зад 1 Два катера на карте
Два катера вышли из пунктов \(A\) и \(B\) на берегу моря. Пункты отправления катеров и скорости их движения обозначены на карте. Определите графическими построениями положения катеров на этой карте в момент их наибольшего сближения. Предполагается возможность построения параллельных, перпендикулярных прямых и откладывания равных отрезков. Построения должны быть обоснованы.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта второго катера: он тогда неподвижен, и наибольшее сближение достигается, когда относительная скорость первого катера перпендикулярна линии от \(B\) до её прямой.
▶ОтветСкрыть
Положения катеров в момент наибольшего сближения — точки \(X_1\) (первый катер) и \(X_2\) (второй катер), построенные по решению ниже.
▶РешениеСкрыть
Первый катер движется вдоль прямой \(AA_2\), второй — по прямой \(BB_1\). В системе отсчёта второго катера первый движется по линии \(AA_1\), а второй покоится. Точка \(X\) наибольшего сближения первого катера такова, что \(BX\perp AA_1\). Положение этого катера относительно берега отличается от точки \(X\) на величину перемещения второго катера и находится в точке \(X_1\) — пересечении \(AA_2\) с прямой \(XX_1\), параллельной \(BB_1\). Для нахождения точки \(X_2\) положения второго катера откладываем на прямой \(BB_1\) отрезок \(BX_2=XA_2\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Максимальная мощность во внешней цепи
В электрическую цепь включены источник с ЭДС \(\varepsilon=12\) В и внутренним сопротивлением \(r=2\) Ом, а также два резистора \(R_1\) неизвестного номинала и \(R_2=4\) Ом, соединённые параллельно. Определите сопротивление \(R_1\), при котором суммарная мощность, выделяющаяся во внешней цепи, будет максимальной.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите мощность во внешней цепи через ток: \(P=(\varepsilon-Ir)I\). Это парабола по току, и её вершина даёт условие на сопротивление нагрузки.
▶ОтветСкрыть
\(R_1=4\) Ом.
▶РешениеСкрыть
Мощность во внешней цепи \(P=UI=(\varepsilon-Ir)I=\varepsilon I-I^2r\) — парабола по току с максимумом при \(I=\dfrac{\varepsilon}{2r}\). При этом токе сопротивление внешней цепи \(R_{\text{экв}}=\dfrac{\varepsilon}{I}-r=r\), то есть максимум мощности на нагрузке достигается при \(R_{\text{экв}}=r=2\) Ом. Для параллельного соединения \(\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}=r\), откуда \(R_1=\dfrac{rR_2}{R_2-r}=\dfrac{2\cdot4}{4-2}=4\) Ом.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Нагрев воды до испарения
В резервуаре находится \(5\) л воды при начальной температуре \(20\,^\circ\)C. На дне резервуара расположены три нагревательных элемента, подключённых параллельно. Параметры нагревательных элементов:
Элемент 1: площадь поперечного сечения \(1\) см\(^2\), длина \(0{,}5\) м, удельное сопротивление \(1{,}5\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м.
Элемент 2: площадь поперечного сечения \(2\) см\(^2\), длина \(0{,}4\) м, удельное сопротивление \(1{,}5\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м.
Элемент 3: площадь поперечного сечения \(1{,}5\) см\(^2\), длина \(0{,}6\) м, удельное сопротивление \(1{,}5\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м.
С каким напряжением необходимо подключить нагревательные элементы, чтобы вся вода испарилась за 30 минут? Удельная теплоёмкость воды — \(4{,}18\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Удельная теплота парообразования — \(2260\) кДж/кг. Плотность воды — \(1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите тепло на нагрев до \(100\,^\circ\)C и на испарение, из него мощность за 30 минут. Сопротивления элементов и их параллельное соединение дают \(U=\sqrt{PR}\).
▶ОтветСкрыть
\(U\approx3{,}37\) В.
