Всесоюзная, 1966/67, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Долейте тонкий слой воды на высоте уровня: он лежит выше центра тяжести системы или ниже? Куда при этом сдвинется центр тяжести?

Ответ

Центр тяжести занимает наинизшее положение, когда он совпадает с уровнем воды. Если \(M\) — масса пустого стакана, \(h\) — высота его центра тяжести над дном, \(S\) — площадь сечения, \(\rho\) — плотность воды, то уровень \(x_*=\dfrac{-M+\sqrt{M^2+2\rho S\,Mh}}{\rho S}\) (он ниже \(h\)).

Решение

Что происходит. Центр тяжести системы — взвешенное среднее центров тяжести частей. Подливаем тонкий слой воды: он добавляет массу, центр которой находится на уровне воды. Если этот уровень выше центра тяжести системы, новая масса «тянет» среднее вверх; если ниже — вниз. Значит, центр тяжести опускается, пока уровень воды выше него, и поднимается, когда уровень оказывается ниже. Наинизшее положение — когда уровень воды и центр тяжести совпали.

Обозначения. Ось \(y\) направлена вверх, начало на дне стакана; толщиной дна пренебрегаем. \(M\) — масса пустого стакана, \(h\) — высота его центра тяжести, \(S\) — площадь сечения воды, \(\rho\) — плотность воды, \(x\) — уровень воды.

1. Положение центра тяжести как функция уровня. Масса воды \(m=\rho Sx\), её центр тяжести лежит на высоте \(x/2\). Центр тяжести системы стакан + вода — взвешенное по массам среднее: \[y_C(x)=\frac{M h+\rho Sx\cdot\dfrac x2}{M+\rho Sx}.\]

2. Наинизшее положение. Найдём, при каком \(x\) функция \(y_C\) минимальна: производная равна нулю, \[y_C'=\frac{\rho Sx\,(M+\rho Sx)-\rho S\left(Mh+\dfrac{\rho Sx^2}{2}\right)}{(M+\rho Sx)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(M+\rho Sx)=Mh+\frac{\rho Sx^2}{2}.\] Левая часть равна \(x\) умножить на полную массу, правая — числителю в \(y_C\), то есть \(y_C\,(M+\rho Sx)\). Значит, условие минимума: \[y_C=x .\] Центр тяжести лежит ровно на уровне воды. До этого момента \(y_C>x\) и доливание понижает центр тяжести, после — \(y_C<x\) и доливание повышает его: действительно минимум.

3. Уровень в явном виде. Условие \(y_C=x\) есть уравнение \(Mh=Mx+\dfrac{\rho S}{2}x^2\), откуда (берём положительный корень) \[x_*=\frac{-M+\sqrt{M^2+2\rho S\,Mh}}{\rho S}.\]

На графике кривая \(y_C(x)\) начинается в точке \(h\) (пустой стакан), опускается и пересекает прямую \(y=x\) в своём минимуме; правее она растёт.

Обратите внимание: из уравнения \(Mh=Mx+\rho Sx^2/2\) видно, что \(x_*<h\): наинизшее положение достигается раньше, чем уровень воды дойдёт до исходного центра тяжести пустого стакана.

Ответ: когда уровень воды совпадает с центром тяжести системы, \(x_*=\dfrac{-M+\sqrt{M^2+2\rho SMh}}{\rho S}\).

Проверка. Размерность: \(\rho S\) — кг/м, \(M^2\) и \(\rho S\,Mh\) — кг\(^2\), корень — кг, делим на кг/м — метры. Предел очень лёгкой воды (\(\rho S\ll M/h\)): корень \(\approx M\left(1+\dfrac{\rho Sh}{M}\right)\), \(x_*\approx h\): уровень совпадает с центром тяжести самого стакана, как и должно быть, когда воды почти нет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Что произойдёт с корпусом, если кофемолка ничем не закреплена и якорь внутри начинает раскручиваться? Вспомните закон сохранения момента импульса.

Ответ

Подвесить кофемолку на длинных нитях и включить: корпус начнёт поворачиваться в сторону, противоположную направлению вращения якоря.

