Всесибирская, 2025/26, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Запишите путь, который прошёл первый друг, с учётом перекуса, и путь второго друга, состоящий из двух участков: на электричке и пешком. Приравняйте пути.

Ответ

\(v=\dfrac{v_a(t_1+t_2-\tau)-v_{\text{п}}t_1}{t_2}\).

Решение

Не нарушая общности, пусть первый товарищ даст фору и сначала перекусит. Тогда пройденное им расстояние $$S=v_a(t-\tau),$$ где \(t=t_1+t_2\) — общее время пути.

С другой стороны, раз пройденные пути одинаковы, запишем уравнение движения для второго товарища: $$S=v_{п}t_1+vt_2.$$

Приравняв оба пути и выразив \(v\), получаем ответ: $$v=\dfrac{v_a(t_1+t_2-\tau)-v_{п}t_1}{t_2}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выразите уменьшение площади сечения намотки через радиус и через скорость подачи нитки и толщину нитки. Сравните два случая.

Ответ

\(T=\dfrac{t}{k^2}\).

Решение

Пусть начальный радиус равен \(k^2r\); затем он уменьшается до \(kr\). Площадь намотки уменьшится на $$\Delta S=\pi\left(k^4r^2-k^2r^2\right)=\pi k^2(k^2-1)r^2.$$ С другой стороны, \(\Delta S=Vtd\), где \(V\) — скорость подачи нитки, \(d\) — толщина нитки. Отсюда $$\pi k^2(k^2-1)r^2=Vtd.   (1)$$

Далее радиус намотки ещё раз уменьшается в \(k\) раз: был \(kr\), стал \(r\). Аналогично имеем $$\pi(k^2-1)r^2=VTd.   (2)$$

Делим уравнение (1) на уравнение (2): $$k^2=\dfrac{t}{T} \Rightarrow T=\dfrac{t}{k^2}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите среднюю плотность детали и сравните её с плотностью воды. Если тело плавает, найдите объём вытесненной воды. Положение устойчиво, если центр масс тела лежит ниже центра масс вытесненной воды; сравните эти две точки для двух возможных расположений кубиков.

Ответ

Деталь плавает, погружена на \(89\%\) объёма (над водой 8 см\(^3\) из 72 см\(^3\)). Устойчивое положение: кубик с меньшим ребром (плотность 4000 кг/м\(^3\)) — внизу, кубик с большим ребром — сверху. Уровень воды поднимется на \(\Delta h=0{,}64\) см.

Решение

Чтобы понять, будет ли тело плавать, найдём его среднюю плотность. Объёмы кубиков \(V_1=a^3\), \(V_2=b^3\), массы \(M_1=\rho_1V_1\), \(M_2=\rho_2V_2\): $$\rho_{ср}=\dfrac{M_1+M_2}{V_1+V_2}=0{,}89 г/см^3<\rho_{в}.$$ Тело плавает и погружено на \(89\%\) своего объёма. Из равенства сил Архимеда и тяжести объём вытесненной воды \(V_{\text{выт}}=64\) см\(^3\).

Чтобы выяснить, как кубики расположены в воде, сравним центр масс детали и центр плавучести (центр масс вытесненной фигуры жидкости). Центр масс двух спаянных кубиков, если кубик с меньшим ребром внизу: $$Z_m=\dfrac{m_1z_1+m_2z_2}{M}=\dfrac{\rho_1S_1a\cdot\frac{a}{2}+\rho_2S_2b\left(a+\frac{b}{2}\right)}{\rho_1S_1a+\rho_2S_2b},  S_1=a^2, S_2=b^2.$$ Центр масс вытесненной фигуры (плотность которой равна плотности воды) находится аналогично; \(h\) — глубина погружения, \(h-a\) — высота погружённой части верхнего кубика, если нижний погружён полностью: $$Z=\dfrac12\cdot\dfrac{S_1a^2+S_2(h^2-a^2)}{S_1a+S_2(h-a)}.$$

Если кубик с плотностью 500 кг/м\(^3\) находится снизу, то \(h=4\) см, \(Z=h/2=2\) см, а центр масс тела находится на высоте \(3{,}5\) см от дна. Положение неустойчивое.

В другом случае, когда снизу кубик с плотностью 4000 кг/м\(^3\), \(h=5{,}5\) см, \(Z=3{,}41\) см, \(Z_m=2{,}5\) см. Поскольку \(Z_m<Z\), положение устойчивое.

Уровень воды поднимется на $$\Delta h=\dfrac{V_{выт}}{S}=\dfrac{64 см^3}{100 см^2}=0{,}64 см.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите условие равновесия до и после переноса гвоздей, где перенесённая масса \(m\) действует на плече с учётом сдвига опоры. Масса переложенных гвоздей пропорциональна их числу.

Ответ

\(l=kN\) гвоздей.

Решение

Все обозначения введены на рисунке.

Условия равновесия для первой ситуации (сразу сократили на \(g\)): $$m_1x=m_2y,  x+y=d.$$ Равновесие для второй ситуации: $$(m_1-m)(x+kd)=(m_2+m)(y-kd).$$ Объединяем все три уравнения в систему и решаем: $$kd(m_1+m_2)=m(x+y)=md,$$ откуда $$k(m_1+m_2)=m.$$

Пусть масса одного гвоздя \(m_0\), \(l\) — количество переложенных гвоздей. Тогда очевидны соотношения: $$m_1+m_2=m_0N,  m=m_0l.$$ Подставляем: \(km_0N=m_0l\). Откуда искомое количество гвоздей $$l=kN.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.