▶РешениеСкрыть
Масса воды \(m=\rho V=1000\cdot5\cdot10^{-3}=5\) кг. Нагрев до \(100\,^\circ\)C: \(Q_1=cm(100-20)=1672\) кДж. Испарение: \(Q_2=Lm=11300\) кДж. Полное тепло \(Q=Q_1+Q_2=12\,972\,000\) Дж, мощность за \(t=1800\) с: \(P=\dfrac{Q}{t}\approx7{,}2\) кВт.
Сопротивления элементов \(R_i=\dfrac{\rho_0 L_i}{S_i}\): \(R_1=0{,}0075\) Ом, \(R_2=0{,}003\) Ом, \(R_3=0{,}006\) Ом. При параллельном соединении \(\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}\), \(R\approx0{,}0016\) Ом. Тогда \(P=\dfrac{U^2}{R}\), \(U=\sqrt{PR}\approx3{,}37\) В.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Тарзанка
Тарзанка длиной \(R\) закреплена над водоёмом. В момент прыжка верёвка тарзанки была вытянута параллельно горизонту. Турист массы \(m\), проигнорировав технику безопасности, спрыгнул вниз и, оттолкнувшись, сообщил себе дополнительную скорость. В момент, когда тарзанка образовывала угол \(\alpha\) относительно начального положения, верёвка оборвалась, и через время \(t\) турист плюхнулся в воду ровно под точкой подвеса. Определите максимальное натяжение верёвки тарзанки.
▶ПодсказкаСкрыть
После обрыва турист летит как брошенное тело: его горизонтальное смещение за время \(t\) равно горизонтальному положению точки обрыва. Скорость в момент обрыва затем подставьте во второй закон Ньютона вдоль верёвки.
▶ОтветСкрыть
\(T=\dfrac{mR\cot^2\alpha}{t^2}+mg\sin\alpha\).
▶РешениеСкрыть
После обрыва скорость \(v\) направлена перпендикулярно верёвке. Горизонтальное смещение точки обрыва \(R\cos\alpha\) должно быть компенсировано горизонтальным движением туриста за время \(t\): \(v\sin\alpha\cdot t=R\cos\alpha\), откуда \(v=\dfrac{R}{t}\cot\alpha\). Вдоль верёвки в момент обрыва (второй закон Ньютона, центростремительное ускорение \(\dfrac{v^2}{R}\)): \(\dfrac{mv^2}{R}=T-mg\sin\alpha\), отсюда \(T=\dfrac{mR\cot^2\alpha}{t^2}+mg\sin\alpha\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Два стакана с поршнями
Имеется два одинаковых цилиндрических стакана. В левый стакан налито в два раза больше воды, чем в правый. Высота столба воды в правом стакане равна \(h\). Стаканы накрыты одинаковыми поршнями, касающимися поверхности воды на одном горизонтальном уровне. Поршни прикреплены к горизонтальному рычагу, как показано на рисунке. Система покоится. Трение между поршнями и поверхностью стаканов отсутствует. Масса одного стакана \(m\). Площадь дна одного стакана \(S\). Плотность воды \(\rho\). Атмосферное давление \(P_A\). Ускорение свободного падения \(g\). Найдите давление воды в левом стакане на уровне дна правого стакана.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите равновесие одного стакана: его вес, давление воды на дно и атмосферное давление снизу. Затем перейдите к уровню дна правого стакана по гидростатике.
▶ОтветСкрыть
\(p=P_A-\dfrac{mg}{S}-\rho gh\).
▶РешениеСкрыть
Левый стакан покоится, поэтому сумма действующих на него сил равна нулю. Пусть \(P_1\) — давление воды на дно левого стакана. Второй закон Ньютона для левого стакана: \(mg+P_1S=P_AS\), откуда \(P_1=P_A-\dfrac{mg}{S}\). Правый стакан такой же, поэтому давление на его дно такое же. Искомое давление \(p\) на уровне дна правого стакана связано с \(P_1\) гидростатикой: \(P_1=p+\rho gh\), откуда \(p=P_1-\rho gh=P_A-\dfrac{mg}{S}-\rho gh\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2024/25, отборочный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.