Всесоюзная, 1967/68, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Закон сохранения импульса верен для замкнутой системы. Ролики закреплены, то есть связаны с Землёй: подумайте, какие горизонтальные силы действуют на систему <<человек + лента + ролики>> и откуда они берутся.

Ответ

Система <<человек — лента>> не замкнута: оси роликов (то есть Земля) действуют на неё горизонтальной силой, поэтому импульс системы не сохраняется. Человек может сместиться относительно Земли и сбежать с ленты; его скорость относительно Земли связана со скоростью ленты равенством \(mv=M_{\text{эф}}w\).

Решение

Что происходит. Рассуждение в условии применяет закон сохранения импульса к системе, на которую действуют внешние силы. Отсутствие трения в осях означает, что на ролики нет момента сил, но не означает, что оси не действуют на ролики силой: опоры осей, закреплённые на Земле, действуют на ролики и через них на ленту. Поэтому у системы <<человек + лента>> есть внешняя горизонтальная сила, и импульс не сохраняется.

Обозначения. Ось \(x\) направлена туда, куда бежит человек. \(m\) — масса человека, \(v\) — его скорость относительно Земли. Верхняя часть ленты едет назад (против оси \(x\)) со скоростью \(w\). \(M_{\text{эф}}=M+2I/R^2\) — <<приведённая масса>> ленты и роликов (лента массой \(M\), два ролика с моментами инерции \(I\) и радиусом \(R\) вращаются без проскальзывания ленты, так что кинетическая энергия ленты и роликов равна \(\tfrac12M_{\text{эф}}w^2\)).

1. Силы на систему. Второй закон Ньютона для человека в проекции на ось \(x\): \(m\,\dot v=F\), где \(F\) — сила трения о ленту (воздух не учитываем). По третьему закону Ньютона на ленту сверху действует сила \(F'=-F\), то есть против оси \(x\).

2. Лента и ролики. Лента замкнутая: верхняя часть едет назад, нижняя вперёд, поэтому суммарный импульс ленты равен нулю при любой скорости \(w\) и не может меняться. Значит, сумма внешних горизонтальных сил на <<ленту с роликами>> равна нулю: сила \(F'\) (на верхнюю часть) уравновешивается силами \(\vec R_1+\vec R_2\) со стороны осей роликов, то есть \(\vec R_1+\vec R_2=-\vec F'=\vec F\). Вдоль ленты сила \(F\) раскручивает её: сила приложена к участку, движущемуся против оси \(x\) со скоростью \(w\), и мощность этой силы идёт на рост кинетической энергии ленты и роликов (лента не проскальзывает ни по роликам, ни по подошве в момент отталкивания): \(F\,w=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac12M_{\text{эф}}w^2\right)\), откуда \(M_{\text{эф}}\,\dot w=F\).

3. Что из этого следует. Из \(m\dot v=F\) и \(M_{\text{эф}}\dot w=F\) (человек и лента начинают с покоя) получаем \(m\,v=M_{\text{эф}}\,w\) в любой момент. Это не закон сохранения импульса системы: полный импульс <<человек + лента + ролики>> равен \(mv\) и растёт под действием сил \(\vec R_{1,2}\) от Земли. Значит, как только человек разгоняется (\(v>0\)), лента набирает скорость \(w=mv/M_{\text{эф}}\) в обратную сторону, и положение человека относительно Земли меняется: \(x(t)=\int v\,dt\).

4. Почему можно сбежать. Концы ленты неподвижны относительно Земли (ролики закреплены), поэтому человек покидает ленту, когда его координата \(x\) достигает переднего ролика. Скорость \(v>0\) возможна: человек разгоняется (\(F\ne0\)), а затем бежит равномерно (\(F=0\), сила трения не нужна, лента по инерции крутится с постоянной скоростью \(w\)). Чтобы <<стоять на месте>>, как следует из условия, он вообще не должен был бы ускоряться относительно Земли; но, разгоняясь, он неизбежно смещается вперёд.

5. Цифры для иллюстрации. При \(m=70\) кг, \(M_{\text{эф}}=140\) кг и ускорении человека \(a=1\) м/с\(^2\) в течение \(3\) с: \(v=3\) м/с, \(w=mv/M_{\text{эф}}=1{,}5\) м/с, скорость относительно ленты \(u=v+w=4{,}5\) м/с, смещение относительно Земли за эти \(3\) с равно \(at^2/2=4{,}5\) м.

