Всесоюзная, 1970/71, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Если два конца звезды из трёх сопротивлений соединить проводом, то после этого можно подобрать точки, потенциалы которых равны. Через сопротивление между точками одного потенциала ток не идёт.

Ответ

Два внешних конца звезды соединяют проводом; источник и амперметр включают так, чтобы весь ток источника шёл через амперметр в центр звезды и через третье сопротивление. Вольтметр подключают между центром и третьим концом: \(R_3=U/I\), где \(U\) и \(I\) — показания вольтметра и амперметра.

Решение

Что происходит. Амперметр с малым собственным сопротивлением можно считать проводом: потенциалы его концов равны. Если центр звезды \(O\) соединить через амперметр с проводом, связывающим два внешних конца \(1\) и \(2\), то точки \(1\), \(2\) и \(O\) окажутся на одном потенциале, и сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) между ними выключатся из работы: ток в них равен нулю, что бы ни было в остальной схеме. Весь ток, который приходит в \(O\), идёт только по \(R_3\). Главная идея: ток через \(R_3\) измеряет амперметр, напряжение на \(R_3\) — вольтметр.

Обозначения. \(O\) — центр звезды, \(1\) и \(2\) — внешние концы сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\), \(3\) — внешний конец сопротивления \(R_3\), которое будем измерять. Остальная часть схемы подключена к точкам \(1\), \(2\), \(3\) и на рисунке показана пунктиром; её сопротивлений мы не знаем и не трогаем. Амперметр и вольтметр считаем идеальными, добавленные провода — без сопротивления.

1. Как подключить приборы. Провод соединяет точки \(1\) и \(2\) (контакты в схеме не разрываются, провод лишь добавляется). От этого провода идёт цепь: амперметр, затем точка \(O\). Источник тока включаем между проводом \(1\)–\(2\) и точкой \(3\). Вольтметр подключаем между \(O\) и \(3\).

2. Что течёт через \(R_1\) и \(R_2\). Падение напряжения на амперметре равно нулю, поэтому потенциал точки \(O\) равен потенциалу провода, то есть потенциалам точек \(1\) и \(2\). Напряжение на \(R_1\) и на \(R_2\) равно нулю, по закону Ома для участка цепи токи в них нулевые.

3. Ток через \(R_3\). К точке \(O\) подходят три сопротивления и амперметр. Сумма токов, входящих в узел \(O\), равна сумме выходящих (закон сохранения заряда). Токи в \(R_1\) и \(R_2\) нулевые, значит, ток амперметра \(I\) целиком уходит через \(R_3\): \(I_3=I\). Остальная схема, подключённая к точкам \(1\), \(2\), \(3\), берёт на себя часть тока источника параллельно нашей цепи, но в \(O\) ведёт единственный путь — через амперметр, поэтому она показаний не искажает.

4. Напряжение на \(R_3\). Вольтметр подключён к концам \(R_3\) (точки \(O\) и \(3\)) и показывает \(U=\varphi_O-\varphi_3\).

Обратите внимание: проводом соединены именно две точки \(1\) и \(2\) — концы сопротивлений, расположенных рядом с узлом. Если соединить проводом, например, \(1\) и \(3\), ток пойдёт через \(R_2\), и показания приборов будут относиться к двум сопротивлениям сразу.

Ответ: \(R_3=\dfrac{U}{I}\), где \(U\) — показание вольтметра, \(I\) — амперметра. Любое из трёх сопротивлений измеряется так же, если провод соединяет два других конца, а третье включено между амперметром и вольтметром.

Проверка. \(\dfrac{U}{I}\) имеет размерность сопротивления. Предельный случай: пусть остальной схемы нет (концы \(1\), \(2\), \(3\) ни к чему не подключены). Тогда вся цепь — источник, амперметр и \(R_3\), и \(U/I=R_3\) по закону Ома, как должно быть. Если схема подключена, то результат от неё не зависит: ни \(R_1\) и \(R_2\), ни остальные сопротивления не входят в формулу, так как токи в \(R_1\) и \(R_2\) нулевые, а напряжение на \(R_3\) вольтметр меряет прямо.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нить \(AB\) вертикальна, поэтому она не действует на шарики по горизонтали. Что тогда можно сказать о горизонтальном движении центра масс двух шариков?

Ответ

\(l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}\,\dfrac{M+m}{M}\).

