зад 1 Звук с моста и ускорение лодки
Лодка длиной \(L\) движется по реке с ускорением \(a\). На мосту высоты \(H\), расположенному перпендикулярно движению лодки, установили источник звука с частотой испускания \(\nu_0\). Капитан на носу замечает источник звука под углом \(\alpha\) к горизонту и регистрирует частоту \(\nu_1\). Спустя некоторое время матрос на корме, в этот момент находящийся там же, где был капитан, замечает тот же источник под тем же углом и регистрирует частоту \(\nu_2\). Найдите ускорение лодки. Скорость звука в воздухе равна \(c\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите эффект Доплера для движущегося приёмника: проекция скорости лодки на направление на источник даёт поправку к частоте. Одинаковый угол означает одинаковую проекцию в обоих измерениях, а разность квадратов скоростей даёт ускорение.
▶ОтветСкрыть
\(a=\dfrac{c^{2}}{2L\cos^{2}\alpha}\left[\left(\dfrac{\nu_2-\nu_0}{\nu_0}\right)^{2}-\left(\dfrac{\nu_1-\nu_0}{\nu_0}\right)^{2}\right]\).
▶РешениеСкрыть
Эффект Доплера для приёмника, движущегося со скоростью \(V\) под углом \(\alpha\) к направлению на источник: \(\nu=\nu_0\left(1+\dfrac{V\cos\alpha}{c}\right)\). Отсюда для каждой из двух регистраций \(V_i=\dfrac{c}{\cos\alpha}\left(\dfrac{\nu_i-\nu_0}{\nu_0}\right)\), \(i=1,2\). Лодка движется с постоянным ускорением, поэтому между двумя регистрациями \(V_2^2-V_1^2=2aL\), откуда \(a=\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2L}\). Подставляя \(V_i\), получаем ответ.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Бусинка на вращающемся конусе
Рассматривается вращающаяся механическая система, состоящая из перевёрнутого полого конуса, у которого угол при вершине составляет \(2\alpha\). Этот конус равномерно вращается вокруг своей вертикальной оси с заданной частотой \(\nu\). Внутри конуса, на его боковой поверхности, находится небольшая бусинка. Трение между бусинкой и поверхностью характеризуется коэффициентом \(\mu\). Считать, что бусинка движется без проскальзывания. Определите максимально возможную величину расстояния \(r\) от оси вращения, при котором бусинка ещё сохраняет неподвижность относительно вращающегося конуса. В решении должен присутствовать схематический рисунок с указанием всех сил, действующих на бусинку.
▶ПодсказкаСкрыть
Выберите в предельном случае направление силы трения вдоль образующей (бусинка готова соскользнуть) и запишите второй закон Ньютона в проекциях на горизонталь и вертикаль, учитывая центростремительное ускорение.
▶ОтветСкрыть
\(r_{\max}=\dfrac{g}{4\pi^{2}\nu^{2}}\cdot\dfrac{\cos\alpha\mp\mu\sin\alpha}{\sin\alpha\pm\mu\cos\alpha}\) (верхние знаки — трение направлено вверх вдоль образующей, нижние — вниз).
▶РешениеСкрыть
В предельном случае сила трения направлена вдоль образующей и препятствует соскальзыванию; на рисунке показаны сила тяжести \(mg\), нормальная реакция \(N\), сила трения и результирующая \(P\). Бусинка движется по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega=2\pi\nu\). Второй закон Ньютона в проекциях: $$N\cos\alpha\mp F_{тр}\sin\alpha=m\omega^{2}r, N\sin\alpha\pm F_{тр}\cos\alpha-mg=0.$$ В предельном случае \(F_{\text{тр}}=\mu N\). Подставляя и деля первое уравнение на второе, получаем \(\dfrac{\cos\alpha\mp\mu\sin\alpha}{\sin\alpha\pm\mu\cos\alpha}=\dfrac{\omega^{2}r}{g}\), откуда и следует ответ.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Диоды и конденсатор в цепи
Цепь, изображённая на рисунке, изначально разомкнута, конденсаторы разряжены. Вольт-амперная характеристика неидеальных диодов \(D_1\) и \(D_2\) также представлена на рисунке (\(I_{\text{отк}}\) и \(U_{\text{отк}}\) — ток и напряжение открытия диодов соответственно). Сначала ключ замыкают в первое положение и ждут полной зарядки конденсатора. Затем, через достаточно долгий промежуток времени, ключ переключают во второе положение и также ждут установления равновесия. Найдите отношение теплоты, выделившейся на первом и втором диодах. Ёмкости, сопротивление и напряжение источника считать известными (см. рисунок). \(U_0\gg U_{\text{отк}}\).