Обратите внимание: <<положение центра масс ленты не меняется>> — верно, но этого недостаточно. Лента не свободна: она давит на ролики, а ролики закреплены, поэтому <<центр масс системы человек — лента>> смещается, когда человек разгоняется. Сохраняется не импульс, а соотношение \(mv=M_{\text{эф}}w\).

Ответ. Система <<человек — лента>> не замкнута (ролики закреплены на Земле, и оси действуют на них горизонтальной силой, равной силе трения человека о ленту), поэтому закон сохранения импульса к ней не применим; человек разгоняется относительно Земли, лента раскручивается в обратную сторону, \(mv=M_{\text{эф}}w\), и человек может добежать до края ленты.

Проверка. Размерность: \(m\,v\) и \(M_{\text{эф}}w\) — кг\(\cdot\)м/с. Энергия: работа мышц \(\tfrac12mv^2+\tfrac12M_{\text{эф}}w^2\) — растёт, импульс системы не сохраняется. Предел \(M_{\text{эф}}\to\infty\) (ленту нельзя раскрутить): \(w\to0\), человек бежит как по неподвижной земле, и \(F\) — обычная сила трения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сила, приложенная к ящику под углом вверх, облегчает ящик, но на человека действует обратно направленная сила, которая прижимает его к полу. Нужно, чтобы ящик начал скользить, а человек — нет. Найдите область допустимых направлений и величин силы и выберите в ней силу наименьшей длины.

Ответ

Вертикальная составляющая силы на ящик должна быть направлена вверх. Наименьшая сила: если \(m\le M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\), то \(F_{\min}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\) (при \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{M-m}{\mu(M+m)}\)); в противном случае (в том числе всегда при \(\mu\ge1\)) \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\) (при \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\)).

Решение

Что происходит. Человек действует на ящик силой \(\vec F\), а ящик на человека — такой же силой \(-\vec F\). Чтобы ящик сдвинулся, горизонтальная составляющая силы \(F\cos\alpha\) должна превзойти максимальную силу трения покоя ящика, чтобы человек устоял — не превосходить максимальной силы трения покоя человека. Вертикальная составляющая \(F\sin\alpha\) на ящик, направленная вверх, облегчает ящик и утяжеляет человека (сила \(-\vec F\) вниз). Так как \(M>m\), без неё не обойтись.

Обозначения. \(\alpha\) — угол силы \(\vec F\) (на ящик) с горизонтом, \(a=F\sin\alpha\), \(b=F\cos\alpha\); \(N_1\), \(N_2\) — силы реакции пола на ящик и на человека. Скольжения нет, пока сила трения покоя не превышает \(\mu N\); сдвигается — когда сила превышает \(\mu N\). Движение с места: рассматриваем начало движения, когда ящик ещё покоится.

1. Ящик. Второй закон Ньютона для покоящегося ящика в проекции на вертикаль: \(N_1=Mg-a\). Ящик сдвинется, если \(b\ge\mu N_1\), то есть \(b\ge\mu\,(Mg-a)\).

2. Человек. Вертикаль: \(N_2=mg+a\) (сила \(-\vec F\) направлена вниз). Горизонталь: сила трения покоя уравновешивает \(b\) и не превышает \(\mu N_2\), то есть \(b\le\mu\,(mg+a)\).

3. Область допустимых сил. На плоскости \((b,a)\) точка, изображающая вектор \(\vec F\), лежит правее прямой \(b=\mu(Mg-a)\) и левее прямой \(b=\mu(mg+a)\). Эти прямые пересекаются в точке \(a_0=\dfrac{(M-m)g}{2}\), \(b_0=\dfrac{\mu(M+m)g}{2}\), а допустимая область — угол выше этой вершины (\(a\ge a_0\)). Условие \(a\ge a_0\) следует из сравнения двух неравенств: должно быть \(\mu(Mg-a)\le\mu(mg+a)\).