Решение

Что происходит. Подвес \(A\) ходит туда и обратно, вместе с ним ходит шарик \(M\) (нить \(AB\) вертикальна), а нить \(BC\) с шариком \(m\) раскачивается. Горизонтальных внешних сил на пару шариков нет, потому что вертикальная нить не тянет их вбок. Значит, центр масс пары в горизонтальном направлении не ускоряется. Главная идея: шарик \(m\) движется так, будто нить \(BC\) закреплена в неподвижной (по горизонтали) точке — центре масс, и колеблется как обычный маятник.

Обозначения. \(l\) — длина нити \(BC\), \(\varphi\) — её угол с вертикалью (колебания малые), \(O\) — центр масс шариков \(M\) и \(m\), \(x\) — расстояние от \(O\) до шарика \(m\). Колебания горизонтальные, ось \(x\)-координат отсчитываем от вертикальной линии, проходящей через \(O\).

1. Центр масс не двигается по горизонтали. На систему «шарик \(M\) + шарик \(m\) + нити» действуют сила тяжести (вертикальная) и сила натяжения нити \(AB\), тоже вертикальная, потому что нить вертикальна. Горизонтальной внешней силы нет. По закону движения центра масс его горизонтальное ускорение равно нулю. Колебания периодические, поэтому центр масс покоится по горизонтали, и \(O\) всё время лежит на одной вертикали.

2. Где находится \(O\). Центр масс двух точечных тел лежит на отрезке между ними, делит его обратно пропорционально массам: \(mx=M(l-x)\), откуда \[x=l\,\frac{M}{m+M}.\]

3. Колебания шарика \(m\). Шарик \(m\) движется вокруг неподвижной вертикали через \(O\). Запишем второй закон Ньютона для шарика \(m\) в проекции на горизонталь. Угол \(\varphi\) мал, поэтому вертикальное ускорение шарика второго порядка малости и сила натяжения \(T_{BC}\approx mg\). Тогда горизонтальная сила \(-T_{BC}\sin\varphi\approx-mg\varphi\), а смещение шарика от вертикали через \(O\) равно \(\xi=x\varphi\): \[m\ddot\xi=-\frac{mg}{x}\,\xi,\qquad \omega^2=\frac gx.\] Это уравнение колебаний обычного маятника длиной \(x\): шарик \(m\) ведёт себя так, как если бы висел на нити длиной \(x\) в неподвижной точке \(O\).

4. Период. Период этих колебаний равен периоду подвеса \(A\), потому что движение шариков вынужденное и идёт с частотой подвеса: \[T=2\pi\sqrt{\frac xg}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{gT^2}{4\pi^2}.\]

5. Длина нити. Из шага 2: \(l=x\,\dfrac{m+M}{M}\). Подставляем \(x\): \[l=\frac{gT^2}{4\pi^2}\,\frac{M+m}{M}.\]

Обратите внимание: период определяется не длиной \(l\) всей нити, а расстоянием \(x\) до центра масс. Формула \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) здесь неверна: точка \(B\) не неподвижна, она движется вместе с подвесом.

Ответ: \(l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}\,\dfrac{M+m}{M}\).

Проверка. Размерность: \(gT^2\) — метр. При \(M\to\infty\) (тяжёлый шарик остаётся на месте, \(B\) неподвижна) получаем \(l\to gT^2/4\pi^2\) — длину обычного маятника с периодом \(T\), как должно быть. Второй способ — два уравнения для горизонтали. Для шарика \(M\) с неподвижным по вертикали подвесом: \(M\ddot\xi_B=mg\varphi\) (нить \(BC\) тянет \(M\) к шарику \(m\)). Для шарика \(m\): \(m(\ddot\xi_B+l\ddot\varphi)=-mg\varphi\). Для колебаний с частотой \(\omega\) из первого уравнения \(\varphi=-M\omega^2a/(mg)\) (\(a\) — амплитуда \(B\)); подстановка во второе даёт \(l=g(M+m)/(M\omega^2)\) — тот же результат. Пример: \(M=2m\), \(T=2\ \text{с}\): \(x\approx0{,}99\) м, \(l\approx1{,}49\) м; расстояние \(x=lM/(M+m)=1{,}49\cdot\frac23\approx0{,}99\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Тяга — реакция вытекающей струи плюс давление газа на выходное сечение. Расход продуктов сгорания найдите по уравнению реакции, скорость струи — из расхода, плотности пара (уравнение состояния) и сечения.

Ответ

\(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ), где \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\) — молярная масса воды, \(R\) — газовая постоянная.

