Всесоюзная, 1970/71, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Считайте время по трём участкам нижнего пути: воздух, стекло, воздух. Скорость света в движущемся стекле относительно стола находится по закону сложения скоростей с точностью до первого порядка по \(u/c\). Расстояния в воздухе в итоговой разности времён сократятся.

Ответ

\(\Delta t=\dfrac{lu}{c^2}\left(\dfrac{c}{v}-1\right)=\dfrac{lu\,(c-v)}{c^2\,v}\) (кубик движется по ходу света; при движении навстречу свет придёт позже на ту же величину).

Решение

Что происходит. Нижний путь состоит из воздуха, стекла и снова воздуха. Кубик \(B\) убегает от света по ходу луча: передняя грань отодвигается, и свету до неё лететь дольше; внутри стекла скорость света относительно стола другая, чем в неподвижном; задняя грань тоже убегает. Нужно сложить эти три эффекта. Ключевой закон — закон сложения скоростей для света в движущейся среде; считаем в первом порядке по малому \(u/c\).

Обозначения. Ось \(x\) вдоль луча, время \(t=0\) — момент выхода света из источника (пути до кубиков одинаковы, и без движения кубиков свет приходит на экран одновременно). \(x_1\) — положение передней грани \(B\) в момент \(t=0\) выхода света, \(X\) — положение экрана; \(n=c/v\). Кубик движется вправо со скоростью \(u\ll c\). \(T_0\) — время пути при покоящемся кубике, \(T\) — при движущемся, искомое \(\Delta t=T_0-T\).

1. Покой. Воздух, стекло, воздух: \[T_0=\frac{x_1}{c}+\frac{l}{v}+\frac{X-x_1-l}{c}.\]

2. Скорость света в движущемся стекле. В системе кубика свет в стекле имеет скорость \(v\) (в этой системе стекло покоится). В системе стола по закону сложения скоростей теории относительности \[w=\frac{v+u}{1+vu/c^2}\approx v+u\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right).\] Простое «\(v+u\)» неверно: оно давало бы эффект и для «стекла» с \(v=c\), то есть для пустоты.

3. Свет доходит до передней грани. Грань в момент \(t\) находится в точке \(x_1+ut\), свет летит со скоростью \(c\): \(ct_1=x_1+ut_1\), откуда \(t_1=\dfrac{x_1}{c-u}\).

4. Свет в стекле. К моменту \(t_1\) свет входит в стекло, дальше он обгоняет заднюю грань. За время \(\tau\) свет проходит \(w\tau\), задняя грань — \(u\tau\), и свет догоняет её, когда разность равна длине кубика \(l\) (сокращением длины \(\sqrt{1-u^2/c^2}\) пренебрегаем: оно второго порядка): \[(w-u)\tau=l,\qquad \tau=\frac{l}{w-u}\approx\frac{l}{v}\left(1+\frac{uv}{c^2}\right).\]

5. Выход и экран. К моменту выхода \(t_2=t_1+\tau\) задняя грань в точке \(x_1+l+ut_2\), до экрана остаётся \(X-x_1-l-ut_2\), время пути в воздухе — это расстояние, делённое на \(c\). Полное время \[T=t_2+\frac{X-x_1-l-ut_2}{c}=t_2\left(1-\frac uc\right)+\frac{X-x_1-l}{c}.\] Подставляем \(t_2=\dfrac{x_1}{c-u}+\tau\); так как \(\dfrac{x_1}{c-u}\left(1-\dfrac uc\right)=\dfrac{x_1}{c}\), \[T=\frac{x_1}{c}+\tau\left(1-\frac uc\right)+\frac{X-x_1-l}{c},\qquad \tau\left(1-\frac uc\right)\approx\frac lv+\frac{lu}{c^2}-\frac{lu}{vc}.\]

6. Разность времён. Вычитаем из \(T_0\) время \(T\): расстояния \(x_1\) и \(X\) сокращаются, остаётся \[\Delta t=T_0-T=\frac{lu}{vc}-\frac{lu}{c^2}.\]

Обратите внимание: \(\Delta t\) не зависит от того, где стоят кубик и экран, и обращается в нуль при \(v=c\) (стекла нет). Если бы мы взяли \(w=v+u\), то получили бы \(lu/(vc)\), а это значение осталось бы и для «кубика» из пустоты.

