Всесибирская, 2024/25, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Работа силы тяги идёт на изменение потенциальной энергии цилиндра и воды. Подумайте, куда по высоте переместился объём воды, который занимал цилиндр.

Ответ

\(A=3mgh+\dfrac{\rho_0 g S h^2}{2}\).

Решение

Система «поршень–цилиндр» рассматривается как единое целое, выполняется закон сохранения энергии. Работа силы тяги \(F\) расходуется на изменение потенциальной энергии системы (цилиндра и воды): \(A_F=\Delta E_m+\Delta E_{\text{воды}}\).

Изменение потенциальной энергии цилиндра происходит за счёт изменения положения центра масс: он перемещается с высоты \(h/2\) до высоты \(3{,}5h\), поэтому \(\Delta E_m=3mgh\).

Изменение объёма, занятого цилиндром, составляет \(\Delta V=Sh\), значит \(\Delta m_{\text{воды}}=Sh\rho_0\). Потенциальная энергия воды этой массы: \(E_{\text{воды}}(\text{к})=4h\,\Delta m_{\text{воды}}g\), \(E_{\text{воды}}(\text{н})=\dfrac{7}{2}h\,\Delta m_{\text{воды}}g\), откуда \(\Delta E_{\text{воды}}=\dfrac{h}{2}Sh\rho_0 g=\rho_0 g S\dfrac{h^2}{2}\).

Итоговый ответ: \(A_F=3mgh+\rho_0 g S\dfrac{h^2}{2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В момент отрыва сила реакции трубы равна нулю, а центростремительное ускорение шарика создаёт только сила тяжести. Затем запишите закон сохранения энергии для шарика и груза.

Ответ

\(M=m\,\dfrac{3-2\cos\alpha}{2\alpha-1}\) (при \(\alpha>\tfrac12\)).

Решение

Изобразим систему в начальный момент и в момент отрыва шарика от трубы.

Из условия следует, что к моменту отрыва шарик успеет проскользить дугу, которая опирается на угол \(\alpha\). Нить нерастяжима, поэтому путь шарика вдоль трубы равен расстоянию, на которое опустится груз к тому же моменту времени: \[L=\alpha R,\qquad L=H_2-H_1.\] Из геометрии следует, что шарик к моменту отрыва сместится вверх по вертикали на расстояние \(h=R(1-\cos\alpha)\).

В момент отрыва на шарик действует сила притяжения Земли и сила натяжения нити. Центростремительное ускорение шарика направлено к центру трубы и определяется только силой тяжести. Сила натяжения нити направлена по касательной к трубе и никак не влияет на центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для шарика в момент отрыва: \[\dfrac{mv^2}{R}=mg.\] Отсюда квадрат скорости шарика в момент отрыва: \(v^2=gR\).

Выберем уровень нуля потенциальной энергии через вершину трубы. Запишем закон сохранения энергии для шарика и груза: \[-mgh-MgH_1=-MgH_2+\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}.\] Преобразуем: \(MgL=\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}+mgh\).

Сила реакции опоры не совершает работы, так как она перпендикулярна скорости, а сила натяжения является внутренней силой системы, поэтому работа силы натяжения в записанном законе сохранения энергии также отсутствует. Равенство скоростей шарика и груза следует из нерастяжимости нити.

Подставим найденный квадрат скорости: \[MgL=\dfrac{MgR}{2}+\dfrac{mgR}{2}+mgh.\] Тогда \(2ML=MR+mR+2mh\), \(M(2L-R)=m(R+2h)\), \[M=m\,\dfrac{R+2h}{2L-R}=m\,\dfrac{R+2R(1-\cos\alpha)}{2\alpha R-R}=m\,\dfrac{3-2\cos\alpha}{2\alpha-1}.\]

Анализ ответа. Числитель дроби \(3-2\cos\alpha\) положителен для любого \(\alpha\). Знаменатель \(2\alpha-1\) должен быть положительным, так как масса положительна: \(\alpha>\tfrac12\). Если \(\alpha<\tfrac12\), то условие задачи не выполнится: шарик оторвётся от трубы не в верхней, а в некоторой другой точке. Равенство \(\alpha=\tfrac12\) приводит к бесконечной массе груза, что не является физически осмысленным решением.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Стержень при сдвиге поворачивается вокруг некоторой точки. Силу выгодно приложить к краю перпендикулярно стержню; запишите равенство нулю суммы сил и суммы моментов.

Ответ

\(F_{\min}=(\sqrt2-1)\,\mu Mg\approx0{,}41\,\mu Mg\).

