зад 1 Автобус в пробке
Школьники вновь отправляются на Всесибирскую олимпиаду от остановки «Речной вокзал» до Академгородка на равномерно движущемся автобусе. И вновь пробки на въезде в Академгородок избежать не удалось. До начала пробки скорость автобуса составляла \(V_1 = 35\) км/ч. При движении по пробке (в заторе) скорость автобуса составляла \(V_2 = 8\) км/ч. В этот раз школьники более подготовлены к олимпиаде по физике. По онлайн-картам в смартфоне они определили, что протяжённость всего маршрута составляет \(S = (26{,}5 \pm 0{,}1)\) км. По часам в смартфоне ребята измерили общее время движения от Речного вокзала до Академгородка, причём измерение времени проведено с погрешностью \(\Delta t = 0{,}02\) ч. Далее ребята вычислили среднюю скорость \(V = 25\) км/ч за все время движения. Какая протяжённость \(S_1\) может быть у первого участка пути? Ответ дайте в километрах.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите полное время движения как сумму времён на двух участках и выразите \(S_1\). Затем подумайте, при каких значениях \(S\) и полного времени \(t\) первый участок будет самым коротким, а при каких — самым длинным.
▶ОтветСкрыть
\(S_1 = (23{,}36 \pm 0{,}35)\) км, то есть примерно от 23,0 до 23,7 км.
▶РешениеСкрыть
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: \(V = \dfrac{S}{t}\), где \(t = \dfrac{S_1}{V_1} + \dfrac{S-S_1}{V_2}\). Отсюда \(S_1 = \dfrac{S/V_2 - t}{1/V_2 - 1/V_1}\). Без погрешностей полное время \(t = S/V = 26{,}5/25 = 1{,}06\) ч.
Длина первого участка убывает с ростом \(t\) и растёт с ростом \(S\). Поэтому минимум \(S_1\) достигается при наибольшем \(t\) и наименьшем \(S\), а максимум — при наименьшем \(t\) и наибольшем \(S\). С учётом погрешностей \(t \in [1{,}04;\ 1{,}08]\) ч, \(S \in [26{,}4;\ 26{,}6]\) км: $$S_{1,\min} = \frac{26{,}4/8 - 1{,}08}{1/8 - 1/35} \approx 23 км, S_{1,\max} = \frac{26{,}6/8 - 1{,}04}{1/8 - 1/35} \approx 23{,}7 км.$$ Ответ: \(S_1 = (23{,}36 \pm 0{,}35)\) км. Разброс около 700 м получился из-за накопления погрешностей при косвенном определении \(S_1\) по прямым измерениям \(t\) и \(S\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Диск с вставками и центр масс
На заводе изготовили круглый диск радиуса \(R\) и плотности \(\rho\). Его центр масс находился в геометрическом центре — в начале координат. Всё было хорошо, пока в правой половине диска на поверхности не расположили две тонкие круглые вставки из того же материала плотностью \(\rho\). Первая вставка радиуса \(r_1 = R/4\) была расположена так, что её центр оказался в точке \((x_0, a)\), где \(x_0 = R/2\), \(a = R/3\). Вторая вставка радиуса \(r_2 = R/5\) — симметрично относительно горизонтальной оси, с центром в точке \((x_0, -a)\). После этой доработки центр масс диска, естественно, сместился. Теперь перед технологами завода стоит задача: вернуть центр масс в исходное положение. Для этого было решено добавить третью вставку круглой формы, изготовленную из более тяжёлого материала плотностью \(\rho_3 = 3\rho\). Радиус этой вставки уже определён конструкторами и равен \(r_3 = R/5\). Требуется найти координаты \((x_3, y_3)\) центра третьей вставки, при которых центр масс всей системы (диск вместе со всеми тремя вставками) снова окажется в начале координат.
▶ПодсказкаСкрыть
Диск без вставок уже уравновешен относительно начала координат, поэтому важны только вставки. Запишите условие равенства нулю суммы \(m_i\vec r_i\) покоординатно.
▶ОтветСкрыть
\(x_3 = -\dfrac{41}{96}R \approx -0{,}427\,R\), \(y_3 = -\dfrac{R}{16} = -0{,}0625\,R\).