Ответ. В буквах: \(\Delta t=\dfrac{lu}{c^2}\left(\dfrac{c}{v}-1\right)=\dfrac{lu\,(c-v)}{c^2v}\) (при \(n=c/v\) это \(\dfrac{lu\,(n-1)}{c^2}\)); в числах, например при \(n=1{,}5\): \(\Delta t=0{,}5\,\dfrac{lu}{c^2}\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{lu}{c^2}\,[\text{м}\cdot\text{м/с}\,/\,(\text{м/с})^2]=\) с. Предел \(v\to c\): \(\Delta t\to0\), как должно быть. Знак: при \(u<0\) (кубик навстречу свету) \(\Delta t<0\) — свет приходит позже. Второй способ: точный подсчёт по преобразованиям Лоренца (с \(n=1{,}5\), \(u=10^{-4}c\)) даёт \(\Delta t/u=0{,}49997\,l/c^2\) — совпадение с \(0{,}5\,l/c^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Лёгкое тело многократно отскакивает от тяжёлых и понемногу раскачивает их. Подумайте, когда ударов уже не будет и что тогда можно сказать об энергии и импульсе лёгкого тела по сравнению с тяжёлыми.

Ответ

\(v_1=V\sqrt{\dfrac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)}}\) (тело \(m_1\) уходит влево), \(v_3=V\sqrt{\dfrac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}}\) (тело \(m_3\) уходит вправо). При \(m_1=m_3=M\): \(v_1=v_3=V\sqrt{m_2/(2M)}\).

Решение

Что происходит. Среднее тело летит к \(m_3\) и отскакивает от него (тяжёлое тело почти не сдвигается, но немного разгоняется вправо), потом отскакивает от \(m_1\), и так много раз: каждое столкновение чуть разгоняет тяжёлые тела в разные стороны, а лёгкое при этом теряет энергию. Решать «в лоб», ударом за ударом, не нужно: достаточно понять, чем кончится процесс, и записать законы сохранения для конечного состояния.

Обозначения. Ось \(x\) направим вправо, \(V>0\) (лёгкое тело сначала летит к \(m_3\)). Скорости после последнего удара: \(v_1<0\), \(v_3>0\) у тяжёлых тел, \(w\) у лёгкого.

1. Когда ударов больше нет. Удары прекращаются, когда лёгкое тело не догоняет ни \(m_1\), ни \(m_3\): \(v_1\le w\le v_3\). Значит, \(|w|\le\max(|v_1|,|v_3|)\): лёгкое тело в конце движется не быстрее тяжёлых.

2. Оценка скоростей тяжёлых тел. Кинетическая энергия тел не может быть больше начальной (удары упругие, энергия сохраняется): \(\tfrac12m_1v_1^2\le\tfrac12m_2V^2\), то есть \(|v_1|\le V\sqrt{m_2/m_1}\ll V\), и так же для \(m_3\). Поэтому у лёгкого тела в конце скорость \(|w|\ll V\): оно почти останавливается, а его энергия и импульс малы.

3. Законы сохранения для конечного состояния. Закон сохранения импульса системы трёх тел на горизонтальной прямой (внешних горизонтальных сил нет): \[m_1v_1+m_3v_3+m_2w=m_2V.\] Закон сохранения энергии (удары упругие, трения нет): \[\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}=\frac{m_2V^2}{2}.\] Здесь \(m_2w\) и \(m_2w^2/2\) малы: из п. 2 следует \(m_2|w|\le m_2|v_{\max}|\), а импульсы тяжёлых тел, как видно ниже, много больше \(m_2V\) (проверка в конце). Пренебрегаем: получаем два уравнения для \(v_1\), \(v_3\): \[m_1v_1+m_3v_3=0,\qquad m_1v_1^2+m_3v_3^2=m_2V^2.\]

4. Решение. Из первого \(v_3=-\dfrac{m_1}{m_3}v_1\). В энергию: \[m_1v_1^2\left(1+\frac{m_1}{m_3}\right)=m_2V^2\ \Rightarrow\ v_1^2=V^2\,\frac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)},\qquad v_3^2=V^2\,\frac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}.\] Знаки: \(v_1<0\) (левое тело уходит влево), \(v_3>0\).

