Всесибирская, 2025/26, отборочный этап, 7 класс

Выразите путь через скорость и время до пробки и через скорость и время в пробке, затем приравняйте путь в обоих случаях.

\(\tau=18\) мин.

Обозначим \(m=1-\dfrac{n}{100}=\dfrac{1}{5}\) — долю пути, которую автобус проехал в пробке. Пусть \(d\) — путь в пробке, \(V_1\) — скорость до пробки, \(V_2\) — скорость в пробке. Тогда \[\begin{cases} d=V_1\,mT,\\ d=V_2\,(mT+\tau),\\ V_1=kV_2. \end{cases}\] Из этой системы \(V_2(mT+\tau)=kV_2\,mT\), откуда \(mT+\tau=k\,mT\) и \[\tau=m(k-1)T=\dfrac{2}{5}\cdot 45~\text{мин}=18~\text{мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Введите скорость сына относительно воды и запишите, сколько кругов он проходит за время встреч в обоих случаях. Сравните отношения скоростей отца относительно воды.

\(v_0=-0{,}5\) м/с.

Пусть \(v\) — скорость мальчика относительно воды. Отец проходит один круг в обеих ситуациях. Мальчик без помощи отца успел бы пройти 5 кругов, а с помощью отца — 6. Запишем эти факты в виде двух равенств, введя \(t\) и \(t'\) — времена пути: \[5ut=(v-u)t,\qquad 6(u+v_0)t'=(v-u)t'.\] Разделив одно уравнение на другое, получаем \[\dfrac{u}{u+v_0}=\dfrac{6}{5},\qquad\text{откуда}\qquad v_0=-0{,}5~\text{м/с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Приравняйте объём чернил в стержне к объёму следа, который представляет собой параллелепипед с рёбрами \(d_0\), \(S\) и \(h\).

\(S\approx 6{,}9\) км; \(N=1\) (одной ручки хватит).

Объём всех чернил в стержне: \(V=\pi\dfrac{d^2}{4}\,l\). След — параллелепипед, первое ребро — ширина следа, равная диаметру шарика \(d_0\), второе — искомая длина \(S\), третье — толщина следа \(h\). Объём чернил равен объёму следа: \[\pi\dfrac{d^2}{4}\,l=d_0\,S\,h,\] откуда \[S=\dfrac{\pi d^2 l}{4d_0h}=\dfrac{3{,}14\cdot 2^2\cdot 110}{4\cdot 1\cdot 5\cdot 10^{-5}}\approx 6{,}9\cdot 10^{6}~\text{мм}=6{,}9\cdot 10^{5}~\text{см}=6{,}9~\text{км}.\] Количество ручек: \[N=\dfrac{S_0\,n}{S}=\dfrac{1\cdot 5\cdot 10^{5}}{6{,}9\cdot 10^{5}}<1,\] т.е. одной ручки хватит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Перечислите все способы соединить три пружины (последовательно, параллельно и смешанно), найдите жёсткость каждой системы и удлинение под грузом, затем сравните длину системы с \(2{,}3\) см.

Подходят соединения: \(1\Pi2\Pi3\) (последовательно все три), \(1\,\|\,(2\Pi3)\) и \(2\,\|\,(1\Pi3)\).

Основное уравнение — второй закон Ньютона в состоянии равновесия груза: \(k\,\Delta x=mg\), откуда \(\Delta x=\dfrac{Mg}{k}\). Сила тяжести постоянна, поэтому нужно перебрать всевозможные соединения; обозначим пружины цифрами 1, 2, 3, «\(\Pi\)» — последовательное, «\(\|\)» — параллельное соединение. Жёсткости систем: последовательно \(\dfrac{1}{k}=\sum\dfrac{1}{k_i}\), параллельно \(k=\sum k_i\). При \(Mg=100\) Н удлинение \(\Delta x=\dfrac{100~\text{Н}}{k}\) (в сантиметрах, если \(k\) в Н/см), а расстояние до потолка \(x=L+\Delta x\), где \(L\) — длина системы пружин (1, 2 или 3 см в зависимости от соединения):

Из таблицы выбираем соединения, которые удовлетворяют условию: \(1\Pi2\Pi3\), \(1\,\|\,(2\Pi3)\) и \(2\,\|\,(1\Pi3)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.