Всесибирская, 2024/25, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Времена на участках равны, поэтому отношение скоростей равно отношению путей. Сравните пути на участках по графику и найдите, какому виду траектории соответствует связь пути с наибольшим перемещением.

Ответ

\(\dfrac{V_2}{V_1}=4\); траектория — две окружности, пересекающиеся хотя бы в одной точке, радиусы \(R_1=\dfrac{x}{2\pi}\) и \(R_2=\dfrac{2x}{\pi}\); вогнутых участков нет, оба участка замкнуты и начинаются в одной точке.

Решение

Первый участок пути равен \(x\), второй — \(5x-x=4x\). Так как времена на участках одинаковы, пути относятся как скорости: \(\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{4x}{x}=4\).

На каждом участке график монотонно возрастает до максимума и симметричен относительно него, значит, на пути к максимуму бригада всё время удаляется от начальной точки, и вогнутых участков у траектории нет. Перемещение равно нулю в начале и в конце каждого участка (график возвращается в точку \(0\) в конце первого участка и в начале второго), поэтому оба участка начинаются в одной точке и траектория замкнута.

Найдём соотношение между путём и наибольшим перемещением. По графику \(|\Delta r_{1\max}|=\dfrac{x}{\pi}\), \(|\Delta r_{2\max}|=\dfrac{4x}{\pi}\), поэтому $$S_1=x=\pi |\Delta r_{1\max}|,  S_2=4x=\pi |\Delta r_{2\max}|.$$ Такое соотношение выполняется только для окружности, значит, траектория на каждом участке — окружность. Радиусы: \(R_1=\dfrac{x}{2\pi}\), \(R_2=\dfrac{2x}{\pi}\); радиус второй окружности в 4 раза больше первой.

Дополнительно проверяется по отмеченным на графике точкам: после четверти и трёх четвертей пути по окружности перемещение равно \(|\Delta r|=\sqrt2\,R\) (теорема Пифагора), что совпадает с точками на графике.

Итог: траектория — две окружности с указанными радиусами, которые пересекаются хотя бы в одной точке. По графику взаимное расположение окружностей не определяется, поэтому подходит любой рисунок, на котором окружности пересекаются хотя бы в одной точке и подписаны их радиусы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока узел не скользит, шнур работает как две параллельные ветви разной жёсткости. Найдите, при каком удлинении натяжение шнура становится одинаковым по всей его длине, и запишите равновесие груза после проскальзывания узла.

Ответ

\(X=\dfrac{H}{8}\): груз опустится ещё на \(H/8\).

Решение

Обозначим \(M\) — массу груза, \(k\) — жёсткость всего шнура, \(X\) — искомое дополнительное смещение груза из-за проскальзывания узла по шнуру.

В начальном положении висящие части шнура работают параллельно, их жёсткость \(3k+\dfrac{3k}{2}=\dfrac{9k}{2}\). Условие равновесия груза до начала проскальзывания узла: \(Mg=\dfrac{9kH}{2}\).

Максимальное опускание груза будет тогда, когда натяжение всего шнура станет одинаковым по его длине, иначе шнур будет проскальзывать дальше. Полная длина шнура в этой ситуации увеличится на \(2(H+X)\), а удвоенная сила упругости \(2k\cdot2(H+X)\) удерживает груз в новом положении равновесия: \(Mg=4k(H+X)\).

Из этих уравнений \(\dfrac{9H}{2}=4(H+X)\), откуда \(X=\dfrac{H}{8}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Остывание воды пропорционально времени, которое она провела в трубе. Чем больше открыто вентилей, тем быстрее течёт вода и тем меньше она остывает до первого вентиля. Запишите тепловой баланс для двух случаев и сравните время движения воды от бака до первого вентиля.

Ответ

\(T_{\max}=\dfrac{3T_2-T_1}{2}\) — температура воды в баке.

Решение

Обозначим \(Q\) — объёмный расход воды через открытый вентиль, \(Y\) — скорость остывания воды (градусов в секунду), \(C\) — удельную теплоёмкость воды, \(T_0\) — температуру воды в баке, \(t_1\) — время течения воды от бака до первого вентиля, когда открыт только он.

По условию для элемента воды массой \(m\) уменьшение температуры пропорционально времени движения по трубе, поэтому для начальной ситуации тепловой баланс: \(mC(T_0-T_1)=Yt_1\).

Когда открыли ещё два вентиля, расход утроился, и время движения воды от бака до первого вентиля стало равным \(\dfrac{t_1}{3}\). Количество отданной воде теплоты тоже уменьшилось в три раза: \(mC(T_0-T_2)=\dfrac{Yt_1}{3}\).

Из двух уравнений \(3(T_0-T_2)=T_0-T_1\), откуда \(T_0=\dfrac{3T_2-T_1}{2}\).

