \(s\) — площадь сечения. Если стержень наклонён к вертикали на угол \(\alpha\), плечо этой силы \(h_1 = \dfrac{l\sin\alpha}{2}\), поскольку она приложена к центру масс стержня.

Сила Архимеда \(F_\text{A} = \rho_0 s\dfrac{l}{2}g\) приложена к центру объёма вытесненной жидкости, её плечо \(h_2 = \dfrac{3l\sin\alpha}{4}\).

Условие равновесия моментов сил \(mgh_1 = F_\text{A}h_2\) даёт $$\rho sl^2 g \frac{\sin\alpha}{2} = \rho_0 s\frac{l}{2}g\cdot\frac{3l\sin\alpha}{4},$$ откуда $$\rho = \frac{3}{4}\rho_0.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выразите объёмы холодной и горячей воды через полный объём воды \(V\) и искомую задержку \(\tau\). Уравнение теплового баланса даёт температуру смеси в зависимости от \(V\); запишите его для половины бассейна и для полного.

Ответ

\(\tau = \dfrac{3(T_2 - T_1)V_0}{2\,\Delta T\,q}\).

Решение

Пусть \(t\) — время наполнения, \(\tau\) — искомое время задержки открытия крана горячей воды. Полный поступивший объём $$V = q(t - \tau) + 2qt = 3qt - q\tau,$$ объём холодной воды \(V_\text{c} = 2qt = \dfrac{2(V + q\tau)}{3}\), объём горячей воды \(V_\text{г} = q(t - \tau) = \dfrac{V - 2q\tau}{3}\).

Уравнение теплового баланса: \(V_\text{c}c(T - T_\text{c}) + V_\text{г}c(T - T_\text{г}) = 0\), откуда температура воды $$T = \frac{2T_c + T_г}{3} - \Delta T \frac{2q\tau}{3V}.$$ Для половины бассейна (\(V = V_0/2\)) и для полного (\(V = V_0\)): $$T_1 = \frac{2T_c + T_г}{3} - \Delta T \frac{4q\tau}{3V_0},   T_2 = \frac{2T_c + T_г}{3} - \Delta T \frac{2q\tau}{3V_0}.$$ Вычитая, получаем \(T_2 - T_1 = \dfrac{2\Delta T\,q\tau}{3V_0}\), откуда $$\tau = \frac{3(T_2 - T_1)V_0}{2 \Delta T q}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.