4. Наименьшая сила. Длина вектора \(F=\sqrt{a^2+b^2}\) наименьшая в точке области, ближайшей к началу координат. Здесь два случая. Если основание перпендикуляра из начала на левую границу (прямая ящика) лежит в области (т. е. её абсцисса \(a^*=\dfrac{\mu^2Mg}{1+\mu^2}\ge a_0\)), то ближайшая точка — это основание перпендикуляра: \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\), \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) (как для ящика одного). Если \(a^*<a_0\), перпендикуляр попадает ниже вершины, а значит вне области, и ближайшая точка — вершина угла: \(F_{\min}=\sqrt{a_0^2+b_0^2}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\).

5. Условие для случаев. Неравенство \(a^*\ge a_0\) равносильно \(2\mu^2M\ge(1+\mu^2)(M-m)\), то есть \(m\ge M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\). Значит, для лёгкого человека, \(m\le M\,\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\), ответ — вершина; для тяжёлого — \(\mu Mg/\sqrt{1+\mu^2}\); при \(\mu\ge1\) правая часть неположительна, и всегда справедлив второй случай.

6. Можно ли толкать. Если сила на ящик направлена вниз (\(a<0\)), то условия принимают вид \(b\ge\mu(Mg+|a|)\) и \(b\le\mu(mg-|a|)\) — несовместны при \(M>m\). То есть ни толкая, ни тяня вниз сдвинуть ящик нельзя: нужна составляющая вверх. Направление горизонтальной составляющей (к человеку или от него) роли не играет.

Обратите внимание: ответ <<\(F\ge\frac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\)>> верен не всегда. Например, при \(M=100\) кг, \(\mu=0{,}5\) он даёт для \(m=80\) кг значение \(46{,}1\,g\), а на самом деле достаточно \(44{,}7\,g\) (человек стоит достаточно твёрдо, и можно тянуть ящик под углом \(\mathrm{arctg}\,\mu\)).

Ответ. В буквах: \(F_{\min}=\dfrac g2\sqrt{(M-m)^2+\mu^2(M+m)^2}\) при \(m\le M\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\) и \(F_{\min}=\dfrac{\mu Mg}{\sqrt{1+\mu^2}}\) при остальных \(m\) (всегда при \(\mu\ge1\)); сила направлена вверх под углом \(\alpha\) к горизонту, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{M-m}{\mu(M+m)}\) в первом и \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) во втором случае. В числах для \(M=100\) кг, \(\mu=0{,}5\): при \(m=40\) кг \(F_{\min}\approx46{,}1\,g\approx452\) Н, при \(m=80\) кг \(F_{\min}\approx44{,}7\,g\approx439\) Н.

Проверка. Размерность: \(Mg\) — сила. Предел \(\mu\to0\): \(F_{\min}\to\dfrac{(M-m)g}{2}\), \(\alpha\to90^\circ\) — нужно тянуть почти вертикально вверх, чтобы реакции пола под ящиком и под человеком сравнялись (\(Mg-a=mg+a\)): без трения горизонтальной силы почти не нужно. Граница случаев \(m=M\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\): оба выражения совпадают, и \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mu\) в обоих. Второй способ: численный перебор углов (для \(M=100\), \(m=40\), \(\mu=0{,}5\) и \(m=80\)) даёт те же \(46{,}1\,g\) и \(44{,}7\,g\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пружина растягивается за счёт закручивания проволоки. Найдите, как удлинение зависит от диаметра витков и числа витков, помня, что проволоки одинаковой длины.

Ответ

На \(\dfrac45\) своей длины.

Решение

Что происходит. Груз растягивает пружину, закручивая её проволоку: каждое сечение проволоки находится под моментом силы. Закручивание проволоки на угол \(\psi\) опускает конец пружины. Нужно связать удлинение с диаметром витка и числом витков и применить ко второй пружине.

Обозначения. Для пружины: \(D\) — диаметр витка (для первой \(D=d\), для второй \(2d\)), \(n\) — число витков, \(a\) — радиус проволоки, \(G\) — модуль сдвига стали, \(P\) — вес груза, \(l\) — длина ненагруженной пружины, \(\Delta l\) — удлинение. Растяжения малы, угол подъёма витка мал.

1. Момент в проволоке. Сила \(P\) действует вдоль оси пружины, плечо относительно проволоки в любом сечении витка равно радиусу витка \(D/2\). Значит, проволока закручивается моментом \(M_t=PD/2\).