При открытии всё большего числа вентилей время движения воды до первого вентиля и падение её температуры становятся всё меньше. Поэтому температура воды, вытекающей через первый вентиль, растёт примерно до температуры воды в баке, равной \(\dfrac{3T_2-T_1}{2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Центральный куб тянет нить с удвоенной силой, поэтому погружается сильнее крайних. Запишите равновесие каждого типа кубов при разной глубине погружения и найдите кинематическую связь между их перемещениями относительно дна.

Ответ

\(t=\dfrac{3T_0}{2\rho_0\,g\,V\,a^2}\).

Решение

При повышении уровня жидкости центральный куб погружается сильнее крайних: к нему приложена удвоенная сила натяжения нити, которая растёт по мере погружения кубов на величину дополнительной выталкивающей силы.

Пусть \(\rho_1\) — плотность крайних кубов (одинаковых), \(\rho_2\) — плотность центрального, \(T\) — натяжение нити, \(x\) и \(y\) — глубины погружения крайнего и центрального кубов. Условия равновесия: $$T+\rho_1 g a^3=\rho_0 g a^2 x,  2T+\rho_2 g a^3=\rho_0 g a^2 y.$$ Отсюда связь между глубинами в любой момент: \(2(\rho_0 x-\rho_1 a)=\rho_0 y-\rho_2 a\).

Если крайний куб поднимается относительно дна со скоростью \(u\), то центральный опускается относительно дна с той же скоростью. Через время \(t\) глубина погружения крайнего куба меняется на \((V-u)t\), центрального — на \((V+u)t\), и новое условие равновесия даёт $$2\bigl(\rho_0(x+(V-u)t)-\rho_1 a\bigr)=\rho_0\bigl(y+(V+u)t\bigr)-\rho_2 a.$$ Вычитая исходную связь, получаем \(2(V-u)=V+u\), т.е. \(u=\dfrac{V}{3}\).

В искомый момент \(t_X\) натяжение равно \(2T_0=\rho_0 g a^2\left(\dfrac a2+(V-u)t_X\right)-\rho_1 g a^3=T_0+\rho_0 g a^2 (V-u)t_X\). Отсюда $$t_X=\frac{T_0}{\rho_0 g a^2 (V-u)}=\frac{3T_0}{2\rho_0 g V a^2}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Прирост показаний весов на участке графика равен массе добавленной жидкости: \(\Delta m=\rho S\,\Delta h\). Для тела используйте условие плавания: сила Архимеда уравновешивает его вес, а объём сохраняется при подъёме уровня.

Ответ

\(\rho_ж=1250\) кг/м\(^3\); \(\rho=900\) кг/м\(^3\); \(h\approx10{,}36\) см; \(h_1\approx8{,}92\) см; жидкость не выливается (новый уровень ниже \(H_0\)); тело сделано из льда.

Решение

По графику: первый участок (до \(2\) см) — первая жидкость, второй (от \(2\) до \(5\) см) — вторая.

Плотность первой жидкости: \(\rho_1=\dfrac{2-0{,}5}{0{,}1\cdot(0{,}02-0)}=750\) кг/м\(^3\). Плотность второй: \(\rho_2=\dfrac{8-2}{0{,}1\cdot(0{,}05-0{,}02)}=2000\) кг/м\(^3\).

Третья жидкость на графике не изображена, её плотность найдём через среднюю плотность первых двух: $$\rho_3=\frac23\cdot\frac{\rho_1\cdot2+\rho_2\cdot3}{2+3}=\frac23\cdot1500=1000 кг/м^3.$$ Плотность итоговой смеси трёх жидкостей (высоты слоёв \(2\), \(3\) и \(5\) см): $$\rho_ж=\frac{\rho_1\cdot2+\rho_2\cdot3+\rho_3\cdot5}{2+3+5}=1250 кг/м^3.$$

Тело плавает частично погружённым: \(\rho V g=\rho_ж V_п g\), где \(V\) — объём тела, \(V_п=nV\) — объём погружённой части. Отсюда \(\rho=n\rho_ж=0{,}72\cdot1250=900\) кг/м\(^3\). Эта плотность соответствует льду.

Высота уровня после погружения. Пусть жидкость не выплеснулась. Сохранение объёма жидкости: \(SH=S\bigl(h_1+(1-\tfrac1k)h_2\bigr)\), где \(h_1\) — высота жидкости до нижнего края тела, \(h_2\) — высота столба жидкости вдоль тела, \(h_2=n h_т\). Полная новая высота столба $$h=h_1+h_2=H+\frac{h_2}{k}=H+\frac{n h_т}{k}=10+\frac{0{,}72\cdot2}{4}=10{,}36 см.$$ Это меньше высоты сосуда \(H_0=12\) см, противоречий нет, значит жидкость не выливается.

Высота нижней кромки тела над дном: \(h_1=H+n h_т\left(\dfrac1k-1\right)=10+0{,}72\cdot2\left(\dfrac14-1\right)=8{,}92\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.