Всесибирская, 2025/26, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Между каплями образуется общий мениск с эффективным радиусом кривизны; лапласово давление в нём даёт силу притяжения. Отрыв капли происходит, когда её вес сравнивается с силой, которую удерживает линия смачивания.

Ответ

1) \(a=\dfrac{3\sigma R_1R_2\sin^2\theta}{4(R_1+R_2)(R_1^3+R_2^3)}\);  2) \(R_{\text{крит}}=\sqrt{\dfrac{3\sigma(1+\cos\theta)}{2\rho g}}\).

Решение

Эффективный радиус мениска между каплями: \(R_{\text{эфф}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Лапласово давление в мениске при большом радиусе второй кривизны \(r\to\infty\) равно \(\Delta P=\dfrac{\sigma}{R_{\text{эфф}}}\). Площадь зоны контакта — круг \(S=\pi R_{\text{эфф}}^2\sin^2\theta\), поэтому сила притяжения между каплями \(F=\Delta P\,S=\pi\sigma\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\sin^2\theta\). Ускорение в начальный момент \(a=\dfrac{F}{m_1+m_2}\), что даёт ответ пункта 1.

Отрыв капли от ступеньки: \(\dfrac{4}{3}\pi R_{\text{крит}}^3\rho g=2\pi\sigma R_{\text{крит}}(1+\cos\theta)\), отсюда \(R_{\text{крит}}=\sqrt{\dfrac{3\sigma(1+\cos\theta)}{2\rho g}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите условие равновесия поршня в начальном и конечном (перед разрывом пружины) состояниях и уравнение состояния газа в обоих. Работа газа равна интегралу \(\int p\,dV\), где давление задаётся равновесием поршня; первое начало термодинамики даёт \(Q\).

Ответ

\(Q=\dfrac{5}{2}\dfrac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+k\left(\dfrac{3}{2}h\Delta x+2\Delta x^2\right)\), где \(\Delta x=x_{max}-x_0\).

Решение

Пусть \(S\) — площадь поршня, \(R\) — газовая постоянная. В начальном состоянии поршень в равновесии: \(p_0S=p_aS+Mg+kx_0\), и уравнение состояния \(p_0Sh=\dfrac{m}{\mu}RT_0\), откуда \(p_0S=\dfrac{mRT_0}{\mu h}\).

Перед разрывом пружины поршень поднят на \(\Delta x=x_{max}-x_0\), давление \(p_2S=p_aS+Mg+kx_{max}=\dfrac{mRT_0}{\mu h}+k\Delta x\), объём \(S(h+\Delta x)\). Из уравнения состояния для конечного состояния $$T_2=\left(\frac{T_0}{h}+\frac{k\mu\Delta x}{mR}\right)(h+\Delta x).$$

Изменение внутренней энергии одноатомного газа $$\Delta U=\frac{3}{2}\frac{m}{\mu}R(T_2-T_0)=\frac{3}{2}\frac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+\frac{3}{2}k\Delta x(h+\Delta x).$$

Работа газа против атмосферы, веса поршня и пружины: $$A=(p_aS+Mg)\Delta x+k\left(x_0\Delta x+\frac{\Delta x^2}{2}\right)=\frac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+\frac{k\Delta x^2}{2}.$$

По первому началу \(Q=\Delta U+A=\dfrac{5}{2}\dfrac{mRT_0\Delta x}{\mu h}+k\left(\dfrac{3}{2}h\Delta x+2\Delta x^2\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите объём воздуха в конечном состоянии по объёмам поршня, воды и сосуда, затем давление воздуха по закону Бойля—Мариотта. Уровень воды и давление у нижнего торца поршня определите из того же объёма.

Ответ

\(m=\dfrac{\rho hS}{2}+\dfrac{3P_AS}{2g}\).

Решение

Начальное состояние: давление воздуха \(P_1=P_A\), объём \(V_1=Sh\).

В конечном состоянии температура воздуха постоянна, поэтому \(P_1V_1=P_2V_2\). Объём поршня внутри сосуда \(\dfrac{S}{2}\cdot\dfrac{3h}{2}\), объём воды \(Sh\) не меняется, объём сосуда \(2Sh\). Тогда объём воздуха $$V_2=2Sh-\frac{S}{2}\cdot\frac{3h}{2}-Sh=\frac{Sh}{4},$$ откуда \(P_2=4P_A\).

Поршень вытесняет воду, и уровень воды поднимается; в конечном состоянии расстояние по вертикали от уровня воды до нижнего торца поршня равно \(h\). Давление на нижний торец поршня со стороны воды \(p_{\text{низ}}=P_2+\rho gh=4P_A+\rho gh\), на верхний торец действует \(P_A\). Условие равновесия поршня: $$mg+P_A\frac{S}{2}=(4P_A+\rho gh)\frac{S}{2},$$ откуда \(m=\dfrac{\rho hS}{2}+\dfrac{3P_AS}{2g}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорости мячика в точках \(A\) и \(C\) перпендикулярны; запишите скорость в \(C\) через скорость в \(A\) и \(g\). Модуль перемещения мячика найдите через \(T\), а перемещение корзинки вдоль горки — через её ускорение \(g\sin\alpha\).

Ответ

\(\alpha=30^\circ\).

Решение

Пусть \(\vec v_A\) — скорость мячика в точке \(A\), \(\vec v_C\) — в точке \(C\). По условию \(\vec v_A\perp\vec v_C\), то есть \(\vec v_A\cdot\vec v_C=0\). Пусть \(T\) — время полёта мячика от \(A\) до \(C\), тогда \(\vec v_C=\vec v_A+\vec gT\) и $$\vec v_A\cdot(\vec v_A+\vec gT)=0.$$

Перемещение мячика \(\vec{AC}=\vec v_AT+\dfrac{\vec gT^2}{2}\), поэтому $$|\vec{AC}|^2=T^2 \vec v_A\cdot(\vec v_A+\vec gT)+\frac{g^2T^4}{4}=\frac{g^2T^4}{4},  |AC|=\frac{gT^2}{2}.$$

Корзинка движется из состояния покоя с ускорением \(g\sin\alpha\) вдоль горки, за время \(T\) проходит \(|BC|=\dfrac{g\sin\alpha\,T^2}{2}\). Так как точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\) и \(AB=BC\), то \(|AC|=2|BC|\): $$\frac{gT^2}{2}=2\cdot\frac{g\sin\alpha T^2}{2},$$ откуда \(\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\alpha=30^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Батарейка неидеальна, поэтому у неё есть внутреннее сопротивление \(r\). Запишите закон Ома для полной цепи для обоих измерений и учтите, что токи через вольтметры связаны их сопротивлениями.

Ответ

\(\varepsilon\approx1{,}617\) В.

Решение

Показания разные, значит батарейка неидеальна и имеет внутреннее сопротивление \(r\). Пусть \(R\) — сопротивление первого вольтметра, \(I_1\) и \(I_2\) — токи в двух измерениях. Тогда \(U_1=I_1R\), \(U_2=I_2\cdot10R\), и по закону Ома для полной цепи $$\varepsilon=I_1r+U_1,  \varepsilon=I_2r+U_2.$$ Отсюда \(I_1=\dfrac{\varepsilon-U_1}{r}\), \(I_2=\dfrac{\varepsilon-U_2}{r}\), и \(\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{10U_1}{U_2}\). Получаем $$\frac{\varepsilon-U_1}{\varepsilon-U_2}=\frac{10U_1}{U_2},$$ откуда \(\varepsilon\approx1{,}617\) В.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.