2. Закручивание. Проволока длиной \(L=\pi Dn\) и радиуса \(a\) закручивается на полный угол \(\psi=\dfrac{M_tL}{GJ}\), где \(J=\dfrac{\pi a^4}{2}\) — полярный момент сечения (это закон Гука при кручении). Подставляем: \[\psi=\frac{PD}{2}\cdot\frac{\pi Dn}{G\,\pi a^4/2}=\frac{PD^2n}{Ga^4}.\]

3. Удлинение. Закручивание проволоки на малый угол \(d\psi\) опускает нижний конец витка на \(\dfrac D2\,d\psi\). Складывая по всей длине проволоки, получаем \(\Delta l=\dfrac D2\psi\), то есть \[\Delta l=\frac{P\,D^3\,n}{2\,G\,a^4}\ \propto\ n\,D^3\quad(\text{при том же грузе и той же проволоке}).\] Это стандартная жёсткость пружины: \(k=P/\Delta l=Ga^4/(4nR^3)\) при \(R=D/2\).

4. Вторая пружина. Обе пружины свиты из проволоки одной длины: \(\pi Dn=\text{const}\), значит \(nD\) одинаково. У второй пружины \(D_2=2D_1\), поэтому \(n_2=n_1/2\). Отношение удлинений: \[\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}=\frac{n_2}{n_1}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^3=\frac12\cdot8=4.\]

5. Длины пружин. У пружины из плотно навитых витков длина пропорциональна числу витков (\(l=n\delta\), \(\delta\) — диаметр проволоки), значит \(l_2=l_1/2\). Относительное растяжение: \[\frac{\Delta l_2}{l_2}=\frac{4\,\Delta l_1}{l_1/2}=8\cdot\frac{\Delta l_1}{l_1}=8\cdot\frac1{10}=\frac45.\]

Обратите внимание: удлинение пружины пропорционально \(nD^3\), а не \(nD^2\). Вторая пружина растягивается в \(4\) раза сильнее первой (в \(8\) раз сильнее в относительных единицах), потому что и плечо силы, и длина закручиваемой проволоки каждого витка растут вдвое. В книге принято, что угол раскрытия витка зависит только от момента, а длина проволоки витка не учтена: там получено \(\tfrac25\).

Ответ. В буквах: \(\dfrac{\Delta l_2}{l_2}=8\,\dfrac{\Delta l_1}{l_1}\); в числах: \(\dfrac{\Delta l_2}{l_2}=\dfrac45\) — на \(0{,}8\) своей длины.

Проверка. Размерность: \(PD^3n/(Ga^4)\) — Н\(\cdot\)м\(^3\)/(Па\(\cdot\)м\(^4\)) = м. Предел: пружина с очень тонкой проволокой (малое \(a\)) растягивается сильнее — верно. Второй способ: жёсткость \(k=Ga^4/(4nR^3)\) у второй пружины в \(\dfrac{n_1}{n_2}\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3=2\cdot\dfrac18=\dfrac14\) раза меньше, то есть при том же грузе удлинение в \(4\) раза больше — то же самое.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Чтобы вода закипела, в ней должны расти пузырьки пара. Подумайте, чем отличается вода, в которой растворён воздух, от прокипячённой, и как давление внутри маленького пузырька зависит от его радиуса.

Ответ

В кипячёной воде нет растворённого воздуха и крупных пузырьков, поэтому она закипает при температуре выше \(100\,^\circ\text{C}\) (перегрев) и передаёт тепло сырой воде, которая кипит уже при \(100\,^\circ\text{C}\).

Решение

Что происходит. Кипение — это рост в объёме жидкости пузырьков, внутри которых насыщенный пар. Пузырёк растёт, если давление внутри него превосходит давление снаружи. Снаружи — атмосферное давление, давление столба воды и добавка \(2\sigma/R\) от поверхностного натяжения; она тем больше, чем меньше пузырёк. В сырой воде всегда есть растворённый воздух и готовые крупные пузырьки (на стенках, на пылинках), в кипячёной воздух выделился, остались только очень мелкие пузырьки.