Решение

Размерами тела пренебречь нельзя, поэтому необходимо учитывать вращение тела вокруг некоторой точки \(O\). Для минимизации силы \(F\) приложить её следует к краю стержня в направлении, перпендикулярном оси стержня.

Запишем условия равновесия: \(\sum\vec F=0\), \(\sum M=0\). Обозначим расстояние от одного края до точки \(O\) через \(X\), а от второго края до \(O\) через \(Y\), тогда \(X+Y=L\). Силы трения (приложенные к центрам масс отдельных кусков) пропорциональны доле длины стержня: \(F_{\text{тр}1}=\mu Mg\,X/L\), \(F_{\text{тр}2}=\mu Mg\,Y/L\).

Из первого условия: \(F+F_{\text{тр}2}=F_{\text{тр}1}\), то есть \(F=\mu Mg\,\dfrac{X-Y}{L}\).

Из второго: \(F X=F_{\text{тр}1}\dfrac{X}{2}+F_{\text{тр}2}\dfrac{Y}{2}\), то есть \(F X=\mu Mg\,\dfrac{X^2+Y^2}{2L}\).

Подставляя одно уравнение в другое, получаем \(2X^2-2XY=X^2+Y^2\), откуда \(2X^2=(X+Y)^2=L^2\) и \(X=\dfrac{L}{\sqrt2}\). Тогда \[F=\mu Mg\,\dfrac{X-Y}{L}=(\sqrt2-1)\,\mu Mg\approx0{,}41\,\mu Mg<\dfrac{\mu Mg}{2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В верхней точке сила сопротивления горизонтальна, поэтому ускорение определяется силой тяжести и силой сопротивления. Найдите, как горизонтальная скорость связана с пройденным расстоянием \(L\), и исследуйте зависимость от коэффициента сопротивления.

Ответ

\(a_{\max}=\sqrt{g^2+\dfrac{v_0^4\cos^4\alpha}{16L^2}}\).

Решение

В верхней точке \(m\vec a=m\vec g+\vec F\), сила сопротивления перпендикулярна силе тяжести, следовательно \(a^2=g^2+\dfrac{F^2}{m^2}\). Чем больше отношение \(F/m\), тем больше ускорение.

Рассмотрим движение от момента броска до верхней точки: \(m\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t}=m\vec g-k\vec v\). По оси \(OX\): \(v_x\Delta t=\Delta x\ \to\ m\Delta v_x=-k\Delta x\). Суммируя по малым участкам, получаем \[m\bigl(v_x(T)-v_x(0)\bigr)=-kL,\] где \(T\) — время полёта до верхней точки; \(v_x(T)=v_x(0)-\dfrac{kL}{m}\).

Исследуем силу сопротивления в верхней точке: \(F=kv_x(T)=kv_x(0)-\dfrac{k^2L}{m}\). Найдя вершину параболы (по \(k\)), запишем \(k_{\text{в}}=\dfrac{m v_x(0)}{2L}\), \(F(k_{\text{в}})=\dfrac{m v_x^2(0)}{4L}\), откуда \[a=\sqrt{g^2+\dfrac{v_0^4\cos^4\alpha}{16L^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Резисторы \(R_4\), \(R_5\), \(R_6\) соединены параллельно. Замените источник тока эквивалентным источником ЭДС и свёрните левую часть схемы.

Ответ

\(P=\dfrac13\) Вт.

Решение

Эквивалентное сопротивление участка с резисторами \(R_4\), \(R_5\), \(R_6\): \(R_4\parallel R_5\parallel R_6=1\) Ом (узлы соединены перемычками и могут быть объединены).

Воспользуемся методом эквивалентного генератора. Преобразуем источник тока \(J\): \(\varepsilon'=JR_1=12\) В.

Эквивалентное преобразование для участка с резисторами \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\): \[r_{\text{вн}}=R_1\parallel(R_2+R_3)=2{,}5\text{ Ом},\qquad \varepsilon''=\dfrac{\varepsilon' R_3}{R_1+R_2+R_3}=6\text{ В}.\] Итоговая схема после преобразования достаточно проста.

Запишем второе правило Кирхгофа и найдём ток через эквивалентное сопротивление: \(\sum\varepsilon=(r_{\text{вн}}+R_7+R_{\text{экв}})I\ \to\ I=1\) А.

Отсюда ток через серый резистор \(I_{\text{сер}}=I/3\), а значит выделяемая мощность \[P=I_{\text{сер}}^2R_5=\dfrac13\text{ Вт}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.