Решение

Что происходит. Водород и кислород сгорают в камере в водяной пар, который вытекает из сопла со скоростью \(u\). Двигатель получает тягу по закону сохранения импульса: за секунду из него уходит масса \(\mu\) со скоростью \(u\), а кроме того на выходное сечение действует давление газа. Нужно найти \(\mu\), \(u\) и сложить.

Обозначения. \(\mu\) — масса продуктов, вытекающая за секунду; \(u\) — скорость струи в выходном сечении; \(\rho\) — плотность пара в нём; \(M=18\text{ г/моль}\) — молярная масса воды. Снаружи вакуум (двигатель в космосе). Пар считаем идеальным газом, установившееся течение.

1. Расход продуктов. Горение \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}\): на \(4\) г водорода нужно \(32\) г кислорода, значит, на массу \(m\) водорода — \(8m\) кислорода. Закон сохранения массы в стационарном режиме: за секунду вытекает всё, что вошло, \[\mu=m+8m=9m.\]

2. Плотность пара. Уравнение состояния идеального газа для пара в выходном сечении: \[\rho=\frac{PM}{RT}.\]

3. Скорость струи. Масса, проходящая за секунду через сечение \(S\), равна \(\rho uS\) (закон сохранения массы): \[\mu=\rho uS\ \Rightarrow\ u=\frac{\mu}{\rho S}=\frac{9m\,RT}{PMS}.\]

4. Тяга. Закон изменения импульса для газа внутри двигателя (стационарно): сумма сил, действующих на газ, равна импульсу, уносимому за секунду, \(\mu u\). На газ действуют: сила \(W\) со стороны стенок и сила давления \(PS\) в выходном сечении, направленная внутрь (против потока). Снаружи пусто, давления снаружи нет. Скорость втекающих веществ мала, их импульс не учитываем. Проекция на направление струи: \[W-PS=\mu u\ \Rightarrow\ W=\mu u+PS.\] По третьему закону Ньютона газ действует на двигатель с силой той же величины в обратную сторону — это и есть тяга: \[F=\mu u+PS=\frac{\mu^2RT}{MPS}+PS=\frac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS.\]

5. Число. \(R/M=8{,}31/0{,}018\approx462\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\), поэтому \[F\approx3{,}7\cdot10^4\,\frac{m^2T}{PS}+PS\quad(\text{СИ: }m\text{ в кг/с},\ T\text{ в К},\ P\text{ в Па},\ S\text{ в м}^2).\]

Обратите внимание: слагаемое \(PS\) нужно, потому что давление на выходе не равно внешнему (здесь нулевому). В атмосфере вместо \(P\) стоит разность \(P-P_0\) с внешним давлением \(P_0\).

Ответ. В буквах: \(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\) с \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\); в числах: \(F\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{(\text{кг/с})^2\cdot\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot\text{К}}{(\text{кг/моль})\cdot\text{Па}\cdot\text{м}^2}=\dfrac{\text{кг}^2\,\text{Дж}}{\text{с}^2\,\text{кг}\,\text{Н}}=\text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}=\text{Н}\), и \(PS\) — тоже Н. Знак слагаемых: оба положительны, тяга направлена против струи. Предел: при очень большом \(P\) скорость струи мала, и тяга определяется давлением \(PS\); при малом \(P\) — реакцией струи \(\mu u\) (в зависимости от \(P\) тяга имеет минимум при \(P=\mu\sqrt{RT/M}/S\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Силы на все частицы вначале одинаковы по величине, а массы разные. Какие частицы успеют разлететься первыми, пока другие почти не сдвинулись? Тогда энергию взаимодействия можно разделить на две части.

Ответ

\(\dfrac uv=\sqrt{\dfrac mM\,\dfrac{1}{4\sqrt2+1}}\approx0{,}0087\) (\(u\) — скорость протонов, \(v\) — позитронов). В журнале приведено значение \(0{,}007\) — опечатка.

Решение

Что происходит. Все четыре частицы заряжены одинаково и отталкиваются. В начале на каждую действуют силы одного порядка, но ускорения позитронов в \(M/m=2000\) раз больше ускорений протонов. Поэтому позитроны быстро улетают на бесконечность, а протоны за это время почти не сдвигаются, и затем разлетаются уже только друг от друга. Главная идея: записать закон сохранения энергии отдельно для первого этапа (улетают позитроны) и для второго (улетают протоны).

