Всесибирская, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Пусть \(L\) — ширина моста, а \(a\) — ускорение лодки. Выпишите, какой путь проходит нос лодки к моменту, когда капитан выходит из-под моста, и к моментам, когда матрос входит под мост и выходит из-под него.

Ответ

\(T_2=(\sqrt{6}-\sqrt{5})\,T_1\).

Решение

Ширину моста обозначим \(L\), тогда длина лодки равна \(5L\). Ускорение лодки обозначим \(a\). Отсчёт времени начнём с момента старта.

Капитан находится под мостом от момента \(t=0\) (нос у левого края моста) до \(t_1=T_1\), когда нос проходит расстояние \(L\): $$L=\dfrac{aT_1^2}{2}.$$

Матрос находится в хвостовой части, которая в начальный момент отстоит от носа на \(5L\). Он оказывается под левым краем моста, когда нос проходит \(5L\), а под правым краем — когда нос проходит \(6L\): $$5L=\dfrac{at_2^2}{2},  6L=\dfrac{at_3^2}{2}.$$

Время нахождения матроса под мостом равно \(T_2=t_3-t_2\). Из уравнений получаем \(t_2=\sqrt{5}\,T_1\) и \(t_3=\sqrt{6}\,T_1\), поэтому $$T_2=(\sqrt{6}-\sqrt{5}) T_1\approx 0{,}21 T_1.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите массу воды на зеркале, сопротивление проволоки и мощность, которую она выделяет при напряжении \(U\). Тепло нужно и на нагрев плёнки до \(100\) °C, и на испарение.

Ответ

\(\tau\approx124\) с (около двух минут).

Решение

Масса воды на зеркале: \(m=\rho S_{з}h=1000\cdot0{,}5\cdot50\cdot10^{-6}=0{,}025\) кг.

Сопротивление проволоки при площади сечения \(S_{пр}=\dfrac{\pi d^2}{4}=3{,}14\cdot10^{-8}\) м\(^2\): $$R=\rho_{эл}\dfrac{l}{S_{пр}}=\dfrac{1{,}7\cdot10^{-8}\cdot2}{3{,}14\cdot10^{-8}}\approx1{,}08 Ом.$$

Мощность нагревателя: \(P=\dfrac{U^2}{R}=\dfrac{24^2}{1{,}08}\approx533\) Вт.

Энергия на нагрев воды до \(100\) °C: \(Q_1=c_{вод}m(100-t_0)=4200\cdot0{,}025\cdot80=8400\) Дж.

Энергия на испарение: \(Q_2=Lm=2{,}3\cdot10^6\cdot0{,}025=57\,500\) Дж.

Полная энергия \(Q=Q_1+Q_2=65\,900\) Дж, поэтому $$\tau=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{65 900}{533}\approx124 с.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока камень движется, он замедляется с ускорением \(a=\mu g\). Рассмотрите два случая: камень ещё не остановился ко второму снимку (к \(t=2\) с) или остановился между первым и вторым снимками. Во втором случае путь до остановки равен \(S_2\).

Ответ

\(\mu=0{,}4\); по официальному решению также \(\mu\approx0{,}43\) (см. комментарий ПРОВЕРИТЬ в начале файла).

Решение

На камень после начального толчка действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения скольжения. До остановки камень движется с ускорением \(a\), и \(a=\mu g\), откуда \(\mu=\dfrac{a}{g}\). Пусть \(\upsilon\) — начальная скорость камня, \(\tau=1\) с.

Если к моменту \(2\tau\) камень ещё не остановился, справедлива система $$\begin{cases}S_1=\upsilon\tau-\dfrac{a\tau^2}{2},
[2mm] S_2=\upsilon(2\tau)-\dfrac{a(2\tau)^2}{2}.\end{cases}$$ Отсюда \(a=\dfrac{2S_1-S_2}{\tau^2}=4\) м/с\(^2\), \(\mu=0{,}4\).

Если камень остановился между \(\tau\) и \(2\tau\), справедлива система $$\begin{cases}S_1=\upsilon\tau-\dfrac{a\tau^2}{2},
[2mm] S_2=\dfrac{\upsilon^2}{2a}.\end{cases}$$ Из неё \(2aS_2=\left(\dfrac{S_1}{\tau}+\dfrac{a\tau}{2}\right)^2\), откуда \(a=16\left(2\pm\sqrt{3}\right)\) м/с\(^2\). Корень со знаком «+» даёт время остановки меньше \(\tau\), что противоречит условию. Корень со знаком «–» по официальному решению даёт \(a=16(2-\sqrt{3})\) м/с\(^2\) и \(\mu=1{,}6\,(2-\sqrt{3})\approx0{,}43\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Рассмотрите замкнутый цикл вблизи тройной точки, в котором вещество последовательно плавится, испаряется и затем переходит из пара в лёд. Сумма теплот по замкнутому циклу равна нулю.

Ответ

\(q=L+\lambda=2{,}84\) МДж/кг.

Решение

Рассмотрим произвольный замкнутый цикл в окрестности тройной точки. Он включает три перехода: лёд \(\to\) вода, вода \(\to\) пар, пар \(\to\) лёд. Запишем уравнение теплового баланса для некоторой массы \(m\): $$m\lambda+mL-mq=0.$$ Энергия на сублимацию входит с минусом, потому что по циклу мы движемся в направлении пар \(\to\) лёд, а сублимация — обратный процесс лёд \(\to\) пар. Ноль в правой части отражает замкнутость цикла: изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Отсюда $$q=L+\lambda=2{,}84 МДж/кг.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите закон Кирхгофа для контура с источником и найдите ток диода как функцию его напряжения (нагрузочная прямая). Граничные значения сопротивления получаются из двух условий: диод только начинает светиться и диод достигает максимального тока.

Ответ

\(1~\text{Ом}\le R\le40~\text{Ом}\).

Решение

По закону Кирхгофа для контура с источником \(\varepsilon\) и внутренним сопротивлением \(r\): \(\varepsilon=I\,r+U\), где \(I\) — ток источника, \(U\) — напряжение на диоде и на резисторе \(R\). Ток через резистор \(I_R=\dfrac{U}{R}\), ток диода \(I_{диод}=I-I_R\). Поэтому $$I_{диод}=\dfrac{\varepsilon}{r}-U \dfrac{R+r}{rR}$$ это уравнение нагрузочной прямой. Её точка пересечения с ВАХ диода даёт рабочий режим. Граничные наклоны нагрузочной прямой определяются двумя условиями.

Диод начинает светиться при \(U=0{,}5\) В (по ВАХ). Нагрузочная прямая должна проходить не ниже этой точки: \(\dfrac{\varepsilon-0{,}5}{r}-\dfrac{0{,}5}{R}\ge0\), откуда \(R\ge1\) Ом.

Диод не должен превысить \(I_{max}=375\) мА, что по ВАХ соответствует \(U=1\) В: \(\dfrac{\varepsilon-1}{r}-\dfrac{1}{R}\le0{,}375\), откуда \(\dfrac{1}{R}\ge0{,}025\), \(R\le40\) Ом.

Итак, \(1~\text{Ом}\le R\le40~\text{Ом}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.