Всесибирская, 2024/25, отборочный этап, 7 класс

Перейдите в систему отсчёта реки: в ней пассажир неподвижен. Сравните путь катера до пассажира с путём лайнера за время задержки катера. Затем запишите встречу катера с лайнером после спасения.

\(v_л=18\) км/ч.

Пусть \(v=36\) км/ч — скорость катера относительно воды, \(t_1=10\) мин — время снаряжения катера, \(t_2=6{,}5\) мин — время до спасения, \(t_3=19{,}5\) мин — время возвращения, \(v_л\) — скорость лайнера относительно воды.

В системе отсчёта реки пассажир неподвижен, а за время \(t_1\) лайнер отходит от него на \(v_л t_1\). Катер проходит это расстояние за время \(t_2\): \(vt_2=v_л t_1\).

Условие встречи катера с лайнером после спасения: за время \(t_3\) катер проходит путь \(vt_3\), а лайнер за время \(t_1+t_2+t_3\) проходит путь \(v_л(t_1+t_2+t_3)\), откуда \(vt_3=v_л(t_1+t_2+t_3)\).

Из первого соотношения \(v_л t_1=vt_2\) подставим \(v_л t_1\) во второе: \(vt_3=vt_2+v_л(t_2+t_3)\). Следовательно, \[v_л=v\,\frac{t_3-t_2}{t_2+t_3}=36\cdot\frac{13}{26}=18~\text{км/ч}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Обозначьте \(b=xa\) и \(c=(1-x)a\): через них выражаются отрезки пути мыши и кота между норками. Для каждой возможной встречи приравняйте времена движения мыши и кота, затем проверьте, что найденное соотношение скоростей не даёт встречи у других норок.

Норки — на расстоянии \(xa\) от углов комнаты при любом \(0<x<1\); соотношение скоростей мыши \(v\) и кота \(u\): \(\dfrac{v}{u}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}\).

Пусть \(b=xa\), \(c=(1-x)a\). Возможны четыре варианта встречи кота и мыши у разных норок. Для каждого приравняем времена движения мыши \(v\) и кота \(u\): \[\frac{b}{v}=\frac{3\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{2b+c}{v}=\frac{2\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{3b+2c}{v}=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \frac{4b+3c}{v}=\frac{4\sqrt{b^2+c^2}}{u}.\] Встреча у стартовой норки даёт последнее равенство: \[\frac{v}{u}=\frac{4b+3c}{4\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\] Теперь проверим, что при этом отношении скоростей встреч у других норок нет. Приравнивание отношения скоростей к первым трём вариантам даёт \(x=9\), \(x=1\) и \(x=-\frac{5}{3}\). Эти значения не удовлетворяют условию \(0<x<1\), поэтому других встреч не происходит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Объём губки найдите по приросту уровня воды сразу после погружения. Объём впитанной воды найдите по падению уровня, когда губка уже впитала воду и полностью погружена.

\(\rho_{ср}=\dfrac{m+\rho_в(h_2-h_3)S}{(h_2-h_1)S}\), где \(S\) — площадь сечения стакана, \(\rho_в\) — плотность воды.

Пусть \(S\) — площадь сечения стакана. Сразу после погружения губки уровень поднялся на \(h_2-h_1\), значит, объём губки \(V_г=(h_2-h_1)S\).

Когда губка впитала воду, уровень упал до \(h_3\), то есть из стакана ушёл объём \(V_в=(h_2-h_3)S\) — это объём впитанной губкой воды. Масса влажной губки равна \(m+\rho_в V_в\), а её объём равен \(V_г\). Поэтому \[\rho_{ср}=\frac{m+\rho_в V_в}{V_г}=\frac{m+\rho_в(h_2-h_3)S}{(h_2-h_1)S}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Пружины \(k_1\) и \(k_2\) работают параллельно, а их пара — последовательно с \(k_3\). Запишите вес грузика через удлинение системы в двух случаях: до обрыва и после него. Вес в обоих случаях один и тот же.

\(k_1=5\) Н/м.

Пусть \(mg\) — вес грузика, \(h_1=12\) см и \(h_2=15\) см — удлинения системы до и после обрыва \(k_1\). До обрыва пружины \(k_1\) и \(k_2\) параллельны, их эквивалентная жёсткость последовательна с \(k_3\): \[mg=h_1\,\frac{k_3(k_1+k_2)}{k_1+k_2+k_3}.\] После обрыва остаются \(k_2\) и \(k_3\) последовательно: \[mg=h_2\,\frac{k_2k_3}{k_2+k_3}.\] Приравняем правые части и выразим \(k_1\): \[k_1=\frac{h_1k_3k_2-h_2\dfrac{k_2k_3}{k_2+k_3}(k_2+k_3)}{h_2\dfrac{k_2k_3}{k_2+k_3}-h_1k_3}.\] Подставляя \(k_2=10\) Н/м, \(k_3=15\) Н/м, получаем \(\dfrac{k_2k_3}{k_2+k_3}=6\) Н/м и \[k_1=\frac{0{,}12\cdot150-0{,}15\cdot6\cdot25}{0{,}15\cdot6-0{,}12\cdot15}=\frac{-4{,}5}{-0{,}9}=5~\text{Н/м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.