Всесибирская, 2024/25, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Скорость плота — это скорость течения. Лодка движется относительно воды с постоянной собственной скоростью, поэтому и вниз, и обратно она проходит одно и то же расстояние за одинаковое время. Найдите, в какой момент лодка была дальше всего от плота.

Ответ

\(6\) км.

Решение

Пусть \(V\) — собственная скорость лодки. Относительно плота лодка сначала удаляется, а затем приближается к нему с той же скоростью \(V\). Максимальное удаление достигается, когда пройдёт половина времени такого движения, то есть $$L_2=V\dfrac{T_2-T_0}{2}.$$ Ровно столько же времени уходит на обратное движение к плоту.

В момент, когда лодка доплыла до водопада, расстояние до плота было максимальным для этого дня: $$V\dfrac{T_3-T_0}{2}=\dfrac{L_2}{2}=8 км.$$ Через \(\dfrac{T_3-T_0}{2}=2\) ч лодка вернулась к плоту. За это время плот проплыл вниз по течению ещё $$\dfrac{T_3-T_0}{2(T_1-T_0)} L_1=2 км.$$ Таким образом, до водопада оставалось $$\dfrac{L_2}{2}-\dfrac{L_1}{6}=6 км.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Точки таяния льда и кипения воды делят каждую шкалу на одинаковое число градусов, но разное по величине. Найдите, сколько градусов Ранкина и Фаренгейта укладывается в один градус Цельсия.

Ответ

\(95\) °F; \(35\) °C.

Решение

Между точками таяния льда и кипения воды по шкале Ранкина \(671{,}67-491{,}67=180\) °Ra. По шкале Цельсия этот промежуток равен \(100\) °C, поэтому \(1\) °C \(=1{,}8\) °Ra.

Тогда \(554{,}67-491{,}67=63\) °Ra \(=\dfrac{63}{1{,}8}\) °C \(=35\) °C.

По шкале Фаренгейта промежуток между точками таяния льда и кипения воды равен \(212-32=180\) °F, поэтому \(1\) °C \(=1{,}8\) °F, и $$554{,}67 °Ra=35 °C=32 °F+35\cdot\dfrac{180}{100} °F=95 °F.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Оцените диапазон возможного числа листов в пачке по допуску и найдите по нему границы поверхностной плотности: массу пачки делите на суммарную площадь листов. Объёмная плотность не зависит от числа листов.

Ответ

Соответствует: по допуску поверхностная плотность лежит в пределах от \(78{,}6\) до \(81{,}8\) г/м\(^2\), что попадает в интервал \(80\pm2\) г/м\(^2\). Объёмная плотность пачки \(\rho\approx800\) кг/м\(^3\).

Решение

Число листов в пачке с допуском \(\pm\,2\%\): от \(500\cdot0{,}98=490\) до \(500\cdot1{,}02=510\).

Площадь одного листа \(S_1=0{,}297\cdot0{,}42=0{,}12474\) м\(^2\). Суммарная площадь листов: минимальная \(490\cdot0{,}12474=61{,}1226\) м\(^2\), максимальная \(510\cdot0{,}12474=63{,}6174\) м\(^2\).

Масса пачки \(m=5\) кг \(=5000\) г, поэтому поверхностная плотность лежит в пределах $$\sigma_{\max}=\dfrac{5000}{61{,}1226}\approx81{,}8 г/м^2,  \sigma_{\min}=\dfrac{5000}{63{,}6174}\approx78{,}6 г/м^2.$$ Допустимый диапазон заявленной плотности: от \(78\) до \(82\) г/м\(^2\). Весь найденный интервал попадает в него, значит, заявленная плотность соответствует реальной.

Объёмная плотность пачки: $$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{5}{0{,}12474\cdot0{,}05}\approx800 кг/м^3.$$ Число листов в пачке на объёмную плотность не влияет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выпишите условия равновесия кубов при погружении меньшего на \(x\) и большего на \(y\), исключите натяжение нити и найдите связь между \(x\) и \(y\). Затем учтите, как связаны скорости смещения кубов относительно дна.

Ответ

\(t=\dfrac{5a}{16V}\).

Решение

При увеличении уровня жидкости первым полностью погрузится меньший куб: для того же прироста выталкивающей силы большему кубу достаточно погрузиться лишь на \(a/8\).

Пусть меньший куб погружён на глубину \(x\), больший — на \(y\), плотности жидкости \(\rho_0\), меньшего куба \(\rho_1\), большего \(\rho_2\), натяжение нити \(T\). Условия равновесия: $$T+\rho_1ga^3=\rho_0ga^2x,  T+\rho_2g\cdot8a^3=\rho_0g\cdot4a^2y.$$ Исключив \(T\), получаем связь глубин погружения в любой момент: $$4(\rho_0y-2\rho_2a)=\rho_0x-\rho_1a.$$

Пусть скорость смещения меньшего куба относительно дна равна \(u\). Нить нерастяжима, поэтому больший куб поднимается относительно дна с такой же скоростью \(u\). Через время \(t\) глубины изменятся: \(x\to x+(V+u)t\) (уровень жидкости поднимается со скоростью \(V\), меньший куб опускается относительно дна со скоростью \(u\)) и \(y\to y+(V-u)t\). Подставив в связь глубин, получаем кинематическое условие $$4(V-u)=V+u,  u=\dfrac{3V}{5}.$$

Меньший куб полностью погрузится, когда его глубина возрастёт с \(a/2\) до \(a\), то есть на \(a/2\). Скорость изменения его глубины равна \(V+u=\dfrac{8V}{5}\), поэтому $$t=\dfrac{a/2}{V+u}=\dfrac{5a}{16V}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.