Обратите внимание: сначала нельзя пренебрегать импульсом лёгкого тела: в начале он целиком принадлежит ему. Пренебречь им можно только в конце, когда лёгкое тело почти остановилось, а тяжёлые несут равные и противоположные импульсы, много большие \(m_2V\).

Ответ. В буквах: \(|v_1|=V\sqrt{\dfrac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)}}\), \(|v_3|=V\sqrt{\dfrac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}}\); при равных массах \(m_1=m_3=M\): \(v=V\sqrt{\dfrac{m_2}{2M}}\).

Проверка. Размерность: корень безразмерный, скорость — \(V\). Импульс каждого тяжёлого тела равен \(V\sqrt{m_2m_1m_3/(m_1+m_3)}\), это много больше \(m_2V\), так как \(\sqrt{m_1m_3/(m_1+m_3)}\gg\sqrt{m_2}\), то есть пренебрежение из п. 3 законно. Предел \(m_1\to\infty\): \(v_1\to0\), всё идёт во второй шарик — он просто отражается от стенки и забирает вторую «стенку» в движение. Численно: прямой счёт ударов при \(m_1=m_3=10^4m_2\) даёт \(|v_1|=0{,}00702V\), формула — \(0{,}00707V\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Шар касается рёбер ступенек. При переходе с одного ребра на следующее исчезает составляющая скорости вдоль радиуса к новому ребру. Приравняйте энергию, теряемую на одном ударе, к энергии, выигрываемой при спуске на одну ступеньку.

Ответ

\(v_{\max}=R\sqrt{g/a}\).

Решение

Что происходит. Шар большого радиуса (\(R\gg a\)) не попадает в углы между ступеньками, он движется, цепляясь за рёбра. Каждый переход на следующее ребро — неупругий удар: пропадает составляющая скорости вдоль радиуса к ребру. Скорость растёт, пока потеря энергии на ударе меньше выигрыша при спуске на ступеньку; предел — равенство этих величин. Ключевые законы — закон сохранения энергии между ударами (трения нет, нормальная реакция работы не совершает) и неупругий удар с потерей нормальной составляющей скорости.

Обозначения. Рёбра ступенек лежат на прямой под \(45^\circ\) с расстоянием \(d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\) между соседними. \(v\) — скорость центра шара перед ударом. Центр шара всё время на расстоянии \(R\) от касающегося ребра. Масса шара \(m\).

1. Угол между радиусами. Когда шар касается двух соседних рёбер \(C_k\) и \(C_{k+1}\) сразу, центр \(O\) равноудалён от них. Хорда \(d\ll R\), поэтому угол между \(OC_k\) и \(OC_{k+1}\) равен \(d/R\).

2. Удар о следующее ребро. До удара шар поворачивается вокруг \(C_k\): скорость \(\vec v\) перпендикулярна \(OC_k\). Нормаль к ребру \(C_{k+1}\) — линия \(OC_{k+1}\), она повёрнута на угол \(d/R\). Составляющая скорости вдоль неё \[v_n=v\sin\frac dR\approx v\,\frac dR\] исчезает при абсолютно неупругом ударе, трения нет, поэтому касательная составляющая сохраняется. Потеря энергии \[\Delta E=\frac{mv_n^2}{2}=\frac{mv^2}{2}\,\frac{d^2}{R^2}.\]

3. Выигрыш при спуске. Пока шар поворачивается вокруг ребра, нормальная сила работы не совершает, а центр опускается на высоту ступеньки \(a\): энергия растёт на \(mga\) за ступеньку.