Обозначения. \(R\) — радиус пузырька, \(\sigma\) — поверхностное натяжение воды (\(\approx0{,}059\) Н/м при \(100\,^\circ\text{C}\)), \(p_0\) — давление над водой, \(p_\text{п}\) — давление насыщенного пара, \(p_\text{в}\) — давление воздуха в пузырьке, \(h\) — глубина.

1. Условие роста пузырька. Давление в пузырьке: \(p_\text{п}+p_\text{в}\). Давление в жидкости рядом со стенкой пузырька (механическое равновесие стенки): \(p_0+\rho gh+2\sigma/R\). Пузырёк растёт, если \[p_\text{п}+p_\text{в}>p_0+\rho gh+\frac{2\sigma}{R}.\] Глубиной пренебрегаем.

2. Сырая вода. Там есть пузырьки миллиметровых размеров и воздух в них добавляет \(p_\text{в}\): условие выполняется практически при \(p_\text{п}\approx p_0\), то есть при \(100\,^\circ\text{C}\): добавка \(2\sigma/R\) для \(R\sim0{,}1\)–\(1\) мм составляет от \(0{,}1\) до \(1\) кПа, то есть \(0{,}1\)–\(1\%\) от атмосферного давления.

3. Кипячёная вода. Воздух удалён, крупных зародышей нет, а на мелких (\(R\sim\) единицы–десятки микрометров) добавка \(2\sigma/R\) уже существенна: пар в таком пузырьке должен иметь давление \(p_\text{п}>p_0+2\sigma/R\), а это возможно только при температуре выше \(100\,^\circ\text{C}\). Перегрев находим по зависимости давления насыщенного пара от температуры: на каждый градус давление растёт на \(\approx3{,}6\) кПа. Расчёт по этой зависимости (точная кривая давления пара воды): для \(R=100\) мкм \(\Delta t\approx0{,}3\) К, для \(10\) мкм \(\approx3\) К, для \(1\) мкм \(\approx23\) К.

4. Теплообмен. Греется большая кастрюля, и вода в ней, не имея зародышей кипения, перегревается выше \(100\,^\circ\text{C}\). Сырая вода в маленькой кастрюле, получая тепло от более горячей воды большой кастрюли, быстро достигает \(100\,^\circ\text{C}\) и кипит (температура на этом остаётся постоянной): тепла от большой кастрюли для этого хватает, потому что её вода горячее \(100\,^\circ\text{C}\). Большая кастрюля в этот момент ещё не кипит.

Обратите внимание: давление над пузырьком — это не просто \(p_0\): к нему добавляется \(2\sigma/R\) от поверхностного натяжения, и именно мелкие пузырьки мешают закипеть. Кипячёная вода кипит не <<раньше>> и не <<позже>> сама по себе, а с запозданием, которое определяется отсутствием крупных зародышей пара; в сильно перегретой воде закипание бывает бурным.

Ответ. В кипячёной воде нет растворённого воздуха и крупных пузырьков пара, поэтому она закипает только при перегреве выше \(100\,^\circ\text{C}\); сырая вода кипит при \(100\,^\circ\text{C}\) и закипает раньше, получая тепло от более горячей воды большой кастрюли.

Проверка. Размерность: \(2\sigma/R\) — Н/м\(/\)м = Па, давление. Предел \(R\to\infty\): добавка \(\to0\), температура кипения \(\to100\,^\circ\text{C}\) — как у воды с крупными пузырьками. Оценка перегрева \(\Delta t\approx\dfrac{2\sigma/R}{dp_\text{п}/dt}\) для \(10\) мкм: \(\dfrac{1{,}2\cdot10^4}{3{,}6\cdot10^3}\approx3{,}3\) К — согласуется с точной кривой (\(3{,}1\) К).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Напишите, как изменяется импульс системы <<лодка + человек>> за малое время, и сложите изменения за всё время движения. Сила сопротивления воды — единственная внешняя горизонтальная сила.

Ответ

Пока человек идёт, лодка движется назад (на корму), затем, когда человек остановился, лодка движется вперёд и останавливается точно в своём первоначальном положении: полное смещение лодки равно нулю при любом коэффициенте сопротивления.

