Всесибирская, 2025/26, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Выразите время движения на каждом участке через его длину и скорость.

Ответ

\(\dfrac{S_{\text{х}}}{S_{\text{п}}}=\dfrac{V_{\text{с}}+\Delta V}{V_{\text{с}}-\Delta V}\).

Решение

По определению средней скорости \(V_{\text{с}}=\dfrac{S_{\text{х}}+S_{\text{п}}}{t_{\text{х}}+t_{\text{п}}}\), где \(t_{\text{х}}=\dfrac{S_{\text{х}}}{V_{\text{с}}+\Delta V}\), \(t_{\text{п}}=\dfrac{S_{\text{п}}}{V_{\text{с}}-\Delta V}\). Подставим времена: \[V_{\text{с}}\left(\frac{S_{\text{х}}}{V_{\text{с}}+\Delta V}+\frac{S_{\text{п}}}{V_{\text{с}}-\Delta V}\right)=S_{\text{х}}+S_{\text{п}}.\] Перенесём члены с \(S_{\text{х}}\) и \(S_{\text{п}}\) в разные стороны: \[S_{\text{х}}\cdot\frac{-\Delta V}{V_{\text{с}}+\Delta V}=S_{\text{п}}\cdot\frac{-\Delta V}{V_{\text{с}}-\Delta V}.\] Сократив на \(-\Delta V\), получаем \(\dfrac{S_{\text{х}}}{S_{\text{п}}}=\dfrac{V_{\text{с}}+\Delta V}{V_{\text{с}}-\Delta V}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите путь сына относительно берега за время одного круга отца в обеих ситуациях. Круг отца в каждой ситуации — это путь, пройденный им вместе с водой.

Ответ

\(v_0=-0{,}5\) м/с (знак «минус» — против течения, ось направлена по течению).

Решение

Пусть \(v\) — скорость мальчика относительно воды, \(t\) и \(t'\) — времена одного круга отца в первой и во второй ситуации. В первой ситуации отец плывёт только по течению, круг равен \(ut\), и мальчик за \(t\) проходит \(5\) кругов: \(5ut=(v-u)t\). Во второй ситуации отец движется относительно берега со скоростью \(u+v_0\), круг равен \((u+v_0)t'\), и мальчик проходит \(6\) кругов: \(6(u+v_0)t'=(v-u)t'\).

Разделив первое уравнение на второе, получим \(\dfrac{u}{u+v_0}=\dfrac{6}{5}\), откуда \(v_0=-\dfrac{u}{6}=-0{,}5\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого из двух тел, учитывая силы упругости пружин. Натяжения нити связаны с силами упругости через блоки.

Ответ

\(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{M+m}{M-2m}\).

Решение

Пусть верхняя пружинка удлинилась на \(x_1\), а нижняя — на \(x_2\). Второй закон Ньютона для тел \(M\) и \(m\): \[Mg=T_1+kx_2,\qquad mg=kx_1-kx_2,\] а связь натяжений с силами упругости даёт \(T_1=2T\), \(kx_1=T\). Решая систему, находим \[\frac{x_1}{x_2}=\frac{M+m}{M-2m}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Объём льда, скрывшегося под маслом, равен объёму вытесненного масла. Сравните объём воды, образовавшейся при таянии, с объёмом льда и с изменением уровня.

Ответ

\(\dfrac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}=\dfrac{H-h}{H}\approx0{,}917\).

Решение

Лёд объёма \(V\) скрылся под поверхностью масла и вытеснил такой же объём масла, поэтому \(SH=V\), где \(S\) — сечение стакана. При температуре \(20\,^{\circ}\text{C}\) лёд тает весь. Объём \(V_0\) образовавшейся воды равен \(V_0=\dfrac{\rho_{\text{л}}V}{\rho_{\text{в}}}=\dfrac{\rho_{\text{л}}SH}{\rho_{\text{в}}}\).

С другой стороны, при таянии объём под поверхностью масла уменьшился на \(V-V_0=Sh\) (уровень упал на \(h\)), значит \(V_0=V-Sh=S(H-h)\). Приравнивая два выражения для \(V_0\), получаем \(H-h=\dfrac{\rho_{\text{л}}H}{\rho_{\text{в}}}\), откуда \[\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}}=\frac{H-h}{H}\approx0{,}917.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите условие равновесия моментов относительно упора. Натяжение нити зависит от глубины погружения кубика; найдите его наибольшее и наименьшее значения, разобрав случаи «кубик тяжелее воды» и «кубик легче воды».

Ответ

Сила \(F=\dfrac{Tl-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\), где \(T\) — натяжение нити. При \(\rho_{\text{к}}\ge\rho_{\text{в}}\): \(F_{\max}=\dfrac{\rho_{\text{к}}ga^3l-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\), \(F_{\min}=\dfrac{(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{в}})ga^3l-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\). При \(\rho_{\text{к}}<\rho_{\text{в}}\): \(F_{\max}\) то же, \(F_{\min}=-\dfrac{Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\).

Решение

Условие равновесия — сумма моментов относительно упора равна нулю: \[F(L-l)+\left(\frac{L}{2}-l\right)Mg-Tl=0,\] откуда \(F=\dfrac{Tl-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\). Натяжение нити \(T=mg-F_{\text{арх}}=\rho_{\text{к}}ga^3-\rho_{\text{в}}ga^2h\), где \(h\) — глубина погружения кубика в воду (\(0\le h\le a\)).

Экстремумы \(T\) зависят от соотношения плотностей.

Случай 1: \(\rho_{\text{к}}>\rho_{\text{в}}\). Наибольшее \(T\) — при \(h=0\): \(T_{\max}=\rho_{\text{к}}ga^3\). Наименьшее — при \(h=a\): \(T_{\min}=(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{в}})ga^3\).

Случай 2: \(\rho_{\text{к}}<\rho_{\text{в}}\). Наибольшее \(T\) по-прежнему \(T_{\max}=\rho_{\text{к}}ga^3\). Наименьшее — когда сила тяжести кубика уравновешена силой Архимеда, \(T_{\min}=0\).

Так как \(F\) растёт с \(T\) (коэффициент \(\dfrac{l}{L-l}>0\)), подставляя крайние значения \(T\), получаем \(F_{\max}\) и \(F_{\min}\) из ответа. Отметим, что при определённом соотношении масс и плотностей сила \(F\) может обратиться в нуль, когда \(Tl=Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.