4. Баланс в установившемся режиме. Скорость перестаёт расти, когда потеря равна выигрышу: \[\frac{mv^2}{2}\,\frac{d^2}{R^2}=mga\ \Rightarrow\ v^2=\frac{2gaR^2}{d^2}=\frac{2gaR^2}{2a^2}=\frac{gR^2}{a}.\] Если считать от начала (при \(v_0=0\)): \(v_{k+1}^2=v_k^2\,(1-q)+2ga\), \(q=d^2/R^2\), поэтому \(v_k^2=v_\infty^2\left[1-(1-q)^k\right]\), где \(v_\infty^2=2ga/q\): скорость приближается к пределу, не превышая его.

Обратите внимание: это ответ модели «шар всё время держится за рёбра». Она требует \(v^2/R\lesssim g\), а найденное \(v_\infty^2/R=gR/a\) много больше \(g\) при \(a\ll R\): на таких скоростях шар на самом деле начинает отрываться от рёбер и лететь над ними, и потери на ударах уменьшаются. Условие ждёт конечный ответ, поэтому дано значение, при котором потеря энергии на ударе уравновешивает выигрыш при спуске.

Ответ. В буквах: \(v_{\max}=R\sqrt{g/a}\); в числах, например для \(R=10\text{ см}\), \(a=1\text{ мм}\): \(v_{\max}=0{,}1\sqrt{9{,}8/0{,}001}\approx10\text{ м/с}\).

Проверка. Размерность: \(\text{м}\cdot\sqrt{(\text{м/с}^2)/\text{м}}=\text{м/с}\). Предел \(a\to0\) (гладкий наклон без потерь): \(v_{\max}\to\infty\), как для шара на наклонной плоскости без трения и без потерь. Рост с \(R\): больший шар меньше «чувствует» ступеньки (угол \(d/R\) мал, потери малы), и скорость выше — это физически разумно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вода несжимаема, а в полости давление нулевое: против полости работа не совершается. Всё определяет работа поршня за то время, пока полость исчезает. Поле скоростей воды искать не нужно.

Ответ

\(E_k=PV\).

Решение

Что происходит. Давление в полости практически нулевое, поэтому ничто не мешает воде схлопывать её под действием давления поршня. Вода движется сложно (вблизи полости быстрее, у стенок медленнее), но искать поле скоростей не нужно: достаточно закона сохранения энергии для воды между начальным состоянием и моментом, когда полость исчезнет.

Обозначения. \(S\) — площадь поршня, \(h\) — на сколько он опустился к моменту схлопывания, \(E_k\) — кинетическая энергия воды. Поршень считаем невесомым (он лишь передаёт постоянное давление \(P\)).

1. На сколько опустился поршень. Вода несжимаема, а объём полости ушёл целиком, поэтому объём, занятый водой и полостью, уменьшился на \(V\), то есть \(Sh=V\).

2. Работа внешних сил. Закон сохранения энергии для воды: изменение её кинетической энергии равно работе сил, действующих на воду. Сила тяжести не учитывается, стенки цилиндра неподвижны и работы не совершают. Поршень давит с постоянной силой \(PS\) и смещается на \(h\): \[A=PSh=PV.\] Давление в полости равно нулю, поэтому работа на её границе также нулевая. Внутренняя энергия воды не меняется (вода несжимаема, трения нет).

3. Энергия воды. Вода начинала покоиться: \[E_k=A=PV.\]

Обратите внимание: не нужно считать, как движется вода и какую скорость имеют её разные частицы. Энергия, выделившаяся при схлопывании, равна \(PV\) независимо от формы полости и положения в цилиндре (кроме того, что она не касается стенок).

Ответ. В буквах: \(E_k=PV\); в числах, например для \(P=10^5\text{ Па}\), \(V=1\text{ см}^3\): \(E_k=10^5\cdot10^{-6}=0{,}1\text{ Дж}\).