Решение

Что происходит. Когда человек идёт вперёд, он отталкивается от лодки, и лодка уезжает назад (как без сопротивления). Но сопротивление воды \(-\alpha v\) действует на лодку против её скорости и передаёт системе импульс вперёд. Эти импульсы складываются в суммарный импульс системы, а при остановке всего он снова нуль. Из этого следует, что полное смещение лодки равно нулю.

Обозначения. Ось \(x\) направлена от кормы к носу. \(M\) — масса лодки, \(m\) — масса человека, \(v\) — скорость лодки относительно воды, \(u\) — скорость человека относительно воды, \(w=u-v\) — скорость человека относительно лодки, \(\alpha\) — коэффициент сопротивления: \(F_\text{тр}=-\alpha v\). Сопротивление, действующее на человека, не учитываем.

1. Импульс системы. Импульс системы <<лодка + человек>> равен \(P=Mv+mu\). Внешние горизонтальные силы — только сила сопротивления воды. Второй закон Ньютона для системы за малое время \(dt\): \(dP=-\alpha v\,dt=-\alpha\,dx\), где \(dx=v\,dt\) — смещение лодки.

2. Суммирование за всё время. Складываем изменения от начала до конца всего движения: \(P_\text{кон}-P_\text{нач}=-\alpha\,x_\text{полн}\), где \(x_\text{полн}\) — полное смещение лодки.

3. Начало и конец. Вначале всё покоится, \(P_\text{нач}=0\). В конце лодка останавливается (трение гасит остаточную скорость), а человек стоит на ней, значит \(v=0\), \(u=0\), \(P_\text{кон}=0\). Отсюда \(-\alpha x_\text{полн}=0\), \(x_\text{полн}=0\) (при \(\alpha\ne0\)): лодка возвращается туда, откуда начала.

4. Ход движения. Пока человек разгоняется относительно лодки, \((M+m)v+mw=P\), откуда \(v=\dfrac{P-mw}{M+m}\). В начале \(P=0\) и \(v=-\dfrac{mw}{M+m}<0\) — лодка едет назад. Сопротивление при этом толкает лодку вперёд, и \(P\) растёт: \(\dot P=-\alpha v>0\). Когда человек перестаёт двигаться относительно лодки (\(w=0\)), \(v=P/(M+m)>0\): лодка едет вперёд и затухает по закону \(v\propto e^{-\alpha t/(M+m)}\) (постоянная времени \((M+m)/\alpha\)). Пройденный ею вперёд путь \(P/\alpha\) в точности равен пути назад.

5. Цифры для иллюстрации. \(M=100\) кг, \(m=70\) кг, \(\alpha=60\) кг/с; человек идёт вдоль лодки со скоростью \(w=1\) м/с в течение \(4\) с (разгон и торможение по \(0{,}5\) с), то есть проходит \(3{,}5\) м. Численное решение уравнения \((M+m)\dot v+m\dot w=-\alpha v\) даёт наибольшее смещение лодки назад \(0{,}80\) м (в конце ходьбы), затем лодка движется вперёд; к \(t=14\) с она отстаёт от исходной точки на \(2\) см и стремится к нулю.

Обратите внимание: без сопротивления (\(\alpha=0\)) лодка сместилась бы назад на \(\dfrac{m}{M+m}\cdot3{,}5\ \text{м}\approx1{,}4\) м и осталась там. Малое сопротивление не даёт лодке остаться — оно очень медленно возвращает её на прежнее место (за время \(\sim(M+m)/\alpha\)), как бы мало оно ни было.

Ответ. Пока человек идёт, лодка смещается назад (на \(\approx0{,}8\) м в нашем примере), затем, когда человек остановился, лодка едет вперёд, затухая, и останавливается в начальной точке: \(x_\text{полн}=0\) для любых \(M\), \(m\), \(\alpha\) и любого способа ходьбы.

Проверка. Размерность: \(\alpha\,x\) — кг\(\cdot\)м/с, то есть импульс. Предел \(\alpha\to0\): время возврата \((M+m)/\alpha\to\infty\), лодка остаётся смещённой на \(\dfrac{mL}{M+m}\) — как для замкнутой системы. Второй способ: интегрирование уравнения движения численно (шаг \(10^{-4}\) с) — смещение к \(14\) с равно \(-0{,}022\) м и стремится к нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.