Всесибирская, 2024/25, отборочный этап, 8 класс

Перейдите в систему отсчёта реки: в ней путь каждого тела за время движения определяется только его скоростью относительно воды. Запишите равенство пройденных лайнером и катером расстояний и условие встречи катера с лайнером.

Скорость лайнера относительно реки \(v_{\text{л}}=\dfrac{v\,(t_2-t_1)}{t_1+t_2}\). Скорость течения по условию не определяется.

Обозначим \(v_{\text{л}}\) — скорость лайнера в стоячей воде. Перейдём в систему отсчёта реки. Тогда равенство пройденных расстояний за первый промежуток даёт \[vt_1=v_{\text{л}}t_0,\qquad v_{\text{л}}=\dfrac{vt_1}{t_0}.\] Условие встречи лайнера и катера со спасённым туристом: \[vt_2=v_{\text{л}}(t_0+t_1+t_2).\] Подставим \(t_0=\dfrac{vt_1}{v_{\text{л}}}\) во второе равенство: \(vt_2=vt_1+v_{\text{л}}(t_1+t_2)\), откуда \[v_{\text{л}}=\dfrac{v\,(t_2-t_1)}{t_1+t_2}.\] Скорость течения из этих уравнений не определяется.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Мышь и кот встречаются в норках, где время движения мыши по своему пути равно времени движения кота по его пути. Сравните эти времена для всех четырёх норок и проверьте, что для найденного отношения скоростей более ранних встреч нет.

Норки расположены на расстоянии \(xa\) от углов комнаты; соотношение скоростей мыши \(v\) и кота \(u\): \[\dfrac{v}{u}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\]

Пусть \(b=xa\), \(c=(1-x)a\) — катеты отрезков между норками, \(v\) — скорость мыши, \(u\) — скорость кота. Сторона внутреннего квадрата, по которому бежит мышь, равна \(\sqrt{b^2+c^2}\). Для каждой из четырёх норок приравняем время движения мыши и время движения кота: \[\dfrac{b}{v}=\dfrac{3\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{2b+c}{v}=\dfrac{2\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{3b+2c}{v}=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{4b+3c}{v}=\dfrac{4\sqrt{b^2+c^2}}{u}.\] Из последнего равенства находим отношение скоростей, соответствующее встрече у четвёртой норки: \[\dfrac{v}{u}=\dfrac{4b+3c}{4\sqrt{b^2+c^2}}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\] Чтобы убедиться, что при этом отношении не происходит встреч у предыдущих норок, приравняем соответствующие условия к найденному отношению: получаются значения \(x=9\), \(x=1\) и \(x=-\dfrac{5}{3}\) (для второй, третьей и первой норок соответственно), и ни одно из них не удовлетворяет условию \(0<x<1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сначала найдите деформации пружин в наклонном положении из условия равновесия моментов относительно центра балки и разницы их длин. Затем запишите условие горизонтального положения с добавленной массой.

\(m=\dfrac{k_1 l}{2g}\).

Пусть пружина с жёсткостью \(k_1\) растянута на \(x_1\), пружина с жёсткостью \(k_2\) — на \(x_2\). Балка наклонена, поэтому её концы расположены по вертикали на разной высоте, и разность удлинений \(x_2-x_1=\dfrac{l}{2}\) (против угла \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы). Условие равновесия моментов относительно середины балки даёт \(k_1x_1=k_2x_2\), а сила тяжести балки \(Mg=k_1x_1+k_2x_2\). Отсюда \[x_2=\dfrac{k_1 l}{2(k_1-k_2)},\qquad Mg=\dfrac{k_1k_2 l}{k_1-k_2}.\] Когда к левому краю прикреплена масса \(m\) и балка горизонтальна, обе пружины растянуты одинаково на \(x\): \((k_1+k_2)x=mg+Mg\). Моменты относительно середины: \((k_1x-mg)\dfrac{l}{2}=k_2x\dfrac{l}{2}\), откуда \(x=\dfrac{mg}{k_1-k_2}\). Подставляя, получаем \(\dfrac{2k_2}{k_1-k_2}\,mg=Mg\), то есть \(m=\dfrac{M(k_1-k_2)}{2k_2}\). Используя \(Mg=\dfrac{k_1k_2l}{k_1-k_2}\), находим \[m=\dfrac{k_1 l}{2g}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите условия равновесия груза и блоков до перерезания нити и после него. Натяжения нитей связаны через блоки, а деформация пружины пропорциональна силе упругости. Сравните два состояния.

\(\Delta x=\dfrac{(M+m)g}{6k}\) — деформация пружины увеличилась на эту величину.

До перерезания нити: \[Mg=T_1+T_0,\qquad T_1=2T_0-mg,\qquad kx=2T_0+mg,\] откуда \(kx=\dfrac{mg+Mg}{3}+mg\). После перерезания нити: \[Mg=T_1',\qquad T_1'=2T_0'-mg,\qquad kx'=T_0'+mg,\] откуда \(kx'=\dfrac{mg+Mg}{2}+mg\). Вычитая, получаем \[k(x'-x)=\dfrac{mg+Mg}{6},\qquad x'-x=\dfrac{(M+m)g}{6k}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Для каждого образца запишите средние плотности через плотности компонентов и условие плавания: сила Архимеда уравновешивает вес погружённой части. Доля плавающей над водой части равна доле объёма, не погружённого в воду.

\(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2\rho(\rho_1+\rho_2)-4\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)\bigl(2\rho-(\rho_1+\rho_2)\bigr)}\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — доли плавающих частей первого и второго образца, \(\rho\) — плотность воды, \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности компонентов А и Б.

Обозначим \(\alpha\) и \(\beta\) — доли, которые составляют плавающие над поверхностью части в первом и во втором случае соответственно.

Первый образец: массы компонентов равны, \(\rho_1V_1=\rho_2V_2\), общая масса \(2m\), где \(m=\rho_1V_1\). Условие плавания: \[(1-\alpha)(V_1+V_2)\rho g=2mg,\] откуда, с учётом \(V_1+V_2=V_1\dfrac{\rho_1+\rho_2}{\rho_2}\), получаем \[\alpha=\dfrac{\rho(\rho_1+\rho_2)-2\rho_1\rho_2}{\rho(\rho_1+\rho_2)}.\] Второй образец: объёмы компонентов равны, \(V\) каждого, масса \(V(\rho_1+\rho_2)\). Условие плавания: \[(1-\beta)\,2V\rho g=V(\rho_1+\rho_2)g,\qquad \beta=\dfrac{2\rho-(\rho_1+\rho_2)}{2\rho}.\] Отношение: \[\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2\rho(\rho_1+\rho_2)-4\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)\bigl(2\rho-(\rho_1+\rho_2)\bigr)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.