Решение

Что происходит. Якорь и корпус двигателя взаимодействуют только друг с другом (сила Ампера действует на якорь, равная и противоположная реакция — на статор в корпусе). Значит, суммарный момент импульса кофемолки сохраняется. Если кофемолка подвешена так, что внешних моментов почти нет, то якорь раскручивается в одну сторону, а корпус — в другую.

Обозначения. \(I_1\), \(\omega_1\) — момент инерции и угловая скорость якоря (с ножом); \(I_2\), \(\omega_2\) — корпуса вокруг той же оси (вертикальной), направление против вращения якоря считаем отрицательным.

1. Закон сохранения момента импульса. Запишем его для системы корпус + якорь + нож относительно вертикальной оси, проходящей через нити. Внешние силы — тяжесть и натяжение нитей — создают относительно этой оси нулевой момент, пока нити не закручены. До включения момент импульса равен нулю, следовательно после включения \[I_1\omega_1+I_2\omega_2=0\quad\Longrightarrow\quad \omega_2=-\frac{I_1}{I_2}\,\omega_1 .\]

2. Что видно снаружи. Знак минус: корпус поворачивается в сторону, противоположную вращению якоря. Момент инерции корпуса много больше момента инерции якоря, поэтому \(|\omega_2|\ll\omega_1\): корпус лишь слегка закручивает нити, но сразу после включения этот поворот хорошо заметен. Видим, куда повернулся корпус, — значит, якорь вращается в противоположную сторону.

Обратите внимание: если держать кофемолку в руке, рука создаёт внешний момент и опыт «не чист»; нити должны быть длинными и тонкими, чтобы их упругий момент не успел заметно подействовать, пока смотрим на первый поворот.

Ответ: вращение якоря направлено противоположно повороту подвешенного корпуса.

Проверка. При \(I_2\to\infty\) (корпус жёстко закреплён) \(\omega_2\to0\): корпус не поворачивается, реакция воспринимается опорой, как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сколько резисторов нужно хотя бы, чтобы соединить три вывода? Какая схема из двух резисторов дала бы «самое большое» сопротивление, равное сумме двух других?

Ответ

Нужно три резистора, и схем две. Звезда: \(R_1=2\) Ом, \(R_2=1\) Ом, \(R_3=4\) Ом (резистор \(R_i\) идёт от вывода \(i\) к общей точке). Треугольник: \(r_{12}=3{,}5\) Ом, \(r_{23}=7\) Ом, \(r_{13}=14\) Ом.

Решение

Что происходит. Омметр измеряет сопротивление всего, что лежит между двумя выводами. По трём таким числам нужно восстановить цепь. Сначала выясним, сколько резисторов минимум требуется, затем найдём все схемы этого размера и их номиналы.

1. Двух резисторов мало. Омметр показывает конечное сопротивление между любой парой, поэтому все три вывода соединены. Два резистора могут соединять три вывода только последовательно: общая точка и два крайних вывода (параллельное включение даёт два вывода, а не три). Тогда сопротивление между крайними выводами равно сумме двух других. У нас наибольшее число 6 Ом, а \(3+5=8\ne6\). Значит, двух резисторов мало. Если один из двух заменить параллельной парой, получится тот же случай: пара эквивалентна одному резистору.

2. Три резистора: какие схемы возможны. Цепь из трёх резисторов, связывающая три вывода, либо без замкнутого контура (дерево), либо с контуром. Дерево из трёх резисторов с выводами в трёх узлах — или цепочка (там снова «наибольшее равно сумме», не годится), или звезда с внутренней точкой. С контуром — треугольник. Других нет, поэтому остаются звезда и треугольник.

3. Звезда. Резистор \(R_i\) соединяет вывод \(i\) с общей точкой. Сопротивление между двумя выводами — сумма двух резисторов, идущих к ним: \[R_1+R_2=3,\qquad R_2+R_3=5,\qquad R_1+R_3=6\ (\text{Ом}).\] Сложим и разделим на два: \(R_1+R_2+R_3=7\) Ом. Отсюда \(R_3=7-3=4\) Ом, \(R_1=7-5=2\) Ом, \(R_2=7-6=1\) Ом.