▶РешениеСкрыть
Массы вставок: \(m_1 = \rho\pi r_1^2\), \(m_2 = \rho\pi r_2^2\), \(m_3 = 3\rho\pi r_3^2\). Диск без вставок имеет центр масс в начале координат, его вклад в суммарный момент равен нулю, поэтому \(m_1\vec r_1 + m_2\vec r_2 + m_3\vec r_3 = 0\). Покоординатно, с \(x_1 = x_2 = x_0\), \(y_1 = a\), \(y_2 = -a\): $$x_0(m_1+m_2) + m_3x_3 = 0, a(m_1-m_2) + m_3y_3 = 0.$$ Отсюда в общем виде \(x_3 = -\dfrac{x_0(r_1^2+r_2^2)}{3r_3^2}\), \(y_3 = -\dfrac{a(r_1^2-r_2^2)}{3r_3^2}\).
Подставляем \(x_0 = R/2\), \(a = R/3\), \(r_1 = R/4\), \(r_2 = r_3 = R/5\): \(x_3 = -\dfrac{41}{96}R \approx -0{,}427\,R\), \(y_3 = -\dfrac{R}{16} = -0{,}0625\,R\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 3 Тело из цилиндра и конуса в воде
Тело состоит из цилиндра высоты \(H\) и конуса высоты \(h\), соосных с одинаковым радиусом \(R\). Тело опускают в воду вертикально, цилиндром вниз. Считая известными плотности цилиндра и конуса и считая, что средняя плотность тела меньше плотности воды, определите минимальную работу, которую нужно совершить, чтобы погрузить тело так, чтобы над водой осталось \(2/3\) высоты конуса. Определите соотношение между плотностями конуса и цилиндра, при котором возможно такое равновесие без приложения внешней силы. Центр масс однородного цилиндра находится на четверти высоты, отсчитывая от основания.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии системы «тело и вытесненная вода». Для этого нужно знать, где находится центр масс вытесненной воды, и условие плавания.
▶ОтветСкрыть
\(A = -\rho_в g\pi R^2\left(\dfrac{H^2}{2} + \dfrac{19Hh}{81} + \dfrac{11h^2}{324}\right)\); \(\rho_к = \dfrac{3}{h}\left(\rho_в\left(H + \dfrac{19h}{81}\right) - \rho_ц H\right)\).
▶РешениеСкрыть
Тело меняет сечение при погружении, поэтому используем энергетический подход: работа внешней силы равна изменению энергии системы «тело и вытесненная вода».
Погружённый объём: цилиндр целиком и часть конуса, которая ниже уровня воды. Эта часть — усечённый конус высотой \(h/3\) с радиусами \(R\) и \(2R/3\): $$V_{погр} = \pi R^2H + \frac{\pi h}{9}\left(R^2 + \frac{2R^2}{3} + \frac{4R^2}{9}\right) = \pi R^2\left(H + \frac{19h}{81}\right).$$
Координата центра вытесненной воды, отсчитанная от дна тела: $$Z_m = \frac{V_{ц}\cdot\dfrac{H}{2} + V_{к,погр}\left(H + \dfrac{11h}{76}\right)}{V_{ц} + V_{к,погр}} = \frac{\dfrac{H^2}{2} + \dfrac{19Hh}{81} + \dfrac{11h^2}{324}}{H + \dfrac{19h}{81}},$$ где \(V_{\text{ц}} = \pi R^2H\), \(V_{\text{к,погр}} = \dfrac{19\pi R^2h}{81}\), а \(\dfrac{11h}{76}\) — расстояние от основания усечённого конуса до его центра масс.
Высота, на которую нужно опустить тело: \(\Delta h = H + \dfrac{h}{3}\). Изменение высоты вытесненной воды: \(x = Z_m - \Delta h\). Условие плавания: \(m = \rho_в V_{\text{погр}}\). Тогда изменение энергии системы $$A = \Delta U = -mg \Delta h - \rho_в g V_{погр} x = -\rho_в g\pi R^2\left(\frac{H^2}{2} + \frac{19Hh}{81} + \frac{11h^2}{324}\right).$$
Равновесие без внешней силы: масса тела равна массе вытесненной воды, \(\pi R^2\left(\rho_ц H + \dfrac{\rho_к h}{3}\right) = \rho_в\pi R^2\left(H + \dfrac{19h}{81}\right)\), откуда $$\rho_к = \frac{3}{h}\left(\rho_в\left(H + \frac{19h}{81}\right) - \rho_ц H\right).$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 4 Стержень на шарнире в двух жидкостях
В цилиндрическом сосуде налиты две несмешивающиеся жидкости с известными плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\), \(\rho_1 > \rho_2\). Высота слоёв жидкостей одинакова и равна \(H\). В сосуд опускают тонкий однородный стержень длины \(L\) (\(L > 2H\)) и шарнирно закрепляют на дне сосуда. В состоянии равновесия стержень оказался погружённым так, что он пересекает обе границы раздела сред, а его верхний конец находится ровно на уровне поверхности верхней жидкости. Найти плотность стержня. Диаметр сосуда \(R\) много больше длины стержня \(L\).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите угол наклона стержня по высоте \(2H\), затем длины его частей в каждой жидкости. Запишите равенство моментов сил тяжести и Архимеда относительно шарнира.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{\rho_2}{4} + \dfrac{3\rho_1}{4}\).