▶ПодсказкаСкрыть
До открытия диод ведёт себя как резистор \(R_d=U_{\text{отк}}/I_{\text{отк}}\); процесс надо разбить на этапы «напряжение на диоде меньше открытия» и «больше открытия» и на каждом записать закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{W_{d11}+W_{d12}}{W_{d21}+W_{d22}}\), где \(W_{d12}=C_1\varepsilon U_{\text{отк}}-C_1U_{\text{отк}}^{2}\), \(W_{d21}=\dfrac{U_{\text{отк}}C_1C_2}{C_1+C_2}(\varepsilon-U_{\text{отк}})\), \(W_{d22}=\dfrac{U_{\text{отк}}^{2}C_1C_2}{2(C_1+C_2)}\cdot\dfrac{U_{\text{отк}}}{U_{\text{отк}}+I_{\text{отк}}R}\); \(W_{d11}\) — см. решение.
▶РешениеСкрыть
При напряжении на диоде ниже \(U_{\text{отк}}\) он ведёт себя как резистор \(R_d=U_{\text{отк}}/I_{\text{отк}}\), поэтому отношение мощностей на диоде и на резисторе \(R\) равно \(\dfrac{W_d}{W_R}=\dfrac{U_{\text{отк}}}{I_{\text{отк}}R}\). Зарядка делится на два этапа: до открытия диода (закон сохранения энергии даёт \(W_{d11}\)) и после открытия (там \(W_{d12}=U_{\text{отк}}q_{12}=C_1\varepsilon U_{\text{отк}}-C_1U_{\text{отк}}^{2}\)). При перезарядке заряд \(\Delta q=\dfrac{U_{\text{отк}}C_1C_2}{C_1+C_2}\) перераспределяется между конденсаторами, давая \(W_{d21}\) и \(W_{d22}\). Ответ — отношение суммы теплот на первом диоде к сумме на втором.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Отрицательная теплоёмкость политропы
Рассмотрим процесс с одноатомным идеальным газом, в котором объём газа \(V\) зависит от температуры \(T\) по закону \(V=aT^{b}\), где \(a\) и \(b\) — некоторые константы. При каких значениях параметра \(b\) молярная теплоёмкость газа в данном процессе отрицательна?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите первое начало термодинамики для одного моля через \(C\,dT=C_V\,dT+P\,dV\) и используйте уравнение Клапейрона–Менделеева.
▶ОтветСкрыть
\(b<-\dfrac{3}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Для одного моля \(C\,dT=C_V\,dT+P\,dV\). Из \(PV=RT\) и \(V=aT^{b}\) получаем \(P\,dV=\dfrac{RT}{V}\,abT^{b-1}\,dT=bR\,dT\), откуда \(C=C_V+bR=\left(\dfrac32+b\right)R\). Теплоёмкость отрицательна при \(b<-\dfrac32\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Балка с шаром и две пружины
К потолку на невесомом шарнире прикреплена невесомая балка длиной \(L=4l\) (смотрите рисунок). На нижнем конце балки закреплён маленький шар массы \(m\). Слева и справа к балке прикреплены изначально нерастянутые пружины с жёсткостями \(k_1=k\), \(k_2=k/2\). Балка разделена на части \(l\), \(2l\), \(l\) так, как показано на рисунке. Другие концы пружин прикреплены к неподвижным стенкам. Найдите частоту малых колебаний такой системы в плоскости рисунка. Деформации пружин считать малыми. Трения в системе нет. Движение происходит в поле тяжести \(g\), направленном вертикально вниз.
Примечание: для \(x\ll 1\) справедливо \((1-x)^{n}\approx 1-nx\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для малого горизонтального смещения шара \(x\) найдите деформации обеих пружин через подобие треугольников, подъём шара по дуге и запишите закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
\(\omega=\sqrt{\dfrac{19}{32}\dfrac{k}{m}+\dfrac{g}{L}}=\sqrt{\dfrac{19}{32}\dfrac{k}{m}+\dfrac{g}{4l}}\).
▶РешениеСкрыть
При малых колебаниях шар поднимается на \(h=\dfrac{x^{2}}{2L}\). Точка крепления пружины \(k_1\) смещается на \(\tfrac34 x\), пружины \(k_2\) — на \(\tfrac14 x\) (подобие треугольников), поэтому энергия системы \(\tfrac12 k\left(\tfrac34 x\right)^{2}+\tfrac12\cdot\tfrac k2\left(\tfrac14 x\right)^{2}+\tfrac12 m\dot x^{2}+\dfrac{mg}{2L}x^{2}=E\) сохраняется. Дифференцируя по времени: \(m\ddot x+\left(\dfrac{19}{32}k+\dfrac{mg}{L}\right)x=0\), откуда \(\omega=\sqrt{\dfrac{19k}{32m}+\dfrac{g}{L}}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.