4. Треугольник. Резистор \(r_{ij}\) соединяет выводы \(i\) и \(j\). Тот же ящик (с теми же показаниями омметра) эквивалентен звезде из пункта 3, поэтому номиналы треугольника выражаются через звезду по формулам преобразования: \(r_{12}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}\) и циклически. Сумма попарных произведений \(2\cdot1+1\cdot4+4\cdot2=14\), откуда \[r_{12}=\frac{14}{4}=3{,}5\text{ Ом},\qquad r_{23}=\frac{14}{2}=7\text{ Ом},\qquad r_{13}=\frac{14}{1}=14\text{ Ом}.\]

Проверка независимым способом. Омметр на треугольнике: между 1 и 2 резистор \(r_{12}\) включён параллельно цепочке \(r_{23}+r_{13}\): \[\frac{3{,}5\cdot(7+14)}{3{,}5+7+14}=\frac{73{,}5}{24{,}5}=3\text{ Ом};\qquad \frac{7\cdot(3{,}5+14)}{24{,}5}=5\text{ Ом};\qquad \frac{14\cdot(3{,}5+7)}{24{,}5}=6\text{ Ом},\] все три показания совпали с условием. Обратите внимание: омметр не отличает звезду от треугольника с такими номиналами, поэтому по трём показаниям ответ неоднозначен: подходят обе схемы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Движок делит реостат на две части, \(r\) и \(R-r\). Выясните для каждой схемы, как эти части и постоянный резистор соединены между выводами.

Ответ

а) \(R_0=r\) (прямая до \(R\)); б) \(R_0=\dfrac{r(R-r)}{R}\) (парабола, максимум \(R/4\) при \(r=R/2\)); в) \(R_0=\dfrac{rR}{r+R}\) (кривая от нуля до \(R/2\)).

Решение

Что происходит. Движок делит реостат на две части: левую с сопротивлением \(r\) и правую с сопротивлением \(R-r\). Для каждой схемы нужно понять, что лежит между выводами цепи, и выразить \(R_0\) через \(r\) и \(R\) (законы последовательного и параллельного соединения резисторов).

1. Эквивалентные схемы. Идём по проводам от левого вывода к правому, считая, что движок соединён с правым выводом.

В схеме а ток от левого вывода идёт по левой части реостата до движка и сразу уходит на правый вывод; правая часть реостата никуда не подключена и тока не несёт. В схеме б левый конец реостата проводом соединён с правым концом, поэтому между левым выводом и движком включены две ветви: левая часть \(r\) и правая часть \(R-r\) вместе с проводом — они соединены параллельно. В схеме в левый вывод соединён с левым концом реостата и с левым концом постоянного резистора \(R\), а правый вывод — с движком и правым концом резистора: параллельно друг другу включены левая часть \(r\) и резистор \(R\); правая часть реостата тока не несёт.

2. Формулы. \[\text{а)}\ R_0=r;\qquad \text{б)}\ R_0=\frac{r(R-r)}{r+(R-r)}=\frac{r(R-r)}{R};\qquad \text{в)}\ R_0=\frac{rR}{r+R}.\] В схеме б числитель \(r(R-r)\) — парабола с ветвями вниз, нули в \(r=0\) и \(r=R\), максимум в середине: \(r=R/2\), \(R_0=R/4\). В схеме в при малых \(r\) получаем \(R_0\approx r\) (параллельный резистор почти не мешает), при \(r=R\) имеем \(R_0=R/2\), кривая растёт всё медленнее и касательная в нуле совпадает с прямой а.

3. Графики. Строим по формулам, откладывая \(r\) от 0 до \(R\).

Обратите внимание: в схеме б сопротивление зависит от положения движка немонотонно: на краях (\(r=0\) и \(r=R\)) оно равно нулю, потому что реостат замкнут накоротко проводом.

Ответ: а) прямая \(R_0=r\); б) парабола \(R_0=r(R-r)/R\) с максимумом \(R/4\) при \(r=R/2\); в) кривая \(R_0=rR/(r+R)\), растущая от 0 до \(R/2\).

Проверка. При \(r=R\) в схеме в оба резистора по \(R\) параллельно — \(R/2\), как на графике; при \(r\ll R\) все три графика сливаются с прямой \(R_0=r\), как и должно быть при малой части реостата.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.