▶РешениеСкрыть
Диаметр сосуда много больше длины стержня, поэтому при погружении уровни жидкостей не меняются. Угол \(\alpha\) стержня с вертикалью: \(\cos\alpha = \dfrac{2H}{L}\).
Нижняя часть стержня находится в жидкости \(\rho_2\), её длина \(l_2 = \dfrac{H}{\cos\alpha} = \dfrac{L}{2}\). Верхняя часть в жидкости \(\rho_1\) имеет длину \(l_1 = L - l_2 = \dfrac{L}{2}\). Центр нижней части — на расстоянии \(L/4\) от шарнира, верхней — на \(3L/4\).
Реакция опоры в шарнире момента относительно шарнира не даёт, поэтому правило моментов относительно точки крепления: $$\rho S L g\cdot\frac{L}{2}\sin\alpha = \rho_2 S \frac{L}{2} g\cdot\frac{L}{4}\sin\alpha + \rho_1 S \frac{L}{2} g\cdot\frac{3L}{4}\sin\alpha.$$ Отсюда \(\rho = \dfrac{\rho_2}{4} + \dfrac{3\rho_1}{4}\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 5 Молоко со льдом и мощность конфорки
Мама поручила Васе приготовить овсяную кашу. Достав бутылку молока из холодильника, Вася обнаружил, что бутылка замерзла: в жидком молоке плавали куски льда. Эта необычная ситуация пробудила в Васе дух экспериментатора. Сначала Вася влил только жидкое молоко в кастрюлю, поставил на весы и получил, что масса жидкой части молока равна \(M = 160\) г. Затем Вася выливает молоко в кастрюлю, сверху засыпает кусочки молочного льда из бутылки, помещает термометр в смесь и всё это ставит на конфорку электроплиты. Вася решил раз в минуту записывать показания термометра. Вася заметил, что:
первую минуту показания термометра не менялись;
к концу второй минуты показания увеличились на \(\Delta T_1 = 3\) \(^\circ\)C;
к концу третьей минуты Васю отвлекли, и он ничего не успел записать;
к концу четвёртой минуты увеличились ещё на \(\Delta T_2 = 10\) \(^\circ\)C.
Помогите Васе определить мощность конфорки \(P\), а также начальную массу \(m\) льда в молоке. Дополнительная информация (может быть полезна): удельная теплоёмкость молока \(c = 4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота плавления \(\lambda = 3{,}3\cdot10^5\) Дж/кг, плотность \(\rho = 1030\) кг/м\(^3\). Теплоёмкостью кастрюли можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
По записям постройте график температуры от времени. Участок с нулевой температурой — плавление льда, участок роста — нагрев. Момент начала роста температуры надо найти по прямой нагрева и затем записать два уравнения теплового баланса.
▶ОтветСкрыть
\(m \approx 15{,}7\) г; \(P \approx 62\) Вт.
▶РешениеСкрыть
По записям Васи строим график (рисунок — из официального решения). Первый участок — плавление льда при \(0\,^\circ\)C, второй — нагрев молока. Момент \(t_1\), когда показания начали расти, точно не известен, но \(1~\text{мин} < t_1 < 2~\text{мин}\).
Участок нагрева проходит через точки \((2;\,3)\) и \((4;\,13)\): \(T(t) = kt + b\), откуда \(k = 5\), \(b = -7\). Температура начинает расти при \(0 = 5t_1 - 7\), то есть \(t_1 = \dfrac{7}{5} = 1{,}4\) мин \(= 84\) с.
Тепловой баланс за первые две минуты: плавление льда массы \(m\) за время \(t_1\) и нагрев смеси массы \(m + M\) на \(\Delta T_1\) за время \(t_2 - t_1\), где \(t_2 = 2\) мин: $$\lambda m = P t_1, c(m+M) \Delta T_1 = P (t_2 - t_1).$$ Решая систему: $$m = \frac{M}{\dfrac{\lambda(t_2-t_1)}{c \Delta T_1 t_1} - 1} \approx 15{,}7 г, P = \frac{\lambda m}{t_1} \approx 62 Вт.$$
Мощность получилась небольшой: вероятно, Вася включил конфорку слабо, а часть тепла ушла в окружающую среду.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Всесибирская открытая олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.