Обозначения. \(k=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\), \(e\) — заряд каждой частицы, \(v\) — скорость позитронов, \(u\) — скорость протонов на бесконечности, \(m\) и \(M\) — массы. Частицы лежат в вершинах квадрата: позитроны на одной диагонали, протоны на другой. Сторона квадрата \(a\), диагональ \(a\sqrt2\).

1. Энергия взаимодействия, которую получают позитроны. Протоны на этом этапе считаем неподвижными, они только создают поле. Потенциальная энергия системы «два позитрона в поле двух протонов» складывается из четырёх пар «протон — позитрон» на расстоянии \(a\) и пары «позитрон — позитрон» на расстоянии \(a\sqrt2\): \[U_1=4\cdot\frac{ke^2}{a}+\frac{ke^2}{a\sqrt2}=\frac{ke^2}{a}\Bigl(4+\frac1{\sqrt2}\Bigr).\] Когда позитроны улетели далеко, их потенциальная энергия стала равна нулю, а кинетическая энергия двух позитронов \(2\cdot\dfrac{mv^2}2=mv^2\). Закон сохранения энергии для позитронов (протоны неподвижны, их потенциальная энергия взаимодействия друг с другом не меняется): \[mv^2=\frac{ke^2}{a}\Bigl(4+\frac1{\sqrt2}\Bigr).\tag{1}\]

2. Энергия, которую получают протоны. Теперь позитронов нет на близком расстоянии, остаётся пара протонов на расстоянии \(a\sqrt2\) (они почти не сдвинулись). Закон сохранения энергии для двух протонов: потенциальная энергия их взаимодействия переходит в кинетическую энергию двух протонов \(2\cdot\dfrac{Mu^2}2=Mu^2\): \[Mu^2=\frac{ke^2}{a\sqrt2}.\tag{2}\]

3. Отношение скоростей. Делим (2) на (1): \[\frac{Mu^2}{mv^2}=\frac{1/\sqrt2}{4+1/\sqrt2}=\frac1{4\sqrt2+1} \quad\Rightarrow\quad \Bigl(\frac uv\Bigr)^2=\frac mM\,\frac1{4\sqrt2+1}.\]

Обратите внимание: полная энергия \(U_0=\dfrac{ke^2}a(4+\sqrt2)\) сохраняется на обоих этапах вместе, но одно её сохранение даёт одно уравнение на две скорости; второе уравнение даёт разделение процесса на два этапа, оно приближённое и верно, пока \(M\gg m\).

Ответ: \(\dfrac uv=\sqrt{\dfrac mM\,\dfrac1{4\sqrt2+1}}\). Числом: \(\sqrt{\dfrac1{2000}\cdot\dfrac1{6{,}657}}\approx0{,}0087\). В журнале стоит \(0{,}007\) — видимо, опечатка в округлении: из формулы журнала получается \(0{,}0087\).

Проверка. Размерность: обе части (1) и (2) — энергия, отношение скоростей безразмерно. Второй способ — закон сохранения энергии для всей системы: \(mv^2+Mu^2=\dfrac{ke^2}{a}\Bigl(4+\dfrac1{\sqrt2}\Bigr)+\dfrac{ke^2}{a\sqrt2}=\dfrac{ke^2}a(4+\sqrt2)=U_0\) — совпадает с полной начальной энергией (4 пары на \(a\) и две на \(a\sqrt2\)). Предел: при \(M\to\infty\) (протоны вообще не двигаются) \(u/v\to0\), как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Кубик успевает сместиться за время прохождения света, и путь в воздухе сокращается. Но скорость света в движущемся стекле в системе экрана не равна \(c/n+v\) — нужна формула сложения скоростей.

Ответ

\(\Delta t=\dfrac{(n-1)\,l\,v}{c^2}\) (в первом порядке по \(v/c\); кубик движется по лучу к экрану). При \(n\gg1\) получается \(\dfrac{n\,l\,v}{c^2}\).

Решение

Что происходит. Пока свет идёт сквозь кубик, кубик успевает сдвинуться к экрану. Правая грань уходит от луча, и в стекле свет идёт не \(l\), а \(l\) плюс сдвиг грани, зато путь в воздухе до экрана сокращается. Итог — сумма двух малых поправок. Главная идея: скорость света в движущемся стекле в системе источника и экрана даёт релятивистское сложение скоростей, и в первом порядке по \(v/c\) всё считается просто.