Проверка. Размерность: \(\text{Па}\cdot\text{м}^3=\text{Н}\cdot\text{м}=\text{Дж}\). Предельные случаи: \(V\to0\) или \(P\to0\) дают \(E_k\to0\). Второй способ: Рэлей для сферической полости радиуса \(R_0\) в большом объёме воды: расчёт кинетической энергии воды в момент схлопывания даёт \(P\cdot\tfrac43\pi R_0^3=PV\) — то же значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Тяга — реакция вытекающей струи плюс давление газа на выходное сечение. Расход продуктов сгорания найдите по уравнению реакции, скорость струи — из расхода, плотности пара (уравнение состояния) и сечения.

Ответ

\(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ), где \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\) — молярная масса воды, \(R\) — газовая постоянная.

Решение

Что происходит. Водород и кислород сгорают в камере в водяной пар, который вытекает из сопла со скоростью \(u\). Двигатель получает тягу по закону сохранения импульса: за секунду из него уходит масса \(\mu\) со скоростью \(u\), а кроме того на выходное сечение действует давление газа. Нужно найти \(\mu\), \(u\) и сложить.

Обозначения. \(\mu\) — масса продуктов, вытекающая за секунду; \(u\) — скорость струи в выходном сечении; \(\rho\) — плотность пара в нём; \(M=18\text{ г/моль}\) — молярная масса воды. Снаружи вакуум (двигатель в космосе). Пар считаем идеальным газом, установившееся течение.

1. Расход продуктов. Горение \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}\): на \(4\) г водорода нужно \(32\) г кислорода, значит, на массу \(m\) водорода — \(8m\) кислорода. Закон сохранения массы в стационарном режиме: за секунду вытекает всё, что вошло, \[\mu=m+8m=9m.\]

2. Плотность пара. Уравнение состояния идеального газа для пара в выходном сечении: \[\rho=\frac{PM}{RT}.\]

3. Скорость струи. Масса, проходящая за секунду через сечение \(S\), равна \(\rho uS\) (закон сохранения массы): \[\mu=\rho uS\ \Rightarrow\ u=\frac{\mu}{\rho S}=\frac{9m\,RT}{PMS}.\]

4. Тяга. Закон изменения импульса для газа внутри двигателя (стационарно): сумма сил, действующих на газ, равна импульсу, уносимому за секунду, \(\mu u\). На газ действуют: сила \(W\) со стороны стенок и сила давления \(PS\) в выходном сечении, направленная внутрь (против потока). Снаружи пусто, давления снаружи нет. Скорость втекающих веществ мала, их импульс не учитываем. Проекция на направление струи: \[W-PS=\mu u\ \Rightarrow\ W=\mu u+PS.\] По третьему закону Ньютона газ действует на двигатель с силой той же величины в обратную сторону — это и есть тяга: \[F=\mu u+PS=\frac{\mu^2RT}{MPS}+PS=\frac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS.\]

5. Число. \(R/M=8{,}31/0{,}018\approx462\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\), поэтому \[F\approx3{,}7\cdot10^4\,\frac{m^2T}{PS}+PS\quad(\text{СИ: }m\text{ в кг/с},\ T\text{ в К},\ P\text{ в Па},\ S\text{ в м}^2).\]

Обратите внимание: слагаемое \(PS\) нужно, потому что давление на выходе не равно внешнему (здесь нулевому). В атмосфере вместо \(P\) стоит разность \(P-P_0\) с внешним давлением \(P_0\).

Ответ. В буквах: \(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\) с \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\); в числах: \(F\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{(\text{кг/с})^2\cdot\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot\text{К}}{(\text{кг/моль})\cdot\text{Па}\cdot\text{м}^2}=\dfrac{\text{кг}^2\,\text{Дж}}{\text{с}^2\,\text{кг}\,\text{Н}}=\text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}=\text{Н}\), и \(PS\) — тоже Н. Знак слагаемых: оба положительны, тяга направлена против струи. Предел: при очень большом \(P\) скорость струи мала, и тяга определяется давлением \(PS\); при малом \(P\) — реакцией струи \(\mu u\) (в зависимости от \(P\) тяга имеет минимум при \(P=\mu\sqrt{RT/M}/S\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.