Обозначения. Система отсчёта — источник и экран неподвижны. Ось \(x\) направлена по лучу к экрану; кубик движется в ту же сторону со скоростью \(v\ll c\). \(a\) — координата левой грани в момент входа света в кубик (\(t=0\)), \(X\) — координата экрана, \(w\) — скорость света в стекле в этой системе. Длину кубика \(l\) в этой системе считаем равной \(l\): сокращение длины даёт поправку порядка \(v^2/c^2\), а нам нужны слагаемые, линейные по \(v\).

1. Скорость света в движущемся стекле. В системе стекла свет идёт со скоростью \(c/n\). Закон сложения скоростей теории относительности для скорости \(c/n\) и скорости стекла \(v\) в одном направлении: \[w=\frac{c/n+v}{1+\dfrac{v}{nc}}\approx\frac cn+v\Bigl(1-\frac1{n^2}\Bigr).\] Разложение сделано по малому \(v/c\): \(\dfrac1{1+\varepsilon}\approx1-\varepsilon\), \(\varepsilon=\dfrac v{nc}\).

2. Время в стекле. В момент выхода света координата выходной грани равна \(a+l+vt\), координата света \(a+wt\), они равны: \[wt=l+vt\quad\Rightarrow\quad t=\frac l{w-v}=\frac l{\dfrac cn-\dfrac v{n^2}}\approx\frac{nl}{c}\Bigl(1+\frac v{nc}\Bigr).\] Свет выходит в точке \(x_{\text{вых}}=a+wt\).

3. Полное время до экрана. В воздухе свет проходит \(X-x_{\text{вых}}\) со скоростью \(c\): \[t_{\text{пол}}=t+\frac{X-a-wt}{c}=\frac{X-a}{c}+t\Bigl(1-\frac wc\Bigr).\] Для неподвижного кубика \(w=c/n\), \(t_0=nl/c\): \[t_{\text{пол},0}=\frac{X-a}{c}+\frac{nl}{c}\Bigl(1-\frac1n\Bigr).\]

4. Разность. Для движущегося кубика \(1-\dfrac wc=\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)-\dfrac vc\Bigl(1-\dfrac1{n^2}\Bigr)\). Умножаем на \(t\) и оставляем члены, линейные по \(v\): \[t\Bigl(1-\frac wc\Bigr)\approx\frac{nl}c\Bigl(1-\frac1n\Bigr)+\frac{nl}c\,\frac vc\Bigl[\frac1n\Bigl(1-\frac1n\Bigr)-\Bigl(1-\frac1{n^2}\Bigr)\Bigr].\] В скобке: \(\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl[\dfrac1n-1-\dfrac1n\Bigr]=-\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\). Поэтому \[t_{\text{пол}}-t_{\text{пол},0}=-\frac{nl\,v}{c^2}\Bigl(1-\frac1n\Bigr)=-\frac{(n-1)\,l\,v}{c^2}.\] Свет приходит раньше на \[\Delta t=\frac{(n-1)\,l\,v}{c^2}.\]

Обратите внимание: простое рассуждение «кубик за время \(nl/c\) сместился на \(vnl/c\), путь в воздухе стал короче на эту величину» даёт \(\dfrac{nlv}{c^2}\). Оно верно только при \(n\gg1\): скорость света в движущемся стекле не \(c/n+v\), а \(\dfrac cn+v\bigl(1-\dfrac1{n^2}\bigr)\) (опыт Физо), и разница дополнительно сдвигает ответ на \(-\dfrac{lv}{c^2}\). Второе: ответ получен для движения кубика по ходу луча; при движении против луча знак меняется.

Ответ: \(\Delta t=\dfrac{(n-1)\,l\,v}{c^2}\); при \(n\gg1\) — \(\dfrac{n\,l\,v}{c^2}\) (так в «Кванте»).

Проверка. Размерность: \(lv/c^2\) — секунды. Предельный случай \(n=1\) (стекла нет, «кубик» пуст): \(\Delta t=0\), а наивная формула давала бы \(lv/c^2\ne0\) — нелепо. Значит, поправка \(-lv/c^2\) необходима. Второй способ — точный расчёт с сокращением длины кубика \(l'=l\sqrt{1-v^2/c^2}\) и точной формулой для \(w\): при \(v/c=10^{-3}\), \(n=1{,}5\) получается разность, совпадающая с \((n-1)lv/c^2\) с точностью до долей процента. Пример: \(n=1{,}5\), \(l=10\) см, \(v=10\) м/с: \(\Delta t=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}1\cdot10}{9\cdot10^{16}}\approx6\cdot10^{-18}\) с — ничтожно, но в принципе измеримо интерферометром.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.